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轴对称现象精讲精练
【本章学习目标】
本章主要内容是对轴对称图形进行研究.其中重点是理解轴对称图形及两个图形成轴对称的概念，熟悉常见的各种轴对称图形．欣赏对称的美感，激发学习的兴趣；掌握轴对称的性质，并利用这个性质作出轴对称图形或画出与已知图形成轴对称的图形．难点是对有关对称图形的理解和应用．
1．理解轴对称图形及两个图形成轴对称的概念，识别轴对称现象，熟悉轴对称图形，找出轴对称图形的对称轴．
2．掌握轴对称的性质，角的平分线，线段的重直平分线及等腰三角形的性质．
3．利用轴对称设计图案，作出轴对称图形的另一半，作出一个图形关于一条直线的轴对称图形．
4．欣赏美丽的图案，发现图形的轴对称性并找出对称轴．
在学习的过程中应该注意以下几点：
1．对称轴是一条直线，有些轴对称图形可能有几条，甚至无数条对称轴．
2．有些图形好像是“对称的”但并不是轴对称．
3．轴对称的概念与性质在解决某些计算、作图、证明等问题中有着重要的作用，是中考的必考内容之一．
4．全等的图形不一定是对称的，而对称的图形一定是全等的．
5．轴对称与轴对称图形是既有联系又有区别的两个概念．
它们的主要区别是：
(1)轴对称是两个图形之间的对称关系，轴对称图形是一个图形自身的对称特性．
(2)轴对称的对称点分别在两个图形上，轴对称图形的对称点都在同一个图形上．
(3)两个图形成轴对称，其对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边(点)，轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部．
它们的主要联系是：
(1)都是沿某条直线翻折后能够互相重合．
(2)如果把轴对称的两个图形看做一个整体，那么它们就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两部分就关于这条对称轴对称．

【基础知识精讲】
1．在丰富的现实情境中，经历观察生活中的轴对称现象，探索轴对称现象共同特征等活动，进一步发展空间观念．
2．通过丰富的生活实例认识轴对称，能够识别简单的轴对称图形及其对称轴．
3．欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的广泛应用和它的丰富文化价值．

【重点难点解析】
理解轴对称和轴对称图形的概念，弄清两者之间的区别和联系，能识别简单的轴对称图形．

A．重点、难点提示
理解轴对称和轴对称图形的概念，弄清两者的区别与联系，能识别轴对称图形．（这是本部分的重点与难点）

B．考点指要
轴对称的概念与性质在解决某些计算、作图、证明等问题中有着重要的作用，是中考的必考内容之一．
全等的图形不一定是对称的，而对称的图形一定是全等的．
轴对称与轴对称图形是既有联系又有区别的两个概念．
它们的主要区别是：
（1）轴对称是两个图形之间的对称关系，轴对称图形是一个图形自身的对称特性；
（2）轴对称的对称点分别在两个图形上，轴对称图形的对称点都在同一个图形上；
（3）两个图形形成轴对称，其对称轴可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点），轴对称图形的对称轴一定经过这个图形的内部．
它们的主要联系是：
（1）都试验某直线翻折后能够互相重合；
（2）如果把轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两部分就关于这条对称轴成轴对称．

【难题巧解点拨】
例1 判断直线和射线是不是轴对称图形？
解：直线是轴对称图形，对称轴有无数条，包括这条直线本身及它的任意垂线；（严格根据定义来判断）
射线也是轴对称图形，它的对称轴就是射线所在的直线．
例2 如下图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，点E在AD上，用轴对称的性质证明：BE＝CE．

证明：∵　△ABC中，AB＝AC，BD＝CD（已知），
∴　AD⊥BC（等腰三角形三线合一），
∴　AD垂直平分线段BC，
（在具有轴对称的图形中，如能证明和利用轴对称的性质，有时解题会有意想不到的功效）
∴　点C和点B关于直线AD对称，
又∵　点E在对称轴AD上，
∴　BE＝CE（轴对称的性质）．
注　本题也可用三角形全等、等腰三角形的性质予以证明，请大家自行完成，并对比哪一种证法更为简洁．
例3 如下图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，且AC＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500m．
（1）牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？在图中作出该处，并说明理由；
（2）最短路程是多少？

解：（1）已知：直线CD和CD同侧两点A、B．
求作：CD上一点M，使AM＋BM最小．
作法：①作点A关于CD的对称点，
②连结B交CD于点M，
则点M即为所求的点．
证明：在CD上任取一点，连结A、、B、AM，
∵　直线CD是A、的对称轴，M、在CD上，
∴　AM＝，A＝，∴　AM＋BM＝M＋BM＝B，
在△A′M′B中，∵　＋>B，
∴　＋B>AM＋BM，（三角形两边之和大于第三边）
即AM＋BM最小．
（2）由（1）可得：A＝M，C＝AC＝BD，
∴　△CM≌△BDM，∴　M＝BM，CM＝DM，
即M为CD的中点，且B＝2AM，（三角形全等的理由是什么？）
∵　AM＝500m，∴　B＝AM＋BM＝2AM＝1000m．
答：最短路程为1000m．
注　本题考察几何的实际应用，其关键是理解实际应用问题的理论依据，建立相应的数学模型．

【典型热点考题】
例1 找出下面的轴对称图形(图7—1)，并说出它们各有几条对称轴．

点悟：本题主要考查识别轴对称图形的能力．根据轴对称图形的概念来认真识别．但要注意．图(9)(10)这两个图也有“对称”性，但它们没有对称轴．不能把它们误认为是轴对称图形．
解：根据图形可知：(1)是轴对称图形，它有3条对称轴；(2)是轴对称图形，它有5条对称轴；(3)是轴对称图形．它有4条对称轴.(4)是轴对称图形．它有1条对称轴；(5)是轴对称图形，它有2条对称轴；(6)不是轴对称图形；(7)是轴对称图形，它有1条对称轴；(8)是轴对称图形，它有1条对称轴；(9)(10)虽然有“对称”性，但都不是轴对称图形．

例2 如图7—2，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝30°，求∠1和∠ADC的度数．

点悟：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”．等腰三角形的“三线合一”是等腰三角形的重要性质．
解：因等腰三角形的“三线合一”，
所以AD既是△ABC的顶角平分线又是底边上的高，
∴ ∠ADC＝90°．
∴ ∠A＝180°－30°－30°＝120°，
∴．
例3 观察图7—3中(1)～(5)，它们是不是轴对称图形?有什么共同特点?

点悟：本题主要考查两个图形成轴对称图形的理解．可以利用轴对称的概念加以判断，但不能把两个图形成轴对称与一个图形是轴对称图形的概念相混淆．
解：它们都是轴对称图形，每一组中都有两个图形．可以沿某一条直线对折使两个图形能完全重合在一起，所以每幅图中的两个图形成轴对称．轴对称图形是一个图形．可以有一条或许多条对称轴．(1)～(5)两个图形成轴对称，一般来说只有一条对称轴．

例4 请分别画出图7—4中3个图形的对称轴．

解：(1)有6条对称轴；(2)有5条对称轴；(3)有6条对称轴．画图略．
例5 如图7—5，(1)正三角形，(2)正四边形，(3)正五边形，(4)正六边形，(5)正八边形，(6)正九边形都是轴对称图形，数一数它们的对称轴的条数．观察后分析：正多边形对称轴的条数与边数"有什么关系?根据你的分析结果回答，正十边形，正十六边形，正二十九边形分别有几条对称轴?正五十边形呢?正一百边形呢?

点悟：正多边形并不都是轴对称图形．但是，是轴对称图形的正多边形的对称轴的条数与其边数有着密切的联系，请仔细找出它们之间的规律．
解：正三角形有3条对称轴，正四边形有4条对称轴，正五边形有5条对称轴，正六边形就有6条对称轴，正八边形有8条对称轴，正九边形有9条对称轴．
正多边形对称轴的条数与边数n之间的关系是：边数是n，对称轴的条数是n条．所以正十边形有10条对称轴，正十六边形有16条对称轴，正二十九边形就有29条对称轴，正五十边形就有50条对称轴，正一百边形就有100条对称轴．

【易错例题分析】
例 如图7—6，牧童在A放牛，其家在B处，A、B到河边的距离分别为AC、BD，且AC＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500m．

(1)牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走的路程最短?在图中作出该处．并说明理由；
(2)最短路程是多少?
正解：(1)已知：直线CD和CD同侧两点A、B．
求作：CD上一点M，使AM＋BM最小．
作法：①作点A关于CD的对称点，
②连结交CD于点M，
则点M即为所求的点．
证明：在CD上任取一点，连结，
∵ 直线CD是，的对称轴，在CD上，
∴ ，
∴ ，
在△ABC中，
∵ ，
∴ ，
即 AM＋BM最小．
(2)由(1)可得：，
，
∴ ，
∴ ．
即 M为CD的中点，且，
∵ AM＝500m，
∴ ．
答：最短路程为1000m．
警示：误区①，作AC⊥CD，连结BC，C点即为所求，即AC＋CB为最短；误区②，在CD上找一点M，使AM⊥BM，则AM＋BM为最短；误区③，作BD⊥CD，连结AD，则AD＋BD为最短．以上所有作法都是错误的．本题主要考查的是几何问题的实际应用，关键是充分利用轴对称图形的性质，轴对称的概念与性质在解决某些计算、作图、证明等问题中有着重要的作用，是中考的必考内容之一．
在解决几何知识的实际应用问题时，应该仔细分析题设条件，正确理解实际问题的理论依据，巧妙地建立相应的数学模型．

【同步达纲练习】
一、选择题
1．欣赏图7—7的图案，指出它们中间不是轴对称图形的是 (　　)

2．图7—8的图形中，不是轴对称图形的是 (　　)

3．图7—9的图形中是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是(　　)

4．下列图形中，不是轴对称图形的是 (　　)
A．有两个角相等的三角形
B．有一个角为45°的直角三角形
C.有一个角为30°，另一个内角为120°的三角形
D．有一个内角为30°的直角三角形
5．下列说法中，正确的是 (　　)
A．两个全等三角形组成一个轴对称图形
B．直角三角形一定是轴对称图形
C．轴对称图形是由两个图形组成的
D．等边三角形是有三条对称轴的轴对称图形
二、填空题
1．正方形有________条对称轴，对称轴是_____________________________________.
2．等腰三角形有________条对称轴，对称轴是___________________________________.
3．长方形有________条对称轴，对称轴是_______________________________________.
4．圆有________条对称轴，对称轴是_________________________________________.
5．等边三角形有________条对称轴，对称轴是___________________________________.
6．画图，填空：画△ABC，再画AB、AC的垂直平分线，它们相交于点O．连结OA、OB、OC．
(1)∵ 点O在线段AB的垂直平分线上，
∴ _________＝__________(_____________)．
同理_________＝__________，
∴ _________＝__________，
∴ 点O在线段BC的垂直平分线上(_____________)．
(2)过点O作OM⊥BC，则直线OM是线段BC的__________，由此可知，三角形两边中垂线的交点到三角形__________距离相等，三角形两边中垂线的交点必在第三边的_______上．
三、解答题
1．画出下列每个轴对称图形的对称轴(用虚线)(图7—10)：

2．如图7—11所示，在△ABC中，AB＝AC，D是AB的中点，且DE⊥AB．已知△BCE的周长为8，且AC－BC＝2，求AB、BC的长．

3．如图7—12所示，是不是轴对称图形，它有几条对称轴，请把它画出来．

4．在△ABC中，已知∠A＝40°，∠B＝70°，能判断△ABC是对称图形吗，为什么?
5．如图7—13所示，已知AB＝AC，D是AB上一点，DE⊥BC于E，ED的延长线交CA的延长线于F．那么△ADF是等腰三角形吗?为什么?

6．如图7—14所示，已知直线MN与MN异侧两点A、B，在MN上求作一点P，使线段(PA－PB)最大．

【综合能力训练】
1．下列所描述的图形中，不是轴对称图形的是（　）
A．有两个角相等的三角形
B．有一个角为45°的直角三角形
C．有一个内角为30°，一个内角为120°的三角形
D．有一个内角为30°的直角三角形
2．填空：
（1）长方形有________条对称轴；
（2）等腰三角形有________条对称轴，对称轴是________________；
（3）等边三角形有________条对称轴，对称轴是________________；
（4）圆有________条对称轴，对称轴是________________；
（5）正方形有________条对称轴，对称轴是________________．
3．下列说法中，正确的是（　）
A．两个全等三角形组成一个轴对称图形
B．直角三角形一定是轴对称图形
C．轴对称图形是由两个图形组成的
D．等边三角形是有三条对称轴的轴对称图形
4．下列图形都是轴对称图形，试作出它们所有的对称轴．

5．画图、填空：
画△ABC，再画AB、AC的垂直平分线，它们相交于点O，连结OA、OB、OC．
（1）∵　点O在线段AB的垂直平分线上，同理
∴　________＝________（________________），
同理________＝________，
∴　________＝________，
∴　点O在线段BC的垂直平分线上（________________）．
（2）过点O作OM⊥BC，则直线OM是线段BC的________，
由此可知，三角形两边中垂线的交点到三角形的________距离相等，
三角形两边中垂线的交点必在第三边的________上．
6．如下图，已知直线MN与MN异侧两点A、B，在MN上求作一点P，使线段（PA－PB）最大．