山西省山大附中高三数学3月月考试题-理.doc

山西大学附中2011——2012第二学期高三3月月考
数学试题（理）
考试时间：120分钟 满分：150分
一.选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分）
1．设集合P={1，2，3，4}，Q={}，则P∩Q等于（ ）
A．{1，2} B． {3，4} C． {1} D． {-2，-1，0，1，2}
2．复数的值是（ ）
A． B．－ C．4 D．－4
3．已知，，则等于
A. B．7 C．－ D．－7
4．设是等差数列的前项和，若，则等于
A. B. C. D.
5．张老师给学生出了一道题，“试写一个程序框图，计算S＝1＋＋＋＋”．发现同学们有如下几种做法，其中有一个是错误的，这个错误的做法是 (　　)

6．直线与圆的位置关系是
A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定
7．在△ABC中，分别是角A，B，C所对的边，则“”是“”的
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
8.设a>1，0<b<1，则的取值范围为
A． B． C． D．
9．设，若函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（ ）
A. B. C . D．[1，＋∞)
10．定义在R的函数，满足，则满足的关系是( )
A． B． C． D．
11．椭圆的左右焦点分别为，弦过，若的内切圆周长为，两点的坐标分别为，则值为（ ）
A． B． C． D．
12.给出定义：若（其中m为整数），则m 叫做离实数x最近的整数，记作= m. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：
①函数y=的定义域为R，值域为；
②函数y=的图像关于直线（）对称；
③函数y=是周期函数，最小正周期为1； ④函数y=在上是增函数。
其中正确的命题的序号是( ）
A. ① 　　　　 B.　②③ 　　　 C ①②③ 　　　　 D ①④
二.填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）
13．观察下列等式：

可以推测：＝________(，用含有的代数式表示)．
14．已知，且关于的函数在上有极值，则与的夹角范围为_ ___
15. 已知当取得最小值时，直线与曲线的交点个数为
16．已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的，满足，，
考查下列结论：①；②为偶函数；③数列为等比数列；④数列为等差数列。其中正确的是__________ .
山西大学附中2011——2012第二学期高三3月月考
数学试题（理）答题纸
考试时间：120分钟 满分：150分
三．解答题：（本题共6大题，共70分）
17．（本小题满分12分）
中内角的对边分别为，向量且
（1）求锐角的大小，
（2）如果，求的面积的最大值

18.（本小题满分12分）
某高等学校自愿献血的50位学生的血型分布的情况如下表：
血型
A
B
AB
O
人数
20
10
5
15
（1）从这50位学生中随机选出2人，求这2人血型都为A型的概率；
（2）从这50位学生中随机选出2人，求这2人血型相同的概率；
（3）现有一位血型为A型的病人需要输血，要从血型为A,O的学生中随机选出2人准备献血，记选出A型血的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．

19．（本小题满分12分）
将两块三角板按图甲方式拼好，其中，，，，现将三角板沿折起，使在平面上的射影恰好在上，
如图乙．
(1)求证：平面；
(2)求二面角的大小；
(3)求异面直线与所成角的大小．

20．（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的横坐标为，过点作抛物线的切线交轴于点，交轴于点，交直线于点，当时，．
（Ⅰ）求证：为等腰三角形，并求抛物线的方程；
（Ⅱ）若位于轴左侧的抛物线上，过点作抛物线的切线交直线于点，交直线于点，求面积的最小值，并求取到最小值时的值．

21．（本小题满分12分）
已知函数
（1）若是单调函数，求的取值范围；
（2）若有两个极值点，证明：

请考生在第22～24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。
22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，圆O为△ABC的外接圆，且AB＝AC，过点A的直线交圆O　　
于点D，交BC的延长线于点F，DE是BD的延长线，连接CD。
（Ⅰ）求证：∠EDF＝∠CDF；
（Ⅱ）求证：AB2＝AF·AD。

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
直角坐标系和极坐标系的原点与极点重合，轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为为参数）。
（1）在极坐标系下，曲线C与射线和射线分别交于A，B两点，求的面积；
（2）在直角坐标系下，直线的参数方程为（为参数），求曲线C与直线的交点坐标。
24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知的解集为M。
（1）求M； （2）当时，证明：

山西大学附中2011——2012第二学期高三3月月考
数学试题（理）
考试时间：120分钟 满分：150分
一.选择题（本大题共12小题,每小题5分，共60分）
1．设集合P={1，2，3，4}，Q={}，则P∩Q等于（ ）
A．{1，2} B． {3，4} C． {1} D． {-2，-1，0，1，2}
2．复数的值是（ ）
A． B．－ C．4 D．－4
3．已知，，则等于
A. B．7 C．－ D．－7
4．设是等差数列的前项和，若，则等于
A. B. C. D.
5．张老师给学生出了一道题，“试写一个程序框图，计算S＝1＋＋＋＋”．发现同学们有如下几种做法，其中有一个是错误的，这个错误的做法是 (　　)

答案：C
6．直线与圆的位置关系是
A．相离 B．相交C．相切 D．不确定
7．在△ABC中，分别是角A，B，C所对的边，则“A＜B”是“cos 2A＞cos 2B”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8.设a>1，0<b<1，则的取值范围为
A． B． C． D．
9．设，若函数在区间上单调递增，则ω的取值范围是（ ）
A. B. C. D．[1，＋∞)
10．定义在R的函数，满足，则满足的关系是( )
A． B． C． D．
11．椭圆的左右焦点分别为，弦过，若的内切圆周长为，两点的坐标分别为，则值为（ ）
A． B． C． D．
12.给出定义：若（其中m为整数），则m 叫做离实数x最近的整数，记作= m. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：
①函数y=的定义域为R，值域为；
②函数y=的图像关于直线（）对称；
③函数y=是周期函数，最小正周期为1； ④函数y=在上是增函数。
其中正确的命题的序号是( ）
A. ① 　　　　 B.　②③ 　　　 C ①②③ 　　　　 D ①④
二.填空题（本大题共4小题,每小题5分，共20分）
13．观察下列等式：

可以推测：＝________(，用含有的代数式表示)．
答案　n2(n＋1)2
14．已知，且关于的函数在上有极值，则与的夹角范围为_ ___
15. 已知当取得最小值时，直线与曲线的交点个数为 2
16．已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的，满足，，
考查下列结论：①；②为偶函数；③数列为等比数列；④数列为等差数列。其中正确的是_____①③④_____ .

三．解答题：（本题共6大题，共70分）
17．（本小题满分12分）
中内角的对边分别为，向量且
（1）求锐角的大小，
（2）如果，求的面积的最大值
解：（1）
即 ……………3分
又为锐角 ………6分
（2） 由余弦定理得
即----------------------------------------------------9
又 代入上式得（当且仅当 时等号成立）…10分
（当且仅当 时等号成立。）………12分
18.（本小题满分12分）
某高等学校自愿献血的50位学生的血型分布的情况如下表：
血型
A
B
AB
O
人数
20
10
5
15
（1）从这50位学生中随机选出2人，求这2人血型都为A型的概率；
（2）从这50位学生中随机选出2人，求这2人血型相同的概率；
（3）现有一位血型为A型的病人需要输血，要从血型为A,O的学生中随机选出2人准备献血，记选出A型血的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．
解：（Ⅰ）记“这2人血型都为A型”为事件A，那么，
即这2人血型都为A型的概率是．
（Ⅱ）记“这2人血型相同”为事件B，那么，
所以这2人血型相同的概率是．
（Ⅲ）随机变量可能取的值为0，1，2．且，
，．
所以的分布列是

0
1
2

的数学期望为E=0×+1×+2×=．
19．（本小题满分12分）
将两块三角板按图甲方式拼好，其中，，，，现将三角板沿折起，使在平面上的射影恰好在上，如图乙．
(1)求证：平面；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)求二面角的大小；
(3)求异面直线与所成角的大小．

（1）设在的射影为，则平面，
， 又，平面
，又，平面
（2）由（1），又， 为中点
以为轴，为轴，过且与平行的直线为轴建系，则

设为平面的法向量，由，可得
易知为平面的法向量，
所以所求二面角为
（3），所以所求角为
20．（本小题满分12分）
已知抛物线的焦点为，抛物线上一点的横坐标为，过点作抛物线的切线交轴于点，交轴于点，交直线于点，当时，．（Ⅰ）求证：为等腰三角形，并求抛物线的方程；（Ⅱ）若位于轴左侧的抛物线上，过点作抛物线的切线交直线于点，交直线于点，求面积的最小值，并求取到最小值时的值．
（II）设，则处的切线方程为
由，
同理，所以面积……①
设的方程为，则由，得代入①得：，使面积最小，则得到② 令，②得，，所以当时单调递减；当单调递增，所以当时，取到最小值为，此时，，
所以，即 …15分
21．（本小题满分12分）
已知函数（1）若是单调函数，求的取值范围；（2）若有两个极值点，证明：
【解析】（Ⅰ）＝－lnx－ax2＋x，] ＝－－2ax＋1＝－．2分
令Δ＝1－8a,当a≥时，Δ≤0，≤0，在(0，＋∞)单调递减．…4分
当0＜a＜时，Δ＞0，方程2ax2－x＋1＝0有两个不相等的正根x1，x2，
不妨设x1＜x2，则当x∈(0，x1)∪(x2，＋∞)时，＜0，当x∈(x1，x2)时，＞0，
这时不是单调函数．综上，a的取值范围是[，＋∞)． …6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当且仅当a∈(0，)时，有极小值点x1和极大值点x2，
且x1＋x2＝，x1x2＝．＝－lnx1－ax＋x1－lnx2－ax＋x2＝－(lnx1＋lnx2)－(x1－1)－(x2－1)＋(x1＋x2)＝－ln(x1x2)＋(x1＋x2)＋1＝ln(2a)＋＋1．…9分
令g(a)＝ln(2a)＋＋1，a∈(0，]，则当a∈(0，)时，g¢(a)＝－＝＜0，g(a)在(0，)单调递减，所以g(a)＞g()＝3－2ln2，即． …12分
22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
22.(1) , , ,
∠EDF＝∠CDF；

(2)
,,,

22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
直角坐标系和极坐标系的原点与极点重合，轴正半轴与极轴重合，单位长度相同，在直角坐标系下，曲线C的参数方程为为参数）。（1）在极坐标系下，曲线C与射线和射线分别交于A，B两点，求的面积；（2）在直角坐标系下，直线的参数方程为（为参数），求曲线C与直线的交点坐标。

23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知的解集为M。
（1）求M； （2）当时，证明：
（24）解：（Ⅰ）f(x)＝|x＋1|＋|x－1|＝
当x＜－1时，由－2x＜4，得－2＜x＜－1；当－1≤x≤1时，f(x)＝2＜4；
当x＞1时，由2x＜4，得1＜x＜2．所以M＝(－2，2)． …5分
（Ⅱ）当a，b∈M即－2＜a，b＜2，∵4(a＋b)2－(4＋ab)2＝4(a2＋2ab＋b2)－(16＋8ab＋a2b2)
＝(a2－4)(4－b2)＜0，∴4(a＋b)2＜(4＋ab)2，∴2|a＋b|＜|4＋ab|．…10分

11
用心 爱心 专心