江苏省2010届高三数学基础知识摸底(3)新人教版.doc

江苏省2010届高三数学基础知识摸底（3）
函数综合应用
1．已知y＝f(x)存在反函数y＝g(x)，若f(3)＝－1，则函数y＝g(x－1)的图象必经过下列各点中的（ ）．
A．(－2,3) B． (0，3) C． (－2，1) D． (4，－1)

2．已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点（－,0）对称，且满足f(x)＝－f(x＋)
f(－1)＝1, f(0)＝－2,则f(1)＋f(2)＋f(3)…＋f(2008) 的值为( )
A．－2 B．–1 C．0 D．1

3．已知f(x)＝，且f－1(x－1)的图象的对称中心是(0，3)，则a的值为（ ）
A．2 B．3 C．－2 D．－3

4．某企业去年销售收入1000万元，年成本分为年生产成本500万元与年广告费成本200万元两部分，若利润的p%为国税，且年广告费超过年销售收入2%的部分也必须按p%征国税．其他不纳税，已知该企业去年共纳税120万元，则税率p%为（ ）．
A．10% B．12% C．25% D．40%

5．国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式n＝ (x为人均食品支出总额， y为人均个人消费支出总额)，且y＝2x＋475，各种类型家庭的恩格尔系数如下表：
家 庭 类 型
贫 困
温 饱
小 康
富 裕
n
n≥59%
50%≤n<59%
40%≤n<50%
30%≤n<40%
李先生居住地2004年比2000年食品价格下降了7.5%，该家庭在2004年购买食品和2000年完全相同的情况下人均少支出75元，则该家庭2004年属于（ ）．
A．贫困 B．温饱 C．小康 D．富裕

6. 已知函数f(x)＝－x2＋x的定义域为[m,n], 值域为[2m,2n], 则m＋n ＝ .

7．已知函数f(x)＝若f(f(x0))＝2，则x0＝ ．

8．已知函数f(x)＝logax(a>0,a≠1)，则
f(1)＋f(2)＋f(3)…＋f(2007) ＋f()＋f ()…＋f()＝ .

9．已知c>0，设P:函数y＝cx在R上单调递减; Q:函数y＝lg(2cx2＋2x＋1)的值域为R，如果“P且Q”为假命题，“P或Q”为真命题，则c的取值范围是 ．

10．已知函数f(x)是y＝－1(x∈R)的反函数，函数g(x)的图象与函数y＝的图象关于直线y＝x－1对称，设F(x)＝f(x)＋g(x)．
（1）求函数F(x)的解析式及定义域；
（2）试问在函数F(x)的图象上是否存在两个不同的点A、B，使直线A、B恰好与y轴垂直?若存在，求出A、B的坐标，若不存在，说明理由．

11．设函数f（x）＝ax3－2bx2+cx+4d（a，b，c，d∈R）的图象关于原点对称，且x＝1时，f（x）的极小值为－.
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈x∈［－1，1］时，图象上是否存在两点，使得过此两点处的切线互相垂直？试证明你的结论
（3）若x1，x2∈x∈［－1，1］时，求证：|f(x1)－f(x2)|≤.

12．已知水渠在过水断面面积为定值的情况下，过水湿周越小，其流量越大，现有以下两种设计，如图：

DD
A
C
B (乙) C
B (甲)
A

图甲的过水断面为等腰△ABC，AB=BC，过水湿周l1＝AB＋BC；
图乙的过水断面为等腰梯形ABCD，AB=CD，AD//BC，∠BAD＝60°，过水湿周l2=AB+BC+CD，若△ABC与梯形ABCD的面积都为S．
(1)分别求 l1和l2的最小值．
(2)为使流量最大，给出最佳设计方案．

参考答案
1.B
2. D
3.A
4. C
5. D
6.－2
7.
8. 0 .
9．(，1)
10．解：
(1) 由y＝－1，得 x=lg，故 f(x)=lg．
又 y＝＝－3，即 y+3=，
∴g(x)图象上的点满足的关系式为x－1＋3＝，即y＝，故g(x)= ，
∴F(x)=f(x)+g(x)=lg＋．
（2）设F(x)的图象上不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且AB与y轴垂直．
设－1< x1 <x2<1，则有y1＝y2．
∵ y1－y2 == (lg＋)－(lg＋)= lg＋(－)
= lg·＋，－1< x1 <x2<1, >1, >1, x2－x1>0
(x1＋2) (x2＋2)>0 ∴lg(·)>0, 从而y1－y2>0, 与y1＝y2矛盾
故不存在AB与y轴垂直．

11.解:
（1）由已知f(－x)＝－f(x)对x∈R成立.
∴－ax3－2bx2－cx+4d＝－ax3+2bx2－cx－4d，
即bx2－2d＝0恒成立，
∴b＝0，d＝0
∴f（x）＝ax3+cx，f′（x）＝3ax2+c
∵x＝1时，f（x）极小值为－，
∴3a+c＝0且a+c＝－，
解得a＝，c＝－1.
（2）当x∈［－1，1］时，图象上不存在这样的两点使结论成立.
假设图象上存在两点A（x1，y1），B（x2，y2），使得过此两点处的切线互相垂直.
则由k1＝x－1，k2＝x－1，x1
且（x－1）·（x－1）＝－1， ① 
∵x1，x2∈［－1，1］∴x－1≤0，x－1≤0，
∴（x－1）（x－1）≥0
这与①矛盾，故假设不成立.
（3）∵ f′（x）＝x2－1，
令f′（x）＝0，得x＝±1
∵x∈（－∞，－1）或x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；
x∈（－1，1）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在上是减函数，且f（x）max＝f（－1）＝，f（x）min＝f（1）＝－.
∴f（x）在上有︱f(x)︱≤，
于是x1，x2∈时，︱f（x1）－f（x2）︱≤︱f（x1）+f（x2）︱≤+＝.
12解：
（1）在图甲中，设∠ABC=θ，AB=BC=a，则S=asinθ，
∴ a=≥，当且仅当sinθ=1，即θ=90°时取“=”，
∴ l1=2a≥2， 即l1的最小值为2．
在图乙中，设AB=CD=m，BC=n， 由∠BAD=60°，可求得：
AD=m+n，S= (n+m+n)·m，∴n=－．
l2=2m+n=2m+－＝＋≥2＝2 ．
当且仅当＝， 即m＝时取“=”，
∴l2的最小值为2．
（2）由于>，∴l2的最小值小于l1的最小值，所以方案乙设计为最佳．