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“配方法”及其应用
山东 石少玉
把一个式子或一个式子的某一部分化成完全平方式或几个完全平方式的和、差形式，这种方法叫“配方法”．“直接开平方法”告诉我们根据完全平方公式可以将一元二次方程化为形如的形式后求解，这就自然而然地导出了另一种解一元二次方程的解法——“配方法”．它的理论依据是完全平方公式．
例1．解方程．
解：方程两边都除以2，得，移项，得，
配方，得，即．开方，得．
通过本例可以归纳出用“配方法”解一元二次方程的一般步骤：
1．方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；
2．移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；
3．配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，把原方程化为的形式；
4．若，用“直接开平方法”解出；若，则原方程无实数根即原方程无解．
“配方法”是一种重要的数学方法，它不仅可应用于解一元二次方程，而且在数学的其它领域中也有着广泛的应用．
一、用于比较大小
例2．若代数式，，则的值（　　）
Ａ．一定是负数 Ｂ．一定是正数 Ｃ．一定不是负数 Ｄ．一定不是正数
解：（作差法）

．故选Ｂ．
说明：本例是“配方法”在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项、配成完全平方，使此差大于零而比较出大小.
二、用于因式分解
例3．分解因式：．
解：

．
说明：这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方式，进而运用平方差公式分解因式．
三、用于求待定字母的值
例4．若实数满足，则的值是（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：对已知等式配方，得，∴．
∴．故选Ｃ．
说明：本例是配方法在求值中的应用，将原等式左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．
四、用于求最值
例5．多项式的最小值是（　　）
Ａ．1 Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解：．故选Ｄ．
说明：此例是“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．
五、用于证明
例6．证明方程没有实数根．
证明：
，
即对所有实数，方程左边的代数式的值均不等于，因此，原方程没有实数根．
说明：这是“配方法”在代数证明中的应用，要证明方程没有实数根.似乎无从下手，而用“配方法”将其变成完全平方式后，便“柳暗花明”了．以后，我们学习了函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．
“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．