极坐标下求加速度.doc

极坐标系下速度与加速度的推导过程：
一、极坐标系 （ plane polar coordinates ）
1 ．极坐标系
在参考系上取点 O ，引有刻度的射线 OX 称为极轴（有方向的），建成极坐标系。
矢径： 由参考点 O 引向质点位置 A 的线段长度
由 r 表示矢径。 如图示： r=
幅角： 质点的位置矢量与极轴所夹的角 θ （也称：极角）
规定： 自极轴逆时针转至位置矢量的幅角为正，反之为负。
（ r ， θ）确定平面上质点的位置，称为极坐标。
质点的运 动学方程： 、
质点的轨迹：
2 ．极坐标系中矢量的正交分解
如图示：质点在 A 点，沿位置矢量方向称为径向
径向单位矢量： 沿质点所在处位置矢量的方向。
横向单位矢量： 与径向方向垂直且指向 增加的方向。
任何矢量均可在 和 方向上作正交分解。
注意 ：径向和横向随地点而异。
二、径向速度与横向速度
讨论质点平面运动速度在极坐标系中的正交分解式，如图示：
（ 1 ） 用微元法推导速度
设： t t+ 时间内，图中质点自 A （ r， t）经历一微小的位移 ，到达
由速度的定义：
（ 1 ）
位移 对应于质点矢量的改变—— 径向位移 ；
位移 对应于质点相对于极点幅角的改变—— 横向位移 。
时， 指向趋于 方向。

， 时， 指向趋于 方向。
(2)
故 : 速度的径向分量： ，速度的径横向分量 ：
即： 径向速度等于矢径对时间的变化率
横向速度等于矢径与角速度的乘积。
（ 2 ） 矢量运算法推导速度
（ 5 ）
对于径向速度是矢径的变化而引起的速度的大小。
下面讨论 ：
如图所示 是单位径向方向，模的大小为 1 。
（ ）

另外 的推导也可如下进行：

右端展开是 :
即：
所以 : 。
三 、加速度矢量
用“矢量法”推导“加速度”
已知：

加速度另外一种表示；