基于值和左、右偏离度的模糊数排序.pdf

基础学科基于值和左、右偏离度的模糊数排序徐晨晨1，叶国菊1，刘尉1*，史芳芳1，赵大方2（1.河海大学理学院,江苏南京210098；2.湖北师范大学数学与统计学院,湖北黄石435002）摘要：基于模糊数的值和左、右偏离度，提出了一种新的模糊数排序方法，并引入参数 来衡量排序指标中是否包含偏离度。研究了该排序方法的性质，如自反性，反对称性和传递性等。最后，用数值例子说明所提出的排序方法克服了其他方法的某些局限性，具有一定的优势。关键词：模糊数的值；左偏离度；右偏离度；模糊数排序中图分类号：O159文献标志码：A文章编号：1673159X(2023)05010508doi：10.12198/j.issn.1673159X.4797ATheoreticalApproachtoRankingofFuzzyNumbersUsingValueandLeft-rightDeviationDegreeXUChenchen1，YEGuoju1，LIUWei1*，SHIFangfang1，ZHAODafang2（1.College of Science,Hohai University,Nanjing 210098 China;2.School of Mathematics and Statistics,Hubei Normal University,Huang Shi 435002 China）Abstract:Thispaperproposesanewfuzzynumberrankingmethodbasedonfuzzynumbervalueandleftandrightdeviationdegree,andintroducesparameters tomeasurewhethertherankingindexcontainsdeviationdegree.Secondly,thepropertiesofthesortingmethod,suchasreflexivity,antisymmetryandtransitivity,arestudied.Finally,numericalexamplesareillustratedandtheresultshowthattheproposedrankingmethodcanovercomesomelimitationsofothermet-hodsandhascertainadvantages.Keywords:thevalueofthefuzzynumber；leftdeviationdegree；rightdeviationdegree；rankingoffuzzynumbers模糊集理论在许多研究领域都发挥着重大的作用，如决策、模糊信息的处理等。模糊环境下的风险分析，又称模糊风险分析，越来越受到研究者的欢迎。文献 1 首先在生产系统中引入了模糊风险分析，其中涉及的参数是发生故障的概率和损失的严重程度。不同时期的研究人员提出了各种解决风险分析的方法26，一般情况下，将这些风险分析问题所涉及的参数表示为语言术语，通常用模糊收稿日期：20221018基金项目：国家冰川冻土沙漠科学数据中心项目（2021kf03）；湖北省教育厅重点项目（D20192501）。第一作者：徐晨晨（1999），女，硕士研究生，主要研究方向为区间分析与模糊理论研究。ORCID：0000000185756517E-mail：*通信作者：刘尉（1987），男，副教授，博士，硕士研究生导师，主要研究方向为不确定分析。ORCID：0000000342920174E-mail：引用格式：徐晨晨，叶国菊，刘尉，等.基于值和左、右偏离度的模糊数排序J.西华大学学报（自然科学版），2023，42（5）：105112.XUChenchen,YEGuoju,LIUWei,etal.ATheoreticalApproachtoRankingofFuzzyNumbersUsingValueandLeft-rightDeviationDegreeJ.JournalofXihuaUniversity（NaturalScienceEdition）,2023,42（5）:105112.第 42卷第 5 期西华大学学报（自然科学版）2023年9月Vol.42，No.5JournalofXihuaUniversity（NaturalScienceEdition）Sep.2023数来表示。这就需要对这些模糊数进行排序，以便更适当地进行决策。文献研究26表明，随着时代的发展，各种排序方法层出不穷。不幸的是，没有公认的模糊数的排序方法。人们发现，现有的方法有时无法解释模糊数的排序顺序，因此，需要合乎逻辑的排序方法是极其重要的。许多研究者在模糊数的排序方面做出了巨大的贡献，提出了越来越多有效的方法。自 1976 年以来，已有 30 多个模糊数的排序指标被提出319。这里，本文对已有的一些排名方法进行简单的回顾，不同的模糊数的排序方法是基于不同的概念和定义。Yager7采用了模糊数质心的概念。Wang 等8对质心公式进行了修正，提出了一种广义的模糊数排序方法。但是文献 8 中的方法无法区分具有面积补偿的模糊数，因此，Yu 等9改进了文献 8 中的方法。此外，该方法已被推广用于不同类型的模糊数进行排序。Chen 等10提出了一种考虑正边面积、负边面积和广义模糊数高度的方法。然而，当模糊数对称且核相同时，该方法无法区分这些模糊数。Chen 等11又提出了一种考虑模糊数的高度和支撑，对不同高度和不同支撑的广义模糊数排序的方法。然而，该方法无法区分具有面积补偿的模糊数。文献 12 提出了一种基于参考函数角度的模糊数排序方法。然而，具有精确值的模糊数不具有角度的概念；因此，该方法在这种情况下无法区分。Rezvani 等13提出了一种利用模糊数 Mellin 变换得到的方差指数对梯形模糊数排序的方法。由于具有精确值的模糊数不存在方差，因此，该 方 法 在 这 类 模 糊 数 中 无 法 区 分 它 们。Wang 等8首次提出了 L-R 偏离度的思想，之后Asady14重新定义了 L-R 偏离度，但是保留了 Wang等8方法中的所有缺陷。因此，需要新的方法克服现有方法的这些局限性和缺点。最近，Cheng 等16使用了 Yager7提出的黄金法则代表值的概念并对它进行了推广，提出了一种新的模糊数排序方法。Barazandeh 等17利用模糊数的左、右高度不同，提出了一种对广义模糊数进行排序的新方法。之后，Patra18借助广义梯形模糊数的均值、面积和周长，提出了一种广义梯形模糊数的排序方法。此外，在模糊数的排序指标中引入模糊数的值的计算公式能够产生良好的结果，如 Chutia 等19利用模糊数的值和模糊度的计算公式，对区间 2 型模糊数进行了排序。但是当模糊数的值计算结果相等时，该方法就无法对这些模糊数和它们所对应的像进行正确的排序。鉴于以上情况，本文提出了一种基于模糊数的值以及左、右偏离度的排序方法，并引入了一个参数 来衡量排序指标是否包含偏离度。接着，利用模糊数和它们的像之间的各种关系，讨论了所提出方法的自反性、反对称性和传递性等性质，从而验证了该方法的合理性。最后，通过数值例子与其他排序方法进行比较表明，该方法在所有情况下优于其他方法，克服了传统的排序方法无法对某些模糊数排序的局限性。1预备知识RA:R 0,1定定义义 12设 是实数集。若满足以下条件：Ax0 RA(x0)=11)是正规的模糊集，即使得；Ax y zA(y)A(x)A(z)2)是 凸 模 糊 集，即 对 任 意 的，有；Ax0 R 0 0|xx0|A(x)04)是紧集(可以简单理解为直线上的有界闭集)。AE1则称 是模糊数。全体模糊数的集合记为，称为模糊数空间。A=(a,b,c,d;)E1定义定义24设是一个广义的模糊数，其隶属函数定义为fA(x)=fLA(x),a x b,b x c,fRA(x),c x d,0,其他。（1）0 1 fLA:a,b 0,fRA:c,d 0,gLA:0,a,b gRA:0,c,d其中，是严格递增的连续函数，是严格递减的连续函数。它们对应的反函数分别为，。A=(a,b,c,d;)E1定义定义34设是一个广义的梯形模糊数，其隶属函数定义为106西华大学学报（自然科学版）2023年fA(x)=(xa)ba,a x b,b x c,(dx)dc,c x d,0,其他。（2）0 1其中，。=1A=(a,b,c,d;1)=1b=c如果，则是正规梯形模糊数。如果并且，则是正规三角模糊数。A=(a,b,c,d;)E1A=(d,c,b,a;)A定义定义45设，则称是 的像。A=(a,b,c,d;)E1s:0,1 0,1yA定义定义56设，是关于 的函数，则 的值定义为VA=w0s(y)(gLA(y)+gRA(y)dy。（3）Ai=(ai,bi,ci,di;i)i=1,2,n 1Ai定义定义65设，是非常小的正数，则的传递系数定义为Ai=VAiVmin+12VmaxVmin+1（4）Vmin=minVAini=1Vmax=maxVAini=1其中，。Ai=(ai,bi,ci,di;i)i=1,2,nAiamindmax定义定义74设，则关于和的左、右偏离度定义为dLAi=wbiaminidxwbiaiifLAi(x)dx（5）dRAi=wdmaxciidxwdiciifRAi(x)dx（6）amin=minaini=1dmax=maxdini=1其中，。2主要结论本节提出了一种利用值和左、右偏离度对模糊数排序的新方法，并给出了一些重要的引理和定理来验证该方法的合理性。Ai=(ai,bi,ci,di;i)i=1,2,nAi定义定义8设，则的排序指标定义为DAi=V(Ai)+dLAiAi+dRAi(1Ai)（7）其中，=0，V(Ai),V(Aj),1，V(Ai)=V(Aj)0,1，V(Ai)=V(Aj)DAjAi Aj1）若，则；DAi DAjDAi DAj V(Ai)+dLAiAi+dRAi(1Ai)V(Aj)dLAjAj+dRAj(1Aj)+。由引理1、引理2和引理 3可得dLAiAi=dRAi(1Ai)，dRAi(1Ai)=dLAiAi。因此，可以分 3 种情况讨论。V(Ai),V(Aj)=0DAi DAjVAi VAj1），。由，可 知。根据定理1得V(Ai)V(Aj)V(Ai)V(Aj)，DAi 0 =1DAi DAj2），。由，可知dLAiAi+dRAi(1Ai)dLAjAj+dRAj(1Aj)，dRAi(1Ai)+dLAiAidRAj(1Aj)+dLAjAj，dRAi(1Ai)+dLAiAi dRAj(1Aj)+dLAjAj。V(A)=V(A)V(Ai)=V(Aj)0DAi DAj又因为，所以。V(Ai)=V(Aj)DAj3），。由，可知dLAiAi+dRAi(1Ai)dLAjAj+dRAj(1Aj)，dRAi(1Ai)+dLAiAidRAj(1Aj)+dLAjAj，dRAi(1Ai)+dLAiAi 0DAi DAj又因为，所以。A BC定理定理2设，是任意 3 个模糊数，有以下结论成立：A A1）。(自反性)A B B CA C2），则。(传递性)A B B AA B3）如果，当且仅当。(反对称性)证明：1）结论显然。A B B CA B1BC22）设，其中，排序指标中的参数记为，排序指标中的参数 记为，证明可以分为以下 4 种情况进行讨论。1=2=0DA DBDB DC1=2=0VA VBVB VCVA VCDA DCA C当时，且。因为，所以，。因此，。1=2=1DA DBDB DC1=2=1VA=VBVB=VC当时，且。因为，所以，可以得到dLAA+dRA(1A)dLBB+dRB(1B),dLBB+dRB(1B)dLCC+dRC(1C)，则有dLAA+dRA(1A)dLCC+dRC(1C)，VAdLAA+dRA(1A)VBdLBC+dRC(1C)。DA DCA C因此，。1=1 2=0DA DBDB DC1=1 2=0V(A)=V(B)V(B),V(C)V(B)V(C)V(A)V(C)DA DCA C当，时，且。因为，所以，可以得到，。因此，。1=0 2=1DA DBDB DC1=0 2=1V(A),V(B)V(B)=V(C)V(A)V(B)V(A)V(C)DA DCA C当，时，且。因为，所以，可以得到，。因此，。A B B ADA DBDB DADA=DBA B3）设，则，。因此，。3数值例子A=(0.1,0.2,0.2,0.3;1.0)B=(0.1,0.2,0.2,0.3;0.8)B0.8ABA B例例 1：假设有一个正规模糊数和一个非正规的模糊数。很显然，从人类的直觉角度来说，由于这两个模糊数具有相同的支撑，并且 的高度为，所以人们更认为 大于。通过各种方法对这两个模糊数进行排序，如表 1。从表中可以看出文献 7、文献 14 和文献 15 的方法无法区分它们。文献8、文献 9 和文献 13可以得到，但是无法区分它们的像。而利用本文提出的方法，由于108西华大学学报（自然科学版）2023年DA=0.200 0 DB=0.128 0，以及根据定理 1 可知，对这两个模糊数及其像进行排序的顺序分别为A BA B，这是符合人类直觉的。此外，这与文献 10、文献 11 和文献 12 的结果一致。表1例 1 中的模糊数排序Tab.1RankingoffuzzynumbersinExample1。方法决策水平ABABAB和 的比较结果AB和的比较结果文献70.20000.20000.20000.2000A BA B文献80.38870.33330.38870.3333A BA B文献9=1.00.15000.13000.15000.1300A BA B=0.50.10000.08000.10000.0800A BA B=0.00.05000.03000.05000.0300A BA B文献100.20000.18820.20000.1882A BA B文献110.18490.14790.18490.1479A BA B文献120.89000.71180.09000.0881A BA B文献130.01160.01150.01160.0115A BA B文献140.16660.16660.16660.1666A BA B文献150.20000.20000.20000.2000A BA B本文中提到的方法0.20000.12800.20000.1280A BA BA=(0.1,0.4,0.4,0.5;1.0)B=(0.2,0.3,0.3,0.6;1.0)例例 2：假设有两个具有面积补偿的模糊数和，通过各种方法对两个模糊数进行排序，如表 2。从表中可以看出文献 10、文献 11 和文献 12 的方法无法区分它们。文献 8 和文献 13 可以得到A BDA=0.366 7 DB=1.6667A B A B，但是无法区分它们的像。而利用本文提出的方法，由于，以及根据定理1可知，对这两个模糊数及其像进行排序的顺序分别为，这与文献 7 和文献 9 的结果一致。表2例 2 中的模糊数排序Tab.2RankingoffuzzynumbersinExample2。方法决策水平ABABAB和 的比较结果AB和的比较结果文献70.33330.36660.33330.3666A BA B文献80.33500.36820.33500.3682A BA B文献9=1.00.34490.35510.34490.3551A BA B文献100.35000.35000.35000.3500A BA B文献110.29830.29830.29830.2983A BA B文献121.16221.16220.23770.2377A BA B文献130.02960.04660.02960.0466A BA B本文中提到的方法0.36671.66670.36671.6667A BA BA=(0.1,0.2,0.2,0.6;1.0)B=(0.25,0.275,0.275,0.3;1.0)C=(0.2,0.3,0.3,0.4;1.0)例例3：假设模糊数，和。通过各种方式对这 3 个模糊数进行排序，如表 3。文献 7 和文献 8 根据模糊数的质心进行推断，第5期徐晨晨等:基于值和左、右偏离度的模糊数排序109ACACABAC CBB C A当 和 的质心相等时，导致 和 之间的决策难以区分，这是一种错误的排序。此外，文献 8 和9 的方法表明图像的排序与这些模糊数不一致。文献 10 无法区分完全不同的模糊数 和。虽然，12 对这些模糊数进行了排序，但他们未能对其图像进行排序。文献 13 的排序准则只依赖于模糊数的方差。从模糊数来看，我们可以说 的方差大于，的方差大于，因此得出的结DA=0.250 0 DB=0.275 0 DC=0.300 0A B C A B C论是不正确的。因此，当模糊数具有相同的质心和不同的支撑时，这些方法无法做出正确的决策。然而利用本文提出的方法，由于，以及定理 1 可知，对这些模糊数及其图像的排序分别为，这种方法得到的结果是更符合逻辑的并且与文献11、14 和 15 结果一致。表3例 3 中的模糊数排序Tab.3RankingoffuzzynumbersinExample3。方法ABCABC决策结果文献70.30000.27500.30000.30000.27500.3000B A CB A C文献80.44840.43210.44840.44840.43210.4484B A CA C B文献90.30000.18750.25000.45000.33570.3500A C BA C B文献100.27500.27500.30000.27500.27500.3000A B CA B C文献110.22510.26950.27730.22510.26950.2773A B CA B C文献120.99341.04931.09010.10650.05620.1099A B CA C B文献130.04190.01850.02380.04190.01850.0238B C AA C B文献140.17950.21210.25000.61900.48140.4285A B CA B C文献150.22450.27500.30000.22450.27500.3000A B CA B C本文中提到的方法0.25000.27500.30000.25000.27500.3000A B CA B CA=(1.0,1.0,1.0,1.0;1.0)B=(1.0,1.0,1.0,1.0;0.8)C=(1.0,1.0,1.0,1.0;0.5)A B C例例4：假设有另一组简单的例子，和。直观上，这些模糊数的排序应该是，通过各种方法对这 3 个模糊数进行排序，如表 4。从表中可以看出，文献 7、文献 8 和文献 13 的方法无法区分这些模糊数。文献 9、文献 14 和文献 15 的方法认为这些模糊数及其图像是相同的，这是不合逻辑的。此外，即使这些模糊数不同，A B CC B A但决策者的偏好水平也认为这些模糊数是相同的。因此，表中的大多数方法不能区分具有相同支撑的不同高度的精确值模糊数。由于质心点的期望不受模糊数高度的影响，所以产生了这种限制。然而，本文提出的方法可以克服这些限制，对这些模糊数及其图像的排序分别为和，这是符合人类直觉，是合乎逻辑的并且与文献 10 和文献 11 结果一致。110西华大学学报（自然科学版）2023年表4例 4 中的模糊数排序Tab.4RankingoffuzzynumbersinExample4。方法ABCABC决策结果文献7文献8文献9=1.00.00000.00000.00000.00000.00000.0000A B C=0.5,=0.0A B C文献101.00000.94120.80001.00000.94120.8000A B CA B C文献111.00000.80000.50001.00000.80000.5000A B CA B C文献122.50002.32002.12501.50001.68001.8750A B CA B C文献13文献140.00000.00000.00000.00000.00000.0000A B CA B C文献151.00001.00001.00001.00001.00001.0000A B CA B C本文中提到的方法1.00000.64000.25001.00000.64000.2500A B CA B C4结论通过回顾可以看出，现有的排序方法大都不能对某些模糊数进行排序。因此，提出了一种基于模糊数的值以及左、右偏离度的新排序方法。在第4 节中描述的数值例子展示了所提出的方法如何在各种情况下优于其他方法。在例 1 中，该方法可以清晰地对具有相同支撑和不同核的模糊数进行排序。从例 2 中我们可以看出，现有的大多数方法无法对两个具有面积补偿的模糊数进行排序，而本文中提到的方法可以对这两个模糊数以及它们的图像作出正确的排序。在例 3 中，当模糊数具有相同的质心和不同的支撑时，大多数方法无法对其做出正确的排序，但是利用本文的方法可以得到合乎逻辑的排序。此外，在例 4 中该方法还可以对不同高度且具有精确值的模糊数进行排序，这些模糊数在大多数的研究中常常被忽略。从以上例子可以看出，在排序方法中引入模糊数的值和左、右偏离度是非常合理的，并且得到的结果也完全符合人类的直觉，克服了传统的排序方法无法对某些模糊数进行排序的局限性。参考文献1SCHMUCKERKJ.Fuzzysets,nanurallanguagecomputations,and risk analysisJ.Computer SciencePress,1984,27（3）:395396.2陈德刚.粒计算基础教程 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