可交换矩阵成立的条件和性质.doc

内蒙古财经大学本科学年论文

可交换矩阵成立的条件与性质

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指导教师评语：

该学生在整个论文书写过程中态度端正，能配合指
导教师，指导教师交给的任务基本能在规定时间内的完
成。在开题以后，对论文题目理解正确，在指导下能完
成论文初稿的书写，书写基本符合规范。但对参考书目
及参考文献的依赖性太大，应在论文中添加自己独立的
理解及总结。

成绩：中

指导教师：

内容提要

矩阵是高等数学中一个重要的内容，在数学领域中以及其他科学领域中有着重大的理论意义.众所周知，矩阵的乘法在一般情况下是不满足交换律的，即在通常情况下，.但是，在某种特殊情况下，矩阵的乘法也能满足交换律.可交换矩阵有着很多特殊的性质和重要的作用.本文从可交换矩阵和相关知识的定义出发，探讨了矩阵可交换的一些条件和可交换矩阵的部分性质，并且介绍了几类特殊的可交换矩阵.
关键字：矩阵 可交换 条件 性质 上三角矩阵

Abstract
Matrix is an important content in altitude-mathematics,it has a great theoretic significance in the aspect of both mathematics and other science fields. As far as we have concerned, the multiplication of matrix could not satisfy the exchange rule under the normal condition, that is to say, normally, . Whereas, in some certain conditions, the multiplication of matrix could satisfy the exchange rule. The exchangeable matrix has many special properties and important effections. This paper discusses some conditions of the matrix exchange and parts of the property of the exchangeable matrix , and also introduces several kinds of specific exchangeable matrix. All of these are discussed from the concept of exchangeable matrix and relative information.
Key Words： matrix interchangeable conditions property upper triangular matrix

目 录

引言……………………………………………………………………………………………1
一 可交换矩阵及相关定义 …………………………………………………………………1
(一)矩阵………………………………………………………………………………………1
(二)可交换矩阵………………………………………………………………………………3
二 可交换矩阵成立的条件与性质 …………………………………………………………3
(一)可交换矩阵成立的条件…………………………………………………………………3
(二)相关结论…………………………………………………………………………………5
(三)可交换矩阵的性质………………………………………………………………………7
三 几类常用的可交换矩阵 …………………………………………………………………7
四 可交换矩阵的应用 ………………………………………………………………………8
五 总结………………………………………………………………………………………10
参考文献 ……………………………………………………………………………………10
致谢 …………………………………………………………………………………………10

可交换矩阵成立的条件与性质

引 言
随着科学技术的迅速发展和计算机技术的进步，科学与工程计算即科学计算的研究受到科学技术人员的极大重视，其应用范围已经渗透到各个学科领域.计算机的普及，使得矩阵理论越来越受到学者、工程技术人员和科技人员的关注.矩阵理论不仅仅是一门重要的数学理论，而且在数值分析、数学建模、最优化方法等数学分支上有极其重要的应用，还在计算机科学、无线电技术和卫星通信等尖端技术科学领域和社会学、经济数学等许多方面都有着重要的用途和具体应用背景.利用矩阵理论与方法来处理错综复杂的工程问题时，具有表达简洁、对工程问题的实质刻画深刻的优点，因此应用矩阵理论和方法来处理工程技术上的各种问题，越来越受到工程界人士的极大重视，逐渐成为数学建模中解决实际问题常用的一种方法，矩阵理论与应用已成为众多学科领域的教学工具.在科学技术人员和学者在解决这些矩阵的计算问题时，逐渐发现把数学的一些计算公式，如平方和、平方差等许多运算律运用到矩阵的计算中来，既利于计算速度的提高，也方便于通过计算机的编程来进行大型矩阵的迅速计算.
一、可交换矩阵及相关定义
㈠矩阵
1、矩阵的定义
由个数 排成的行列的数表

称为行列矩阵，简称矩阵，为表示它是一个整体，总是加一个括弧，并用大写黑体字母表示它，也可以记为或．这里的表示位于的第行第列的元素.称为矩阵的阶数.
矩阵可分为实矩阵与复矩阵.当行数与列数相等，矩阵称为方阵.只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.所有元素为的矩阵称为零矩阵，记为.两个矩阵如果行数与列数完全相同，则称为同型矩阵.
2、矩阵的运算
加减法
设为同型矩阵，则

这里若设为的负矩阵，即，则可以定义减法运算

数与矩阵的乘积
设为实数，则称为矩阵的数乘，且

即给的每个元素均乘以数.
矩阵的乘积
设，则

称为矩阵与矩阵的乘积.其中

即的第行第列元素为的第行各元素与的第列各元素对应相乘再相加.
注意：只有当的行数与的列数相等时，与才能相乘．
对称矩阵
在一个阶方阵中，若元素满足如下性质：

则称为对称矩阵.
反对称矩阵
设是一个阶方阵，如果

则称为反对称矩阵.
㈡可交换矩阵
一般情况下，矩阵的乘法不满足交换律，其原因有以下几点：
1.有意义时，不一定有意义.
2.与均有意义时，可能它们的阶数不相等.
3.与均有意义时，且它们的阶数相等时，仍可能出现.
因此，把满足乘法交换律的矩阵称为可交换矩阵，即若矩阵满足：

则称矩阵和是可交换的.
二、矩阵可交换成立的条件与性质
若成立，则称方阵与为可交换矩阵.设

系数均为数域中的交换数，为上的一个阶方阵，记

容易看出：任何方阵都与其伴随矩阵是可交换的，且二者的乘积为;对于任何方阵，与可交换.
(一) 可交换矩阵成立的条件
定理1[1] 设阶方阵满足条件.则可交换.
证明 由条件,，变形可得

即，所以为可逆矩阵，其逆矩阵为，有

即，从而可得.
定理2[3] 设均为对称矩阵，则可交换的充要条件是为对称矩阵.
证明 设均为对称矩阵，由于，故
所以是对称的.
反之，由于，所以，因此，可交换.
推论 设为阶对称矩阵，则都可交换.
定理3[3] 设为对称矩阵，为反对称矩阵，则可交换的充要条件是为反对称矩阵.
证明 设，,由于,所以

所以为反对称矩阵.
反之，若为反对称矩阵,则

从而.
定理4[3] 设均为反对称矩阵，则可交换的充要条件是为对称矩阵．
证明 因均为反对称矩阵，故有，，又因为可交换，故有成立.从而

反之，若为对称矩阵，则

所以是可交换矩阵.
定理５[3] 若为同阶可逆矩阵，则可交换的充要条件是可交换.
证明 因,故有

即与是可交换的.
反之，因，可交换，故有

两边求逆得到.
推论 可逆矩阵可交换的充要条件是.
定理6[3] 若为阶方阵，则可交换的条件是
证明 如果，那么
反之，若，则，即.
定理7[5] 矩阵能与一切阶矩阵可交换的充分必要条件是为数量矩阵.
证明 若与一切阶矩阵可交换，自然与对角线上元素互不相同的对角矩阵可交换，由此可知必为一对角线矩阵.设

取矩阵

代入条件,得，所以是一个数量矩阵.
反之，设,为任意阶矩阵，则

引理1 (1)时（即为零矩阵时），与可交换得矩阵可以是任意的与同价的矩阵.
(2)的幂矩阵总是与可交换.
定理8[ 7 ] 与可交换的多项式矩阵总可以转化为小于等于次的多项式矩阵.
定理9[ 7 ] 一个矩阵化为约当标准型后，若中没有纯量矩阵的约当块，那么与可交换的矩阵其充要条件为可化为的次多项式.
定理10[7] 下列均是,可交换的充要条件:
(1)
(2)
定理11[5] 可逆矩阵, 可交换的充要条件是：．
定理12[7] (1)设,均为(反) 对称矩阵, 则,B 可交换的充要条件是为对称矩阵．
(2)设,有一为对称矩阵,另一为反对称矩阵,则,可交换的充要条件是为反对称矩阵.
(二)相关结论
定理13[7] 设,是可交换矩阵，则以下结论成立：
(1)
(2)
(3)
(4)，其中分别为正整数

(5)
证明 (1)因为

由已知，可得

(2)
由已知，可得

同理可得：

(3)由已知,可得
,

(4)运用数学归纳法
①当时，由（1）等式成立，即

②假设时，等式成立，即有

③当时，由已知，有

由性质有
，
因此，上式可转化为：

即证得

同理可证得

(5)对用数学归纳法同（4）即可得证.
(三) 可交换矩阵的性质
高等代数中可交换矩阵具有一些特殊的性质.
性质1[2] 设,可交换,则有:
(1),,其中,都是正整数
(2),其中是的多项式,即与的多项式可交换
(3)
(4)
性质2[4](矩阵二项式定理) 设可交换,则有：
(1)若均为对合矩阵,则也为对合矩阵
(2)若均为幂等矩阵,则也为幂等矩阵
(3)若均为幂幺矩阵,则也为幂幺矩阵
(4)若均为幂零矩阵,则均为幂零矩阵.
三、几类常用的可交换矩阵
假设以下矩阵均为阶实方阵，
定理14[7] （1）设至少有一个为零矩阵,则可交换
(2)设至少有一个为单位矩阵, 则可交换
(3)设至少有一个为数量矩阵,则可交换
(4)设均为对角矩阵,则可交换
(5)设均为准对角矩阵,则可交换
(6)设是的伴随矩阵,则与可交换
(7)设可逆,则与可交换
(8)设,则可交换.
定理15[7] (1)设,其中为非零实数,则可交换
(2)设 ,其中为正整数,为非零实数,则可交换.
定理16[7] (1)设可逆,若或或,则可交换
(2)设均可逆,若对任意实数ｋ,均有,则可交换.
四、可交换矩阵的应用
例1 设与所有的阶矩阵均可交换，证明一定是数量矩阵.
证明 记，用将第行第列的元素表示为1，而其余元素为零的矩阵.因与任何矩阵均可交换，因此必与可交换.
由,得
及.
故是数量矩阵.
例2 与任意一个阶方阵相乘都可交换的方阵必为数量矩阵？
解 不妨设为可逆矩阵，由于，所以对于任意可逆阵都有

即的任意线性变换仍是自己，这样的矩阵只能是．
例3　如果矩阵与所有的阶矩阵可交换，则一定是数量矩阵，即．
证明 记用将第行第列的元素表示为1，而其余元素为零的矩阵.因与任何矩阵均可交换，所以必与可交换.由得
（ 及不等于）
故是数量矩阵．
例4 若矩阵都与可交换，则也都与可交换.
解 由已知，，那么
．
例5 与可交换（即)的充分必要条件是为对称矩阵（即）．
解 题目根本就是错的，取单位阵，取任意非对称阵，那么非对称但．一定要加一个条件和本身都是对称阵才有结论.若，则
.
反之，若，则
．
例6 设,为乘积可交换的阶矩阵,且初等因子为一次的，则存在阶可逆矩阵,使得都为对角矩阵.
证明 在中选取一组基,存在线性变换,它们在该基下的矩阵分别为,且,与对角形相似.
例7 所有与可交换的矩阵对于矩阵的加法和乘法作成环.
解 一般地,由于交换性问题,乘法公式对于阶矩阵的多项式不再成立,如果所出现的阶矩阵互相都是交换的,则乘法公式成立.例如
和可交换.
和可交换.
和可交换(不是!)有二项公式.
例8 (1)设矩阵为对角矩阵，其中时，,则可交换的充要条件是为对角矩阵.若均为对角矩阵则，可交换．若与可交换，不等于时，，（），
证明 设，因为为对角矩阵，故

由,即得

而时，
故

所以为对角矩阵．
五、总结
本文通过大量的例题对可交换矩阵在计算与证明以及应用三方面进行了总结分析，在证明方面，涉及了矩阵的条件与性质和矩阵列(行)向量线性相关性等问题，利用可交换矩阵可以很清晰地描述线性方程组的解与其相关内容，对一些具体的解与矩阵行（列）向量组线性相关性之间的关系给出了结论.通过本文的论述，充分体现了可交换矩阵在代数计算与证明方面所具有的一定的优越性，也给出了可交换矩阵和矩阵可交换在代数学中所具有的重要地位，当然在对可交换矩阵的应用的论述上本文并不是所有类型的证明与计算都进行了讨论，只是针对一些具有代表性的应用例子上进行证明，所以在应用的完整性上还有待改进，并可以继续进行研究探讨.于此同时，通过课题的详细研究，也让我进一步巩固和加深了对可交换矩阵的理解，在今后的探讨中相信也会有所进步．

参考文献
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[4].戴笠辉、颜七笙， 《矩阵可交换的条件及可交换矩阵的性质》，华东地质学院学报，2002,25(4)
[5].李瑞娟、张厚超 ，《可交换矩阵浅析》，和田师范专科学校学报，2009(4)
[6].呙林兵，《与方阵可交换的矩阵为矩阵多项式的探讨》，长沙大学学报，2010,24(5)
[7].赵锡英、闫家瀛，《可交换矩阵》，兰州工业高等专科学校学报，2002,9(3)
[8].龙兴华、马圣荣、颜世建，《矩阵方程AX+XB=C的显式解及其应用》， 2002
致谢
本文是在老师的细心指导下完成的，导师从我们每一个人的论题出发，给予我们详细的指导，并结合知识点进行讲解，这使我们从开始的茫然变的思路清晰，课题才得以顺利进行，导师在学习上的谆谆教诲和身体力行以及无私的帮助使我受益终身，在此谨向导师表示衷心的感谢！导师高度的敬业精神，为学生们树立了良好的风范，也是我今后所追求的目标.“登泰山始懂尊冠五岳，遇导师才知德高智睿”，师恩浩瀚，溢于言表! 课题的顺利进行，还得益于和我同行的两位同学和四年来各位同学的支持和帮助，在此特别感谢在论文的书写和编辑上帮助我的同组同学和在文献查阅与思路启发上给予的莫大帮助的同学们，为论文顺利的进行奠定了基础.感谢我的同学提供的友好合作和无私帮助，永远难忘在一起拼搏的日日夜夜.最后谨向所有帮助和支持过我的领导、老师、同学及亲友们表示最诚挚的谢意.
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