基于机制转换跳扩散模型的外汇挂钩的相关期权定价.pdf

应用概率统计第 39 卷第 4 期2023 年 8 月Chinese Journal of Applied Probability and StatisticsAug.,2023,Vol.39,No.4,pp.547-560doi:10.3969/j.issn.1001-4268.2023.04.006基于机制转换跳扩散模型的外汇挂钩的相关期权定价宋子豪韩苗(中国矿业大学数学学院,徐州,221116)摘要:本文研究了机制转换跳扩散模型下外汇挂钩的相关期权的定价问题.在风险中性概率测度下,假设汇率服从机制转换均值回复模型、资产价格服从机制转换跳扩散模型,通过测度变换和傅里叶变换方法,推导出了外汇挂钩相关期权的定价公式.运用快速傅里叶变换算法求得期权价值的数值解,并比较分析了不同模型以及一些重要参数对外汇挂钩相关期权价值的影响情况.关键词:期权定价;机制转换;跳扩散模型;外汇挂钩;相关期权;傅里叶变换中图分类号:O211.6英文引用格式:SONG Z H,HAN M.Correlation options pricing with exchange rate risk underregime-switching jump-diffusion modelsJ.Chinese J Appl Probab Statist,2023,39(4):547560.(in Chinese)1引言许多学者在对 Black-Scholes 期权定价模型的改进过程中,提出了很多新的模型.其中,机制转换模型能够很好的描述风险资产价格受市场经济周期影响而引起的结构变化,跳扩散模型能够有效刻画标的资产价格因为突发信息而引起价格的跳动,因此这两类模型在期权定价中的应用引起了很多研究者的兴趣.Hamilton1首次将机制转换模型应用到计量经济学领域,并对美国经济周期进行了分析.他的文章也激发了大量学者在经济、金融等领域的研究中引入机制转换模型,并取得了丰硕的研究成果.在衍生产品定价方面,Elliott 等2,3考虑了标的资产价格满足马尔科夫调制的几何布朗运动以及马尔科夫调制跳扩散模型下期权定价问题.王伟等4,5研究了机制转换模型下弱势欧式期权、远期生效看涨期权等定价问题.范堃6利用快速傅里叶变换方法研究了机制转换模型下一些金融衍生产品的定价.韩苗7在机制转换多尺度跳扩散模型下研究了几类股票期权定价问题.Deelstra 等8研究了机制转换跳扩散模型下障碍期权的定价.Noorani 等9研究了机制转换模型下基于算术平均的亚式期权的定价,并采用方差减少蒙特卡罗模拟方法进行数值分析.Ma 等10研究了随机利率、机制转换随机波动率、具有随机跳强度的双指数跳扩散模型下欧式期权定价.国家自然科学基金项目(批准号:71871215)资助.通讯作者,E-mail:.本文 2021 年 8 月 23 日收到,2021 年 11 月 29 日收到修改稿.548应用概率统计第 39 卷随着人民币国际化进程和汇率市场化改革的推进,中国的金融机构开拓了越来越多的国际业务,外币资产及负债不断增加.许多机构纷纷通过买卖外汇衍生产品对冲汇率风险,所以具有汇率风险的期权定价问题引起了很多学者的关注.Siu 等11研究了两因素马尔科夫调制的随机波动率模型下外汇期权的定价.Lian 和 Chen12在假设汇率服从两因子马尔科夫调制随机波动率双指数跳模型下研究了外汇期权的定价.Fan 等13在外汇服从机制转换均值回复对数正态模型和外国资产价格服从机制转换几何布朗运动情况下,研究了两种外国股票期权的定价.韩苗7在机制转换多尺度跳扩散模型下研究了具有汇率风险的三种股票期权定价问题.相关期权是指期权损益同时受多个标的资产的影响,随着交叉市场产品的增加,也促进了相关期权的应用研究.对于欧式相关期权,到期收益可以看成两个欧式看涨期权的乘积.Jrgensen14与 Schmutz 和 Z urcher15研究的交通灯期权就是相关期权的一种,该产品是为了满足丹麦人寿和养老金(L&P)公司的需求而开发的.研究相关期权定价的文献较多.Dempster 和 Hong16在经典的两因子 Black-Scholes 模型下,利用傅里叶变换方法研究了相关期权的定价.Fan 和 Wang17研究了机制转换随机利率模型下相关期权的定价.由于金融市场的全球化加速了跨国界的投资,因此研究具有汇率风险的相关期权定价具有重要的实际意义.受其启发,本文研究外汇挂钩的相关期权的定价,创新之处主要有两个方面,首先基于机制转换跳扩散模型,研究了外汇挂钩的相关期权的定价.外汇挂钩的单资产期权和相关期权定价的研究较多,但是很少有文献研究外汇挂钩的相关期权定价.其次,运用傅里叶变换方法给出了外汇挂钩的相关期权的半解析定价公式,并进行了数值分析,为外汇挂钩相关期权定价问题提供了新的参考.文章各节内容安排如下,第 2 节给出模型及其基本假设;第 3 节利用测度变换和傅里叶变换方法推导出机制转换跳扩散模型下外汇挂钩相关期权定价公式;第 4 节利用快速傅里叶变换算法给出数值分析结果;第 5 节是文章的小结部分.2模型建立我们考虑一个连续时间金融市场,在 T=0,T 时间段内可连续进行交易,其中T 0,1i 0,2i 0,i 0,1 i 1,1 1i 1,1 2i 1.N1:=N1(t)|t T,N2:=N2(t)|t T 表示两个相互独立的泊松过程,且 1(t),2(t)分别表示 t 时刻两个泊松过程 N1和 N2的跳强度,且与 X(t)有关,即1(t)=1,X(t),2(t)=2,X(t),其中 1=(11,12,1N)RN,2=(21,22,2N)RN.在 t 时刻发生跳跃时,分别记 N1(t)和 N2(t)的跳幅为 z1(t)和 z2(t).对任意的时间 t=s,i=1,2,假设 zi(t)和 zi(s)独立同分布,且 z1(t)N(1,21),z2(t)N(2,22),则 N1(t)的平均跳幅为1=E(ez1(t)1)=E(ez1(t)1=e1+21/2 1.550应用概率统计第 39 卷N2(t)的平均跳幅为2=E(ez2(t)1)=E(ez2(t)1=e2+22/2 1.进一步假设(W1(t),W2(t),W3(t),N1(t),N2(t),z1(t)和 z2(t)都是相互独立的.对任意 t T,令 s1(t)=ln(S1(t),s2(t)=ln(S2(t)表示 t 时刻该相关期权两个对数标的资产的价格过程,F(t)=eZ(t)表示 t 时刻的外汇汇率过程.令 FS1(t)|t T,FS2(t)|t T,FZ(t)|t T 和 FX(t)|t T 分别是由 S1,S2,Z,X 生成的右连续、P 完备自然域流.令 G=:G(t)|t T 表示由 FS1(t),FS2(t),FZ(t)和 FX(t)生成的最小的 域流.即G(t)=FS1(t)FS2(t)FZ(t)FX(t),t T.对任意 t T,G(t)表示到时刻 t 所能观测到的市场信息.3外汇挂钩的相关期权定价外汇挂钩的相关期权到期日收益函数为C(T)=F(T)S1(T)K1+S2(T)K2+,其中 K1,K2为相关期权的两个交割价格.令 C(0,T,K1,K2)表示该期权的初始价值.由无套利定价原理,则该期权价值为C(0,T,K1,K2)=EeT0r(t)dtF(T)S1(T)K1+S2(T)K2+,(5)其中 E 是风险中性概率测度 P 下的期望,令 k1=ln(K1),k2=ln(K2)表示两个对数交割价格.定义调整的期权价值为c(0,T,k1,k2)=expa1k1+a2k2C(0,T,K1,K2),其中 a1,a2为预先给定的正常数,称为“阻尼系数”,c(0,T,k1,k2)在 k1和 k2组成的取值区域内是平方可积的,Carr 和 Madan19已提出,c(0,T,k1,k2)的傅里叶变换为(0,T,u1,u2)=ei(u1k1+u2k2)c(0,T,k1,k2)dk1dk2.(6)下列命题给出了机制转换跳扩散模型下,外汇挂钩的相关期权价值的积分表达式.命题 1在机制转换跳扩散模型下,外汇挂钩的相关期权价值为C(0,T,K1,K2)=ea1k1a2k2(2)2ei(u1k1+u2k2)(0,T,u1,u2)du2du1,第 4 期宋子豪,韩苗:基于机制转换跳扩散模型的外汇挂钩的相关期权定价551其中,(0,T,u1,u2)=expeTZ(0)+(iu1+a1+1)s1(0)+(iu2+a2+1)s2(0)(iu1+a1)(iu1+a1+1)(iu2+a2)(iu2+a2+1)X(0)expT0diag(g(t,u1,u2)dt+QT,1,1=(1,1,1)RN且 g(t,u1,u2)=(g1(t,u1,u2),g2(t,u1,u2),gN(t,u1,u2)EN,其中 E 是复数空间,EN是 N 重复数空间.对每一个 j=1,2,N,有gj(t,u1,u2):=rj+e(Tt)j+12e2(Tt)2j+(iu1+a1+1)(rj 11j1221j+e(Tt)1j1jj)+(iu2+a2+1)(rj 22j1222j+e(Tt)2j2jj)12u1 i(a1+1)221j12u2 i(a2+1)222j u1 i(a1+1)u2 i(a2+1)j1j2j+1j(e(iu1+a1+1)1u1i(a1+1)221/2 1)+2j(e(iu2+a2+1)2u2i(a2+1)222/2 1).在证明命题 1 之前,先给出几个重要的结果.参考文献 13,我们通过拉东尼科迪姆导数引入一个在 G(T)上与 P 等价的概率测度 Q,dQdP?G(T)=eZ(T)EeZ(T)|FX(T),对式(5)使用贝叶斯法则,可得C(0,T,K1,K2)=EEeT0r(t)dtF(T)S1(T)K1+S2(T)K2+|FX(T)=EeT0r(t)dtEF(T)|FX(T)EQS1(T)K1+S2(T)K2+|FX(T),其中 EQ 是概率测度 Q 下的期望.引理 213拉东尼科迪姆导数为dQdP?G(T)=exp12T0e2(Tt)2(t)dt+T0e(Tt)(t)dW3(t),且WQ3(t)=W3(t)t0e(ts)(s)ds,552应用概率统计第 39 卷WQ1(t)=W1(t)t01(s)e(ts)(s)ds,WQ2(t)=W2(t)t02(s)e(ts)(s)ds,是三个在概率测度 Q 下的标准布朗运动.WQ1,WQ2,WQ3是两两相关的,在 t 时刻,两两之间的瞬时相关系数仍表示为WQ1,WQ2=t0(s)ds,WQ1,WQ3=t01(s)ds,WQ2,WQ3=t02(s)ds.为了采用快速傅里叶变换方法,我们需要求出概率测度 Q 下,两个对数标的资产在到期日 T 时刻的价格(s1(T),s2(T)的联合特征函数.引理 3在概率测度 Q 下,给定 FX(T),s1(T)和 s2(T)的联合条件特征函数为Qs1(T),s2(T)|FX(T)(u1,u2)=EQeiu1s1(T)+iu2s2(T)|FX(T)=expiu1s1(0)+T0r(t)11(t)1221(t)dt+T0e(Tt)1(t)1(t)(t)dt+iu2s2(0)+T0r(t)22(t)1222(t)dt+T0e(Tt)2(t)2(t)(t)dt12u21T021(t)dt 12u22T022(t)dt u1u2T0(t)1(t)2(t)dt+T01(t)(eiu11u2121/2 1)dt+T02(t)(eiu22u2222/2 1)dt,其中 EQ 表示概率测度 Q 下的期望.证明:直接计算式(2)和式(3),并根据引理 2,可得在概率测度 Q 下有s1(T)=s1(0)+T0r(t)11(t)1221(t)dt+T0e(Tt)1(t)1(t)(t)dt+T01(t)dWQ1(t)+T0z1(t)dN1(t),s2(T)=s2(0)+T0r(t)22(t)1222(t)dt+T0e(Tt)2(t)2(t)(t)dt+T02(t)dWQ2(t)+T0z2(t)dN2(t),为了计算方便,令s1(T)=sc1(T)+sJ1(T),s2(T)=sc2(T)+sJ2(T),第 4 期宋子豪,韩苗:基于机制转换跳扩散模型的外汇挂钩的相关期权定价553其中,sc1(T)=s1(0)+T0r(t)11(t)1221(t)dt+T0e(Tt)1(t)1(t)(t)dt+T01(t)dWQ1(t),sc2(T)=s2(0)+T0r(t)22(t)1222(t)mdt+T0e(Tt)2(t)2(t)(t)dt+T02(t)dWQ2(t),sJ1(T)=T0z1(t)dN1(t),sJ2(T)=T0z2(t)dN2(t).直接计算可得,sJ1(T)和 sJ2(T)在条件 FX(T)下的条件特征函数为EQeiusJ1(T)|FX(T)=EQeiuT0z1(t)dN1(t)|FX(T)=expT01(t)(eiu11u2121/2 1)dt,EQeiusJ2(T)|FX(T)=EQeiuT0z2(t)dN2(t)|FX(T)=expT02(t)(eiu22u2222/2 1)dt.由于(WQ1,WQ2,WQ3),N1(t),N2(t),Z1(t)和 Z2(t)在 FX(T)条件下是相互独立的,则Qs1(T),s2(T)|FX(T)(u1,u2)=EQeiu1s1(T)+iu2s2(T)|FX(T)=EQeiu1sc1(T)+sJ1(T)+iu2sc2(T)+sJ2(T)|FX(T)=EQeiu1sc1(T)+iu2sc2(T)|FX(T)EQeiu1sJ1(T)|FX(T)EQeiu2sJ2(T)|FX(T).由上面的结果,可获得概率测度 Q 下,给定 FX(T),s1(T)和 s2(T)的联合条件特征函数.引理得证.?为了简化符号,令RT=T0r(t)dt,LT=T0e(Tt)(t)dt+12T0e2(Tt)2(t)dt.引理 4令 fQs1(T),s2(T)|FX(T)(s1,s2)为概率测度 Q下,给定 FX(T),s1(T)和 s2(T)的联合条件概率密度函数.外汇挂钩相关期权价值的傅里叶变换为(0,T,u1,u2)=EeRT+LT+eTZ(0)Qs1(T),s2(T)|FX(T)(u1 i(a1+1),u2 i(a2+1)(iu1+a1)(iu1+a1+1)(iu2+a2)(iu2+a2+1)554应用概率统计第 39 卷=expeTZ(0)+(iu1+a1+1)s1(0)+(iu2+a2+1)s2(0)(iu1+a1)(iu1+a1+1)(iu2+a2)(iu2+a2+1)X(0)expT0diag(g(t,u1,u2)dt+QT,1,其中,Qs1(T),s2(T)|FX(T)(u1,u2)表示在概率测度 Q 下,给定 FX(T),s1(T)和 s2(T)的联合条件特征函数.证明:令 k1=ln(K1),k2=ln(K2),(0,T,u1,u2)=ei(u1k1+u2k2)c(0,T,k1,k2)dk1dk2=ei(u1k1+u2k2)ea1k1+a2k2C(0,T,K1,K2)dk1dk2=ei(u1k1+u2k2)ea1k1+a2k2EeRTF(T)(es1(T)ek1)+(es2(T)ek2)+dk1dk2=Eei(u1k1+u2k2)ea1k1+a2k2 EeRTF(T)(es1(T)ek1)+(es2(T)ek2)+|FX(T)dk1dk2=Eei(u1k1+u2k2)ea1k1+a2k2eRTEF(T)|FX(T)EQ(es1(T)ek1)+(es2(T)ek2)+|FX(T)dk1dk2=Eei(u1k1+u2k2)ea1k1+a2k2eRT+LT+eTZ(0)EQ(es1(T)ek1)+(es2(T)ek2)+|FX(T)dk1dk2=Eei(u1k1+u2k2)ea1k1+a2k2eRT+LT+eTZ(0)k2k1(es1 ek1)(es2 ek2)fQs1(T),s2(T)|FX(T)(s1,s2)ds1ds2dk1dk2=EeRT+LT+eTZ(0)s2s1(e(iu1+a1)k1+s1 e(iu1+a1+1)k1)(e(iu2+a2)k2+s2 e(iu2+a2+1)k2)dk1dk2fQs1(T),s2(T)|FX(T)(s1,s2)ds1ds2=EeRT+LT+eTZ(0)e(iu1+a1+1)s1+(iu2+a2+1)s2fQs1(T),s2(T)|FX(T)(s1,s2)ds1ds2(iu1+a1)(iu1+a1+1)(iu2+a2)(iu2+a2+1)=EeRT+LT+eTZ(0)Qs1(T),s2(T)|FX(T)(u1 i(a1+1),u2 i(a2+1)(iu1+a1)(iu1+a1+1)(iu2+a2)(iu2+a2+1)=expeTZ(0)+(iu1+a1+1)s1(0)+(iu2+a2+1)s2(0)EexpT0g(t,u1,u2),X(t)dt(iu1+a1)(iu1+a1+1)(iu2+a2)(iu2+a2+1).第 4 期宋子豪,韩苗:基于机制转换跳扩散模型的外汇挂钩的相关期权定价555参考文献 13 中的引理 3,我们可以得到,EexpT0g(t,u1,u2),X(t)dt=X(0)expT0diag(g(t,u1,u2)dt+QT,1.则求出了外汇挂钩相关期权价值的傅里叶变换表达式.引理得证.?根据上述三个引理,可直接得到命题 1 的结果.对式(6)应用傅里叶逆变换,得到外汇挂钩相关期权价值的积分表达式为C(0,T,K1,K2)=ea1k1a2k2c(0,T,k1,k2)=ea1k1a2k2(2)2ei(u1k1+u2k2)(0,T,u1,u2)du2du1,再利用引理 4 即可得到最终结果.假设 1和 2均为积分步长,离散数 M 是 2 的幂.根据 Dempster 和 Hong16与 Fan和 Wang17的研究结果,可获得外汇挂钩相关期权价值的近似值C(0,T,K1,K2)ea1k1a2k2(2)2M1m=0M1n=0ei(u1,mk1+u2,nk2)(0,T,u1,m,u2,n)21,(7)其中 u1,m=(m M/2)1,u2,n=(n M/2)2,m,n=0,1,M 1.根据二维快速傅里叶变换(FFT)算法16,17,对于输入任意数组Xj1,j2 E|j1=0,1,M1 1,j2=0,1,M2 1,可以得到相应数组Y l1,l2:=M11j1=0M21j2=0e2ij1l1/M12ij2l2/M2Xj1,j2,(8)其中 l1=0,1,M1 1,l2=0,1,M2 1.为了应用此算法计算式(7)的求和公式,我们定义一个 M M 的网格,令 =(k1,p,k2,p):0 6 p,q 6 M 1,其中 k1,p=(p M/2)v1,k2,q=(q M/2)v2.为了计算下列求和公式:T(k1,k2)=M1m=0M1n=0ei(u1,mk1+u2,nk2)(0,T,u1,m,u2,n)21,我们设 v11=v22=2/M,可以求出在网格 上,T(,)的值T(k1,p,k2,q)=M1m=0M1n=0ei(u1,mk1,p+u2,nk2,q)(0,T,u1,m,u2,n)21=M1m=0M1n=0e(2i/M)(mM/2)(pM/2)+(nM/2)(qM/2)(0,T,u1,m,u2,n)21556应用概率统计第 39 卷=(1)p+qM1m=0M1n=0e(2i/M)(mp+nq)(1)m+n(0,T,u1,m,u2,n)21,通过输入数组 Xm,n,利用式(8),即利用 FFT 方法来计算上式.Xm,n=(1)m+n(0,T,u1,m,u2,n),m,n=0,1,M 1.这样就可以计算 M M 个不同的对数执行价格所对应的期权价值的近似值为C(0,T,k1,p,k2,q)ea1k1,pa2k2,q(2)2T(k1,p,k2,q),p,q=0,1,M 1.4数值分析本节采用快速傅里叶变换算法,对机制转换跳扩散模型下外汇挂钩的相关期权价值进行数值分析.为了简化计算,且不失一般性,我们考虑只有两状态的连续时间马尔科夫链X.对任意 t T,状态 1 和状态 2 分别记为 X(t)=(1,0)和 X(t)=(0,1),可以解释为“好”的经济状态(状态 1)和“坏”的经济状态(状态 2).在风险中性概率测度 P下,假设 X的生成矩阵为Q=(qqqq),其中 q 在 0,1 上取值.对于快速傅里叶变换算法,假设 M=4096,阻尼系数 a1=a2=3.为了描述方便,我们将机制转换不带跳模型记为“RS 模型”,没有机制转换不带跳模型记为“NRS 模型”,没有机制转换带跳模型记为“NRSJ 模型”,机制转换带跳模型记为“RSJ 模型”.这里我们假设 S1(0)=S2(0)=1,K1=K2=K,Z(0)=0,T=1,1=2=0,21=22=0.1,=0.2,若存在机制转换,则假设 q=0.5.表 1 列出了依赖于马尔科夫链的其它相关参数值.表 1参数依赖于马尔科夫链参数状态 1状态 2本国无风险利率r1=0.04r2=0.02S1的波动率11=0.212=0.3S2的波动率21=0.122=0.2Z 的均值回复水平1=0.042=0.02Z 的波动率1=0.022=0.04W1与 W2的相关系数1=0.12=0.2W1与 W3的相关系数11=0.212=0.4W2与 W3的相关系数21=0.222=0.4N1的跳强度11=112=2N2的跳强度21=122=2第 4 期宋子豪,韩苗:基于机制转换跳扩散模型的外汇挂钩的相关期权定价557-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.3k00.050.10.15NRS modelRS modelNRSJ modelRSJ model-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.3k00.020.040.060.080.10.120.140.160.18NRS modelRS modelNRSJ modelRSJ model图 1NRS、RS、NRSJ、RSJ 模型下外汇挂钩相关期权价值在不同状态随 k 的变化情况图 1 给出了以上四种模型分别在状态 1 和状态 2 下,不同的对数执行价格所对应的外汇挂钩相关期权价值的变化情况.从图 1 可知,在状态 1 下,NRS 模型的期权价值最小,RSJ 模型的期权价值最大.在状态 1 下,虽然机制转换效应和资产价格跳动都会提高期权的价值,但从 NRSJ 模型与 NRS 模型的期权价差明显大于 RS 模型与 NRS 模型可以看出,跳扩散模型对期权价值的影响程度要明显大于机制转换模型.在状态 2 下,RS 模型的期权价值最小,NRSJ 模型的期权价值最大,并且 RS 模型的期权价值小于 NRS 模型的期权价值,RSJ 模型下的期权价值小于 NRSJ 模型,所以在状态 2 下机制转换模型会减小期权的价值.又因 NRSJ 模型下的期权价值大于 NRS 模型,RSJ 模型下的期权价值大于 RS 模型,所以在状态 2 下跳扩散模型仍然会增大期权的价值,同样跳扩散模型对期权价值的影响程度要明显大于机制转换模型.下面研究 RS 模型和 RSJ 模型下外汇挂钩相关期权价值随 q 的变化情况,这里假设S1(0)=1,S2(0)=1,K1=K2=1,Z(0)=0,T=1,1=2=0,21=22=0.1,=0.2.从图 2 可以看出,状态 1 下,RS 模型和 RSJ 模型下的期权价值随着 q 的增大而增大,而在00.10.20.30.40.50.60.70.80.91q0.0050.010.0150.020.0250.030.0350.040.0450.05RS in state1RS in state2RSJ in state1RSJ in state2图 2RS 模型和 RSJ 模型下外汇挂钩相关期权价值随 q 的变化情况558应用概率统计第 39 卷状态 2 下,期权价值随着 q 的增大而减小.随着 q 的增加,机制转换越频繁,状态 1 和状态2 下期权价值的差距在减小.当 q=0 时,机制转换效应消失,不同模型下期权价值在状态1达到最小,而在状态 2 达到最大.如前面分析一样,RSJ 模型下期权价值高于 RS 模型,不同模型状态 1 下的期权价值低于状态 2.0.02520.0320.0351.80.04Lambda21.51.6Lambda10.0451.41.211(a)状态 10.0320.03520.041.80.045Lambda21.51.6Lambda10.051.41.211(b)状态 2图 3RSJ 模型下外汇挂钩相关期权价值在不同状态随 1和 2的变化情况图 3 给出了机制转换跳扩散模型下,期权价值随 1和 2的变化情况.假设 S1(0)=S2(0)=1,K1=K2=1,Z(0)=0,T=1,1=2=0,21=22=0.1,q=0.5,=0.2.两种状态下,期权价值随 1的增大而增大,也随 2的增大而增大.00.511.522.533.5400.020.040.060.080.10.12state1 in RSJ modelstate2 in RSJ modelstate1 in RS modelstate2 in RS model图 4RS 模型和 RSJ 模型下,外汇挂钩相关期权价值随 的变化情况图 4 给出了 RS 模型和 RSJ 模型下,期权价值随均值回复速度 的变化情况.假设S1(0)=S2(0)=1,K1=K2=1,Z(0)=1,T=1,1=2=0,21=22=0.1.为了能更明显地看出 对期权价值的影响,这里选取 Z(0)=1.两个模型在两种状态下,期权价值随着 的增大而减小,且减小的速度会越来越慢,其中 RSJ 模型下期权价值的变化幅度要第 4 期宋子豪,韩苗:基于机制转换跳扩散模型的外汇挂钩的相关期权定价559大于 RS 模型.5小结本文讨论了机制转换跳扩散模型下外汇挂钩的相关期权定价问题.假设模型参数由马尔科夫链调制,即资产价格的波动率、汇率的均值回复水平、相关系数、跳的强度等随着市场经济转态的变化而改变.通过测度变换进行降维,利用傅里叶变换方法给出机制转换跳扩散模型下外汇挂钩的相关期权的定价公式.最后采用快速傅里叶变换算法对期权定价公式进行数值求解并作图,分析了不同模型以及模型中一些重要参数对期权价值的影响.从数值结果可以看出,机制转换模型和跳扩散模型对外汇挂钩的相关期权价值都存在影响,但跳扩散模型对外汇挂钩的相关期权价值的影响明显大于机制转换模型.参考文献1 HAMILTON J D.A new approach to the economic analysis of nonstationary time series and thebusiness cycleJ.Econometrica,1989,57(2):357384.2 ELLIOTT R J,CHAN L,SIU T K.Option pricing and Esscher transform under regime switchingJ.Ann Financ,2005,1(4):423432.3 ELLIOTT R J,SIU T K,CHAN L,et al.Pricing options under a generalized Markov-modulatedjump-diffusion modelJ.Stoch Anal Appl,2007,25(4):821843.4 WANG W,JIN Z,QIAN L Y,et al.Local risk minimization for vulnerable European contingent claimson nontradable assets under regime 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Jump-Diffusion ModelsSONG ZihaoHAN Miao(School of Mathematics,China University of Mining and Technology,Xuzhou,221116,China)Abstract:The pricing problem of correlation options with exchange rate risk under the regime-switchingjump-diffusion model is studied.Under the risk neutral measure,it is assumed that the exchange ratefollows the regime-switching mean reversion model and the asset prices follow the regime-switching jump-diffusion models.The pricing formula of the correlation options with exchange rate risk is derived by usingthe measure transform and Fourier transform method.Moreover,the numerical results of option value areprovided by the fast Fourier transform algorithm,and the effects of different models and some importantparameters on the value of correlation options with exchange rate risk are analyzed.Keywords:option pricing;regime-switching;jump-diffusion model;exchange rate risk;correlation op-tions;Fourier transform2020 Mathematics Subject Classification:60J22