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函数的值域与最值
一、 基础知识回顾
1. 已知，则
2.下列函数的值域为的有 4 个
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
3.求函数值域为
的值域为
4.已知：在上恰有一个最大值1和最小值-1，则的取值范围是
5.已知：x,y为实数，，则的值域为 [0,4]
6.关于x的方程有实数解，则m的取值范围是 [0,8]
7.已知函数f(x)=sinx,g(x)=cosx,直线x=m与f(x),g(x)的图象分别交于 M，N两点，则MN长度的最大值为
8.函数的定义域为[a,b],值域为[0，2]，则b-a的最小值是
9.若函数的值域为R，则a的范围是
10.在△ABC中，若2B=A+C,则y=cosA+cosC的值域为
二．例题精讲
例1.求下列函数的值域

[-2,0]

R (0,1] {0}

例2．
（1） 用a表示f(x)的最大值M(a)
（2） 当M(a)=2时，求a的值
解：（1）
（2）a=-6或a=
例3.若不等式对任意成立，求a的最小值
解：令
1).,可取
2).
3).
综上所述，
例4.已知求函数的值域
解：令
故值域为[2，7]
例5.已知y=f(x)的定义域为R上的奇函数，且x≥0时，
(1)求y=f(x)的解析式
(2)是否存在这样的正数m,n，当x∈[m,n]时，g(x)=f(x),且g(x)的值域为？若存在，求m,n的值；
若不存在，请说明理由
解：（1）
（2）假设存在满足条件的m,n则g(x)= 在[m,n]上单调减
故存在满足条件的m,n，
三．巩固练习
1.函数的值域为
2. 函数（1）的值域为
（2）的值域为 [-2,2]
（3）的值域为 [-7,7]
3.函数在[1,2]中最大值比最小值大，则a的值为
4.如果在[-1,1]上的最大值是2，那么f(x) 在[-1,1]上的最小值是
5.若在时，恒有，则a的取值范围是
6.已知：α，β是方程的两根，则的值域为
7.已知，则的值域为
8.已知函数，若函数值域为[-5，1]，
则a= -6,b=1 或a=6,b=-5

二．解答题
1.设△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c，且acosB-bcosA=c
(1)求的值 (2)求tan(A-B)的最大值
解：（1）=4
（2）令tanA=4t,tanB=t,t>0,则tan(A-B)=,故tan(A-B)最大值为
2.已知函数
(1)当时，求f(x)的最小值
(2)若对任意，f(x)>0恒成立，求a的取值范围
解：（1）f(x)的最小值是
（2）分四种情况讨论
3.已知函数的最大值为2，求a的值
解：令t=sinx,
则,

综上，或

4.二次函数f(x)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1
（1）求f(x)的解析式
（2）若在区间[-1,1]上，y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方，求m的范围
解：（1）
（2）令

-1

5.已知：函数
（1）若f(x)的定义域和值域均是[1,a],求实数a的值
（2）若f(x)在区间上是减函数,且对任意的,总有 ≤4,求a的取值范围
解：（1）在[1,a]上单调减，
（2）在上单调减，

对任意的，总有 ≤4
≤4