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从偏微分到常微分之拉普拉斯变换
摘要
简单介绍常微分方程与偏微分方程的异同，举例应用拉普拉斯变换求解齐次和非齐次偏微分方程中，归纳总结拉普拉斯变换在求解典型偏微分方程中的步骤。
关键词：拉普拉斯变换 常微分方程 偏微分方程
前言
在大三上学期的选课就有人介绍说偏微分方程比常微分方程难很多。确实，在修读完分析学应用这门课后，加上自己做作业查到的资料，觉得偏微分比常微分难很多。个人认为常微分是偏微分的一种特例，而偏微分是常微分的推广。
关于常微分方程与偏微分方程的见解
常微分方程和偏微分方程都是研究微分方程的。微分方程是凡含有参数，未知函数和未知函数导数的方程，如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，描述的是一个量随一个自变量变化的规律，如位置随时间的变化规律；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对应几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程，描述的是一个量随着两个或更多自变量变化的规律。比如温度随着时间位置的变化。这样就需要时间和三个空间维度四个变量的偏微分方程来描述。
虽然两者研究的对象一样，但是偏微分方程一般比常微分方程复杂。偏微分不仅自变量多，而且各个自变量之间会有相关联，比如温度随时间和位置变化而变化，同时位置的变化又和时间有关，所以很复杂。而这自变量之间关联程度用耦合性来表示。偏微分一般用数值法求解，比如天气预报，就是用计算机求解偏微分方程得到的。不仅如此，两者研究的重点也不一样，常微分方程比较简单，只是研究带有导数的方程、方程组之类的通解、特解，与现实生活中的很多问题联系密切。但是对于解决很多高尖端的问题都是用偏微分方程，比如很多著名的物理方程：热传导方程、拉普拉斯方程等等，它不仅仅是研究方程解的一门学科，因为有些方程很难，根本就求不出解，或者常规方法求解十分困难，所以偏微分方程还着重研究解的分布、状态等。
尽管如此，但在一些典型的偏微分方程中，我们可以利用拉普拉斯变换将偏微分方程转化为常微分方程来解决。下面我将介绍拉普拉斯变换及其性质，以及如何利用拉普拉斯变换转化偏微分方程。
拉普拉斯变换的定义
设函数f(t)(t≥0)满足下列条件：
⑴在区间[0，∞)上，除了有限个第一类间断点外，函数f(t)及它的导数处处连续，即函数f(t)分段连续；
⑵存在常数M＞0和≥0，使对任何t值(t≥0)，有| f(t)| ＜M，即随着t的增大，函数| f(t)|的增大不比某个指数函数快，其中为其增长指数。
此时积分 在半平面Re(s)>c上一定存在,在 上绝对且一致收敛。
则此积分所确定的函数(t≥0） 称为f(t)的像函数，而f(t) 称为F(s)的原函数。它们之间的关系常用简单的符号表示为

根据学过的常微分方程的知识我们知道，从定义求拉普拉斯变换困难且复杂，所以我们可以根据该表进行查找。几种常用的拉普拉斯变换对函数表如下：

原函数
像函数
原函数
像函数
1

（n为整数）

1

拉普拉斯变换在求解偏微分方程中的应用
在课上的时候，老师介绍了求解一阶线性偏微分方程和高阶线性偏微分方程的思想方法，这里查阅资料后，我想介绍用拉普拉斯变换求解齐次与非齐次偏微分方程，至于用拉普拉斯变换求解有界与无界偏微分方程这一模块，因为本人能力有限，没能理解其求解方法。
1.例题
例：求解齐次偏微分方程

解：对该定解问题关于y取拉普拉斯变换，并利用微分性质及初始条件可得

这样，原定解问题转化为含参数s的一阶常系数线性非齐次微分方程的边值问题：

方程可转化为
解此微分方程，可得其通解为其中c为常数。
为了确定常数c，将边界条件代入上式，可得
所以，
由拉普拉斯变换函数表可知
由拉普拉斯变换函数表可知
方程两边取反演，从而原定解问题的解为

例：求解非齐次偏微分方程

解：对该问题关于t取拉普拉斯变换，，并利用微分性质及初始条件可得

这样，原定解问题转化为含参数s的二阶常系数线性非齐次微分方程的边值问题：

方程可转化为
解此微分方程，可得其通解为其中
为了确定常数将边界条件代入上式，
可得
所以，
由拉普拉斯变换函数表可知
由拉普拉斯变换函数表并结合
可知
方程两边取反演，从而原定解问题的解为

2. 小结
应用拉普拉斯变换求解微分方程的步骤如下：
1、对线性偏微分方程中每一项进行拉氏变换，使微分方程变为s的代数方程；
2、解代数方程，得到有关变量的拉氏变换表达式；
3、用拉氏反变换得到偏微分方程的解。
感想
由以上两道例题，我们可以发现拉普拉斯变换可以使解n个自变量偏微分方程的问题，转化为解n-1个自变量的微分方程的问题，逐次使用拉普拉斯变换，自变量会逐个减少，有时还可将解n个自变量偏微分方程的问题最终转化为解一个常微分方程的问题，利用常微分的求解方法来解决问题，将复杂问题转化为简单问题，这也是化归思想的体现。
参考文献
[1]可化为常微分方程的一些偏微分方程.许兴业
[2]由一类特殊的偏微分方程导出的常微分方程的求解.曲小钢，王军
[3]拉普拉斯变换在求解微分方程中的应用.岳艳林