思科数学第5讲函数的单调性与最值.doc

第5讲函数的单调性与最值基础梳理1函数的单调性(1)单调函数的定义设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，若f(x1)f(x2)，则f(x)在区间D上是增函数；若f(x1)f(x2)，则f(x)在区间D上是减函数(2)单调性、单调区间的定义若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间2函数的最值(1)设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M.则称M是f(x)的最大值(2)设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M，满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M.则称M是f(x)的最小值一个防范函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制例如函数y分别在(，0)，(0，)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(，0)(0，)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(，0)和(0，)，不能用“”连接两种形式设任意x1，x2a，b且x1x2，那么0f(x)在a，b上是增函数；0f(x)在a，b上是减函数(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0f(x)在a，b上是减函数四种方法函数单调性的判断(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数(3)导数法：利用导数研究函数的单调性(4)图象法：利用图象研究函数的单调性双基自测1(2011扬州中学冲刺)函数f(x)ln(x22x)的单调递增区间是_解析由x22x0，得x0或x2，又yx22x(x1)21在(2，)上单调递增所以f(x)的单调递增区间为(2，)答案(2，)2(2011山东省青岛市模拟)下列四个函数：y；y；y；yx，其在区间(0,1)上是减函数的是_解析y，y，yx分别是0，)，(，1，(，)上的增函数，从而是(0,1)上的增函数，y是(0,1)上的减函数答案3已知函数f(x)为R上的减函数，则满足ff(1)的实数x的取值范围是_解析由f(x)为R上的减函数且ff(1)，得即0x1或1x0.答案(1,0)(0,1)4(2011镇江市调研)函数f(x)2xlog2x(x1,2)的值域为_解析因为2x与log2x都是1,2上的增函数，所以f(x)2xlog2x是1,2上的增函数，所以f(1)f(x)f(2)，即2f(x)5.答案2,55(2011济南外国语学校检测)函数y的单调递增区间是_解析x0时，由y，x23x20，且x在(，0)和(0，)上递减，得f(x)增区间为(，1)和(1，)答案(，1)和(1，)考向一函数单调性的判断【例1】判断函数f(x)x(a0)在(0，)上的单调性审题视点 可采用定义法或导数法判断解法一设x1x20，则f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2).当x1x20时，x1x20，0，有f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时，函数f(x)x(a0)在(0， 上为减函数；当x1x2时，x1x20，0，有f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，此时，函数f(x)x(a0)在(，)上为增函数；综上可知，函数f(x)x(a0)在(0， 上为减函数；在，)上为增函数法二f(x)1，令f(x)0则10，x或x(舍)令f(x)0，则10，x，x0，0x.f(x)在(0，)上为减函数；在(，)上为增函数，也称为f(x)在(0， 上为减函数；在，)上为增函数 对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解；(2)可导函数则可以利用导数解之但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行【训练1】 试讨论函数f(x)(a0)的单调性解函数f(x)的定义域为(，1)(1，)，f(x)，a0，f(x)0.故函数f(x)在(，1)和(1，)上单调递减考向二求函数的单调区间【例2】求函数yx(a0)的单调区间审题视点 可采用定义法或导数法，但用导数法更简捷解函数yx的定义域为(，0)(0，)y1.令y0得：x或x；令y0得：x0或0x.故函数yx(a0)的单调增区间为：(，)和(，)；减区间为(，0)和(0，) 求函数单调区间时，一定要牢记先求函数的定义域【训练2】 函数y的单调递增区间是_解析依题意32xx20，即1x3.函数的定义域为(1,3)又函数yx22x3(x1)24在(1,3)上单调递减，所以原函数的单调递增区间是(1,3)答案(1,3)考向三求函数的最值及应用【例3】已知函数f(x)，x1，)(1)当a时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x1，)，f(x)0恒成立，试求实数a的取值范围审题视点 (1)将a值代入f(x)解析式，通过判断f(x)的单调性求最小值；(2)分a0和a0两种情况讨论解(1)当a时，f(x)x2，在上为增函数，在1，)上为增函数，f(x)minf(1).(2)f(x)x2，x1，)当a0时，f(x)在0，)内为增函数最小值为f(1)a3.要使f(x)0在x1，)上恒成立，只需a30，即a3，3a0.当0a1时，f(x)在1，)上为增函数，f(x)minf(1)a3.a30，a3.0a1.当a1时，f(x)在1，上为减函数，在(，)上为增函数，所以f(x)在1，)上的最小值是f()22,220，显然成立综上所述，f(x)在1，)上恒大于零时，a的取值范围是(3，) 不等式mf(x)恒成立mf(x)max，mf(x)恒成立mf(x)min.【训练3】 (2011南京模拟)定义在R上的函数f(x)的图象过点M(6,2)和N(2，6)，对任意正实数k，有f(xk)f(x)成立，则当不等式|f(xt)2|4的解集为(4,4)时，实数t的值为_解析由题意，f(x)是减函数，且由4f(xt)24，得6f(xt)2.又f(6)2，f(2)6，所以f(2)f(xt)f(6)，所以6xt2，t6xt2，由题意，得所以t2，故填2.答案2难点突破3函数中适应性问题的求解方法定义新的函数有关的概念，是近几年我省高考的一大亮点，无论填空题还是解答题都可能出现，解这类问题关键是化归，即将不熟悉的新问题化归到一般性的常规的数学问题一、定义新的函数概念与已知函数原有概念的关系【示例】 (2011四川)函数f(x)的定义域为A，若x1，x2A且f(x1)f(x2)时总有x1x2，则称f(x)为单函数例如，函数f(x)2x1(xR)是单函数，下列命题：函数f(x)x2(xR)是单函数；若f(x)为单函数，x1，x2A且x1x2，则f(x1)f(x2)；若f：AB为单函数，则对于任意bB，它至多有一个原象；函数f(x)在某区间上具有单调性，则f(x)一定是单函数其中的真命题是_(写出所有真命题的编号)二、定义新的函数性质验证原函数是否具有该性质【示例】 (2011江苏)设f(x)是定义在区间(1，)上的函数，其导函数为f(x)，如果存在实数a和函数h(x)，其中h(x)对任意的x(1，)都有h(x)0，使得f(x)h(x)(x2ax1)，则称函数f(x)具有性质p(a)设函数f(x)ln x(x1)，其中b为实数(1)求证：函数f(x)具有性质 p(a)；(2)求函数f(x)的单调区间