【全程复习方略】(广西专用)2013版高中数学-单元评估检测(二)课时提能训练-理-新人教A版.doc

【全程复习方略】（广西专用）2013版高中数学 单元评估检测(二)课时提能训练 理 新人教A版
(第二章)
（120分钟 150分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.函数y＝的定义域为(　　)
(A)[－，－1)∪(1，] (B)(－，－1)∪(1，)
(C)(－2，－1]∪(1，) (D)(－2，－1)∪(1,2)
2.下列函数中值域为正实数集的是(　　)
(A)y＝ (B)y＝()1－x
(C)y＝ (D)y＝
3.函数y＝21－x＋3(x∈R)的反函数的解析式为(　　)
(A)y＝log2(x>3)　　
(B)y＝log2(x>3)
(C)y＝log2(x<3)
(D)y＝log2(x<3)
4.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么它的图象是图中的(　　)

5.(2012·百色模拟)已知函数f(x)＝2x＋3，f－1(x)是f(x)的反函数，若mn＝16(m，n为正实数)，则f－1(m)＋f－1(n)的值为(　　)
(A)10　　　(B)4　　　(C)1　　　(D)－2
6.(预测题)设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
(A)a>b>c (B)b<c<a
(C)b>c>a (D)a<b<c
7.将函数y＝2x的图象向左移1个单位，得到图象C1，再将C1向上平移1个单位得到图象C2，作出C2关于直线y＝x的对称图象C3，则C3的解析式为(　　)
(A)y＝log2(x－1)－1 　(B)y＝log2(x＋1)＋1
(C)y＝log2(x－1)＋1 　(D)y＝log2(x＋1)－1
8.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是(　　)

(A)a>1，b<0 (B)a>1，b>0 (C)0<a<1，b>0 (D)0<a<1，b<0
9.定义在R上的偶函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，且f()＝0，则不等式
f(x)＞0的解集是(　　)
(A)(，0) (B)(2，＋∞)
(C)(0，)∪(2，＋∞) (D)(，1)∪(2，＋∞)
10.(2011·福建高考)对于函数f(x)＝asinx＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是(　　)
(A)4和6　(B)3和1　(C)2和4　(D)1和2
11.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且是周期为2的周期函数，当2≤x≤3时，f(x)＝－x，则f()的值为(　　)
(A) (B)－ (C) (D)－
12.(2012·河池模拟)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝
3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈N*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　　)
(A)100台 (B)120台 (C)150台 (D)180台
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.(2012·南京模拟)函数f(x)＝x·(＋n)为偶函数，则实数n的值为　　　　.
14.若函数f(x)＝在区间(m,2m＋1)上是单调递增函数，则m的取值范围是　　　　.
15.(易错题)已知函数f(x)满足：f(1)＝，4f(x)f(y)＝f(x＋y)＋f(x－y)(x，y∈R)，则f(2 012)＝　　　　.
16.(2011·山东高考改编)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1).
当2<a<3<b<4时，满足f(x0)＝0的根x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝　　　　.
三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)已知x＋y＝12，xy＝9，且0<x<y，求的值.
18.(12分)(2012·马鞍山模拟)已知函数f(x)＝满足f(c2)＝.
(1)求常数c的值；
(2)解不等式f(x)>＋1.
19.(12分)已知f(x)＝－(a>0，且a≠1).
(1)求证：f(x)的图象关于(，－)对称.
(2)求f(－2)＋f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)的值.
20.(12分)(2012·衡水模拟)已知函数f(x)＝x2，g(x)＝x－1.
(1)若存在x∈R使f(x)<b·g(x)，求实数b的取值范围；
(2)设F(x)＝f(x)－mg(x)＋1－m－m2，且|F(x)|在[0,1]上单调递增，求实数m的取值范围.

21.(12分)(2012·日照模拟)函数f(x)的定义域D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2).
(1)求f(1)的值；
(2)判断f(x)的奇偶性并证明；
(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围.
22.(12分)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数解析式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨.
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？

答案解析
1.【解析】选A.要使y＝有意义，即x的取值范围就是不等式组的解集，
即.
解此不等式组得－≤x<－1或1<x≤，即[－，－1)∪(1，]，所以选A.
2.【解析】选B.A中指数取不到零，因此值域为(0,1)∪(1，＋∞)；B中指数可以取到所有实数，故值域是正实数集；C的值域是[0，＋∞)，D的值域为[0,1).
3.【解析】选A.由已知得21－x＝y－3，运用指、对数式的互化，得1－x＝log2(y－3)，所以其反函数的解析式为y＝1－log2(x－3)，即y＝log2(x>3).
4.【解析】选A.首先注意到a＋b＋c＝0是令解析式中的x＝1得到的，即当x＝1时y＝0，也就是抛物线必过(1,0)点，因而D显然不对，又a＋b＋c＝0，a>b>c，可得a>0，c<0，由a>0可知C不对；由c<0可知B不对，故应选A.
5.【解题指南】由原函数可求出反函数，通过已知关系，代入化简可求得结果.正确地求出反函数是解答的关键.
【解析】选D.∵y＝f(x)＝2x＋3(y＞0)，
∴x＋3＝log2y，x＝log2y－3.
∴f－1(x)＝log2x－3(x＞0)，∴f－1(m)＋f－1(n)＝log2m－3＋log2n－3＝(log2m＋log2n)－6＝log2(mn)－6＝log216－6＝4－6＝－2.
6.【解析】选D.∵lga＝lg24＝lg2＋lg3，
lgb＝lg12＝lg2＋lg3，
lgc＝lg6＝lg2＋lg3.
∵lga－lgb＝lg2＋lg3－lg2－lg3
＝lg2－lg3<0.
lgb－lgc＝lg2＋lg3－lg2－lg3
＝lg2－lg3<0.
∴lga<lgb<lgc，即a<b<c.
7.【解析】选A.由y＝2x的图象左移1个单位得到C1，则C1的解析式是y＝2x＋1；C1向上平移1个单位得到图象C2，则C2的解析式为y＝2x＋1＋1，求其反函数得y＝log2(x－1)－1.
【变式备选】函数y＝2－x＋1＋2的图象可以由函数y＝()x的图象经过怎样的平移得到(　　)
(A)先向左平移1个单位，再向上平移2个单位
(B)先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
(C)先向右平移1个单位，再向上平移2个单位
(D)先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
【解析】选C.函数y＝2－x＋1＋2可变形为y＝()x－1＋2.∴把函数y＝()x的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，即得到函数y＝2－x＋1＋2的图象.
【方法技巧】已知函数y＝f(x)常见图象的变换方法.
(1)y＝f(x＋a)的图象：
若a>0，把y＝f(x)的图象向左平移a个单位得到.
若a<0，把y＝f(x)的图象向右平移|a|个单位得到.
(2)y＝f(x)＋b的图象：
若b>0，把y＝f(x)的图象向上平移b个单位得到.
若b<0，把y＝f(x)的图象向下平移|b|个单位得到.
(3)y＝－f(x)的图象：作y＝f(x)关于x轴的对称图象.
(4)y＝f(－x)的图象：作y＝f(x)关于y轴的对称图象.
(5)y＝|f(x)|的图象：把y＝f(x)在x轴下方部分沿x轴翻折到上方，x轴上方的图象不变.
(6)y＝f(|x|)的图象：把y＝f(x)的图象在y轴右侧部分保留，y轴左侧部分去掉，并作右侧部分图象关于y轴的对称图象.
(7)y＝f－1(x)的图象：作出y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称的图象.
8.【解析】选D.由函数图象知函数f(x)为减函数，
∴0<a<1，当x＝0时，0<f(x)＝a－b<1，
∴－b>0，故0<a<1，b<0.
【方法技巧】指数函数图象和性质的巧记
(1)指数函数图象的记忆方法：一定二近三单调，两类单调正相反.
(2)指数函数性质的巧记方法：非奇非偶是单调，性质不同因为a，分清是(0,1)，还是(1，＋∞)，依靠图象记性质.
9.【解析】选C.由已知可得x＞或x＜－，
∴0＜x＜或x＞2.
10.【解题指南】先求出f(1)、f(－1)，探究f(1)＋f(－1)与c的关系，然后由c∈Z限定f(1)和f(－1)的取值.
【解析】选D.∵f(1)＝asin1＋b＋c，f(－1)＝－asin1－b＋c，
∴f(1)＋f(－1)＝2c，∴c＝，
又∵c∈Z，∴f(1)和f(－1)的值一定不可能是1和2.
11.【解析】选D.由题意知f(x)＝f(－x)，
∴f()＝f(－).
又f(x)是周期为2的周期函数，
∴f()＝f(－)＝f(－＋2)
＝f()＝f(＋2)＝f().
∵∈[2,3]，∴f()＝f()＝－.
12.【解析】选C.设利润为f(x)(万元)，则f(x)＝25x－(3 000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3 000≥0，
∴x≥150.
13.【解析】f(x)为偶函数，即g(x)＝＋n为奇函数，
∴g(－x)＝＋n＝n－，
∴g(x)＋g(－x)＝2n－1＝0，∴n＝.
答案：
14.【解析】∵f′(x)＝，令f′(x)>0，
得－1<x<1，
∴f(x)的增区间为(－1,1).
又∵f(x)在(m,2m＋1)上单调递增，
∴，∴－1≤m≤0.
∵区间(m,2m＋1)中2m＋1>m，
∴m>－1.综上，－1<m≤0.
答案：(－1,0]
15.【解题指南】赋予变量特殊值，归纳概括找出规律，最后求出f(2 012)的值.
【规范解答】令y＝1，则
4f(x)f(1)＝f(x＋1)＋f(x－1)，
所以f(x)＝f(x＋1)＋f(x－1)，
所以f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)＝f(x＋1)＋f(x－1)＋f(x＋2)，
所以f(x－1)＝－f(x＋2)，即f(x)＝－f(x＋3)，
所以f(x＋6)＝f(x)，即函数f(x)是周期为6的函数，
又∵4f(1)·f(0)＝f(1＋0)＋f(1－0)＝f(1)＋f(1)，∴f(0)＝，
又∵4f(1)·f(1)＝f(1＋1)＋f(1－1)，
即f(2)＝4f2(1)－f(0)＝4×()2－＝－，
所以f(2 012)＝f(335×6＋2)＝f(2)＝－.
答案：－
16.【解析】因为函数f(x)＝logax＋x－b(2<a<3)在(0，＋∞)上是增函数，
f(2)＝loga2＋2－b<logaa＋2－b＝3－b<0，
f(3)＝loga3＋3－b>logaa＋3－b＝4－b>0，
∴x0∈(2,3)，即n＝2.
答案：2
17.【解析】∵0<x<y，xy＝9，
∴＝3.
∵(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝36×3，
∴x－y＝－6，
∴＝＝
＝＝－.
18.【解析】(1)依题意0<c<1，∴c2<c，
∵f(c2)＝，∴c3＋1＝，c＝.
(2)由(1)得
f(x)＝，
由f(x)>＋1得
当0<x<时，x＋1>＋1，
∴<x<，
当≤x<1时，2－4x＋1>＋1，
∴≤x<.
综上可知，<x<，
∴f(x)>＋1的解集为{x|<x<}.
19.【解析】(1)设M(x，y)是y＝－的图象上的任意一点.M关于(，－)的对称点为
M′(1－x，－1－y)，
f(1－x)＝－＝－＝－，
－1－y＝－1＋＝，
∴f(1－x)＝－1－y，
∴y＝－的图象关于点(，－)对称.
(2)由(1)得f(1－x)＋f(x)＝－1，
∴f(0)＋f(1)＝－1，f(－1)＋f(2)＝－1，f(－2)＋f(3)＝－1，∴f(－2)＋
f(－1)＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－3.
20.【解析】(1)存在x∈R使f(x)<bg(x)⇒x∈R使
x2－bx＋b<0⇒(－b)2－4b>0⇒b<0或b>4.
(2)F(x)＝x2－mx＋1－m2，
Δ＝m2－4(1－m2)＝5m2－4.
①当Δ≤0，即－≤m≤时，则
⇒－≤m≤0.
②当Δ>0，即m<－或m>时，设方程F(x)＝0的根为x1，x2(x1<x2).
若≥1，则x1≤0，
即⇒m≥2；
若≤0，则x2≤0，即
⇒－1≤m<－；
综上所述：－1≤m≤0或m≥2.
21.【解题指南】(1)从f(1)联想自变量的值为1，进而想到赋值x1＝x2＝1.
(2)判断f(x)的奇偶性，就是研究f(x)、f(－x)的关系.从而想到赋值x1＝－1，x2＝x，即f(－x)＝f(－1)＋f(x).(3)就是要出现f(M)<f(N)的形式，再结合单调性转化为M与N的大小的形式求解.
【解析】(1)令x1＝x2＝1，
有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.
(2)f(x)为偶函数，证明如下：
令x1＝x2＝－1，
有f [(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，
解得f(－1)＝0.
令x1＝－1，x2＝x，
有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，
∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数.
(3)f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，
f(16×4)＝f(16)＋f(4)＝3，
由f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，
变形为f[(3x＋1)(2x－6)]≤f(64).(*)
∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)＝f(|x|).
∴不等式(*)等价于
f [|(3x＋1)(2x－6)|]≤f(64).
又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴|(3x＋1)(2x－6)|≤64，且(3x＋1)(2x－6)≠0.
解得－≤x<－或－<x<3或3<x≤5，
∴x的取值范围是{x|－≤x<－或－<x<3或3<x≤5}.
【方法技巧】判断函数奇偶性的方法
(1)根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性：
①定义域；②f(－x)与f(x)的关系；
(2)在对函数式f(x)变形时，应注意“分子、分母有理化”等变形技巧，如判断函数f(x)＝lg(x＋)的奇偶性时，可以采用“分子有理化”的技巧快速求解；
(3)理解函数奇偶性表达式的变形情况，如“f(－x)＝f(x)”与“f(－x)－f(x)＝0”等价，“函数y＝f(x)＋1为奇函数”等价于“[f(x)＋1]＋[f(－x)＋1]＝0”.
【变式备选】函数f(x)＝是定义在(－1,1)上的奇函数，且f()＝.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)利用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数；
(3)求满足f(t－1)＋f(t)<0的t的范围.
【解析】(1)∵f(x)是定义在(－1,1)上的奇函数，
∴f(0)＝0，解得b＝0.
则f(x)＝，∴f()＝＝，
∴a＝1，∴函数的解析式为：f(x)＝(－1<x<1).
(2)设－1<x1<x2<1，则
f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝
∵－1<x1<x2<1，
∴x1－x2<0,1－x1x2>0，(1＋x12)(1＋x22)>0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，
∴f(x)在(－1,1)上是增函数.
(3)∵f(t－1)＋f(t)<0，
∴f(t－1)<－f(t).
∵f(－t)＝－f(t)，∴f(t－1)<f(－t)，
又∵f(x)在(－1,1)上是增函数，
∴－1<t－1<－t<1，
∴0<t<.
22.【解析】(1)每吨平均成本为(万元).
则＝＋－48≥2－48＝32，
当且仅当＝，即x＝200时取等号.
∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元.
(2)设当年获得总利润为R(x)万元，
则R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000
＝－＋88x－8 000
＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210).
∵R(x)在[0,210]上是增函数，
∴x＝210时，R(x)有最大值为1 660.
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元.
【方法技巧】解决函数应用问题的技巧
(1)阅读理解、整理数据：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；
(2)建立函数模型：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的关系列出函数式，注意不要忘记函数的定义域；
(3)求解函数模型：主要是研究函数的单调性，求函数的值域、最大(小)值，计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用；
(4)回答实际问题结果：将函数问题的结论还原成实际问题，并将结果明确地表述出来.
【变式备选】(2012·南京模拟)省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f(x)与时刻x(时)的关系为f(x)＝|－a|＋2a＋，x∈[0,24]，其中a是与气象有关的参数，且a∈[0,1]，若取每天f(x)的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M(a).
(1)令t＝，x∈[0,24]，求t的取值范围；
(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问：目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？
【解析】(1)当x＝0时，t＝0；
当0<x≤24时，＝x＋，对于函数y＝x＋，
∵y′＝1－，
∴当0<x<1时，y′<0，函数y＝x＋单调递减，
当1<x≤24时，y′>0，函数y＝x＋单调递增，
∴y∈[2，＋∞).
综上，t的取值范围是[0，].
(2)当a∈[0，]时，g(t)＝|t－a|＋2a＋＝
.
∵g(0)＝3a＋，g()＝a＋，
g(0)－g()＝2a－.
故M(a)＝
＝.
当且仅当0≤a≤时，M(a)≤2，
当a∈(，1]时，f(x)＝g(t)＝|t－a|＋2a＋
＝3a－t＋
∴M(a)＝3a＋，3a＋<2无解，
故a∈[0，]时不超标，a∈(，1]时超标.
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