基于教学实践的温度概念的深度理解.pdf

热学在物理学中的发展源远流长，与牛顿力学、经典电磁学一起作为经典物理大厦的三大支柱，如果说，力学是物理学中的“第一颗扣子”，是学习物理的“敲门砖”1，那么热学是众多学习者在物理学习中遇到的“一只拦路虎”。热学由于其研究范围横跨多个领域，各领域间看似毫不相关，且基本概念相比力学来说更为抽象，初学者对热学的基本概念和基本定律时常会有模糊不清的感觉，温度是一个既熟悉又陌生的复杂概念。关于温度最朴素的概念来源于生活，“日月运行，一寒一暑”是对温度的一种直观认识，也是人们所熟悉的大自然中的自然冷热现象2。冷热程度是人们对温度最粗浅的认识，这一认识过于主观，因为对于同一物体的同一状态，不同的人会有不同的冷热感受。关于温度科学严格的定性定义由热力学第零定律给出。热力学第零定律指出，温度与系统平衡状态相联系，是与某一确定状态相对应的态函数，其中热平衡作为统一的客观标准。自此，人们对温度的认识开始进入一个客观、理性、科学的阶段。人们对温度的定量定义即温标的建立，经历了三个阶段，分别是经验温标、理想气体温标和热力学温标。经验温标是以物质随温度单调变化的某一属性为基础建立的，因此经验温标依赖于物质的特性。理想气体温标是用定容（或定压）气体温度计实现，利用气体的压强（或体积）随温度的变化来测量温度3，是以气体的压强或体积为测温属性建立的，测温物质必须保持气态。因此理想气体温标依赖于物质的共性（保持气态）。热力学温标是温度科学严格的定量定义。热力学温标是完全不依赖于物质属性的兼具客观性与科学性的温标。开尔文（1824-1907，英国物理学家，在静电和静磁学理论、交流电特别是莱顿瓶的放电振荡性、静电绝对测量和电磁测量、大气电学等方面都做出了重要贡献）于1848年利用热力学第二定律的推论卡诺定理引入了一个温标的理想模型热力学温标4。文章所出现的“温度的定量定义”无特别说明时，均为热力学温标，不再讨论经验温标和理想气体温标。下文将详细分析温度的定性定义和定量定义。首先，给出大多数教材中采纳的传统定义方法，并指出其局限性；其次，引入赵凯华等人提出的简明的温度定性定义5，分析其定义过程中内在的因果逻辑关系；再基于教学实践的温度概念的深度理解韩己宁，魏 蔚*，马晓栋（新疆师范大学 物理与电子工程学院 新疆发光矿物与光功能材料研究重点实验室，新疆 乌鲁木齐 830054）摘要：根据人们对温度复杂而抽象概念的认识历程，文章首先从定性和定量两个角度详尽阐述绝大多数热学教材中关于温度的定性定义和定量定义的定义方法、论证过程，并指出定义过程中的不足之处。其次，给出其他文献中简明的温度定性定义和定量定义的定义方法、论证过程，并详细讨论其完备性和优越性，指明定律内容弥补定理漏洞的情况。最后对温度的定量定义中的细节问题做了必要的补充说明。关键词：定性定义；定量定义；热力学温标；理想气体温标中图分类号：O469 文献标识码：A文章编号：1008-9659（2023）03-0006-07 收稿日期 2023-03-21 基金项目 国家自然科学基金项目（10864006；11264039）；新疆高校科研计划重点项目（XJED2010141）；新疆师范大学博士科研启动基金项目（XJNUBS1805）。作者简介 韩己宁（1998-），男，河北承德人，硕士研究生，主要从事凝聚态物理方面研究。*通讯作者 魏 蔚（1978-），女，河南南阳人，讲师，主要从事热能工程方面研究。Vol.42，No.3Sept.2023第42卷 第3期2023年9月新疆师范大学学报（自然科学版）Journal of Xinjiang Normal University（Natural Sciences Edition）6韩己宁，等：基于教学实践的温度概念的深度理解次，着重讨论由高炳坤等人提出的简明的温度定量定义即热力学温标的简明定义6，从理解难易的角度比较分析简明的温度定量定义与传统的温度定量定义的差别，分析简明定量定义的完备性和优越性，并给出必要的补充说明。1 一般教材的温度定义1.1 一般教材的温度定性定义谈到温度的定性定义，必须提到热力学第零定律。如果两个热力学系统中的每一个都与第三个热力学系统处于热平衡，则它们也一定处于热平衡，这是热平衡定律暨热力学第零定律的内容。热平衡定律是温度定性定义的基础。一切互为热平衡的系统都具有相同的温度7。该定性定义指出了平衡态必对应系统的某个状态函数，且明确了两个相互接触的系统处于热平衡时与状态函数之间的关系；但在无热接触的两个系统之间热平衡的问题上并没有给出具有实操性的规范，这会导致建立在此基础上的温度计测温过程不严密。对此，主要相关教材中有相应的说明8。假定三个系统都是化学组分单一的简单系统，可以利用两个独立的状态参量表示系统的平衡态。当系统A和系统B处于热平衡时，描述这两个状态的独立参数之间必然相互制约。制约条件可表示为FAB(pA,VA;pB,VB)=0（1）当系统A和系统C也处于热平衡时，也一定有FAC(pA,VA;pC,VC)=0（2）那么根据热力学第零定律，系统B和系统C也必然处于热平衡，因此有FBC(pB,VB;pC,VC)=0（3）式（1）和式（2）都含有pA，可以把它提出来移到等号左侧，这样式（1）和式（2）可以写为pA=AB(pB,VA,VB)（4）pA=AC(pC,VA,VC)（5）根据式（4）和式（5），可得AB(pB,VA,VB)=AC(pC,VA,VC)（6）该式从根本上是来自于系统A和系统B处于热平衡以及系统A和系统C处于热平衡，即来源于式（1）和式（2），而式（3）也是来自于式（1）和式（2），故式（6）和式（3）应是相等的。式（3）没有包含VA，而式（6）等号两边均有VA，故函数一定具有以下形式AB=(VA)g(VA)+fB(pB,VB)（7）AC=(VA)g(VA)+fC(pC,VC)（8）从式（7）和式（8）可以得到式（3）的形式，在式（7）中引入的fB，由pB,VB完全决定，是系统B的状态函数。式（8）中引入的fC以及下面引入的fA也是相同的意义。将式（7）和式（8）代入式（6），可得 fB(pB,VB)=fC(pC,VC)（9）将式（8）代入式（5）得pA=AC=(VA)g(VA)+fC(pC,VC)或 fC(pC,VC)=pA(VA)-g(VA)上式右边只包含了pA,VA，因此可以用fA(pA,VA)代替，即fC(pC,VC)=fA(pA,VA)（10）根据式（9）和式（10），可得fA(pA,VA)=fB(pB,VB)=fC(pC,VC)这是根据热力学第零定律得出的结果。这个结果表明，互为热平衡的系统具有一个数值相等的态函数，这个态函数定义为温度，当它表示温度时，系统的温度分别为TA=fA(pA,VA)TB=fB(pB,VB)7新疆师范大学学报（自然科学版）2023年TC=fC(pC,VC)由此证明了热力学第零定律是引入温度概念的实验基础。1.2 一般教材的温度定量定义开尔文于1848年利用热力学第二定律的推论卡诺定理引入了一个温标的理想模型热力学温标4。该温标的建立和论证过程与有关教材中的内容基本一致4，9-12，具体过程如下9：设有温度为1，2，3三个恒温热源（1，2，3可以是任何温标所确定的温度，其中3 1 2），令可逆热机E1工作于高温热源1和低温热源2之间，吸热、放热情况如图1所示。3E3Q3Q3Q1E21Q1Q2Q22E1图1 热力学温标传统定义逻辑图根据热机效率的定义可知：Q2Q1=1-，由于可逆热机的效率只与两个热源的温度有关，因此Q2Q1=1-的值也只与这两个温度有关，可以写作Q2Q1=F(1,2)（11）另有可逆热机E3工作于高温热源3和低温热源1之间，从高温热源3处吸收热量Q3，向低温热源1放热量Q1，同理可得Q1Q3=F(3,1)（12）如果把这两个可逆卡诺热机联合起来工作，由于热机E3在热源1处放出的热量Q1被热机E1吸收，因此这两个热机的总效果相当于一个可逆热机E2工作于热源3和2之间，故可以写成Q2Q3=F(3,2)（13）将式（12）和式（13）相除，可得Q2Q1=F(3,2)F(3,1)（14）式（14）与之前的式（11）相比较，可得F(1,2)=F(3,2)F(3,1)（15）式（15）的左边没有3，故等式右边的3应该可以消去，故式（15）可以写为：Q2Q1=F(1,2)=f(2)f(1)，f的函数形式与F的函数形式必有所不同，具体决定于选择何种温标。如果选T*为f()温标，则上式可以表示为：Q2Q1=T*2T*1（16）8韩己宁，等：基于教学实践的温度概念的深度理解从式（16）中可以看出，两个温度的比值可以由热机与热源的热量交换值来定义，热量交换值与工作物质无关，因此温标T*也与工作物质无关，T*是不依赖于任何物质特性的温标。同时选取水的三相点作为固定点，此时温标完全确定，该温标称为热力学温标。根据可逆卡诺热机的效率可得：Q2Q1=T2T1，这里的温标T是理想气体温标，该表达式的形式与式（16）的形式相同，且两者固定点的选取都是一致的，为水的三相点。故认为，热力学温标与理想气体温标是一致的。它们可以只用一个符号T表示这个温标。这样可逆卡诺热机的效率可以用热力学温标表示为：=1-Q2Q1=1-T2T1.热力学温标的这一定义是通过对三个可逆热机利用卡诺定理和函数变换，推导出与理想气体温标形式一致的过程。该过程中运用的数学函数内容较抽象，理论难度较大，大多数初学者容易陷入对数学函数形式理解的困境，从而忽略了对热力学温标本质的深度理解。之前有研究者6曾提出热力学温标定义的新方案，这些方案总体来说目标明确且过程简洁，但尚存在不够严密之处。2 简明的温度定义2.1 简明的温度定性定义温度通过描述两个互相处于热平衡的物体温度相同的状态来定义。也就是说，当两个物体达到热平衡时，理论上它们应当具有相同的温度。赵凯华等人认为，从温度的操作定义（温度就是某种温度计的读数）出发，用温度计C与A接触，达到热平衡后读数为t，再用温度计C与B接触并达到热平衡，读数是否为t，这在理论上是无法确认的5。对于温度定义中明显的漏洞，赵凯华等人用简明扼要的语言指出，可以用实验的结果证明这一点。这些相关实验都是与温度有关的基本实验事实，它们被总结为热力学第零定律，该定律为温度的定义提供了理论支持。根据热力学第零定律，用温度计C分别测量互为热平衡的A和B物体，温度计上所显示的读数是相同的。这样，温度的操作定义和温度定义中的“温度相同”这个说法协调一致。2.2 简明的温度定量定义高炳坤等人在2006年首次提出一种定义热力学温标的简明方法6，称之为简明的定量定义。他们指出：利用理想气体状态方程、焦耳定律和热力学第一定律，当理想气体作可逆卡诺循环时，有：Q2Q1=T2T1，其中，T1,T2是理想气体温标所测量的高温热源和低温热源的温度值，Q1,Q2是在一次循环中工作物质分别与两个热源的热量交换，再根据卡诺定理确定可逆卡诺热机的效率为：=1-Q2Q1=常数。根据以上两个公式，故有：Q2Q1=1-=常数。即在每个循环中，可逆卡诺热机分别与高温热源和低温热源交换的热量比，仅与两个热源的温度有关。然后选水的三相点作为固定点T*，作为一个热源，待测温度T作为另一个热源，通过测量工作物质和两个热源交换的热量，可得：T=T*QQ*.从而可以得到待测温度。由于工作物质与热源交换的热量值无关，因此该热力学温标摆脱了对物质的依赖。3 温度的简明定义的优越性3.1 定性定义的完备性和优越性根据上述内容，温度的简明定性定义相比其传统定性定义有不可忽略的优越性。赵凯华等人提出的热力学第零定律的内容完美地为温度的传统定性定义弥补了漏洞5。根据温度的传统定性定义，两个相互处于热平衡的物体温度相同。通过传统定性定义，仅能判断已经处于热平衡的两个物体温度相同。可见，在定义温度概念之前，首先应当有热平衡发生。两个系统进行能发生传热的互相接触（热接触）之后，两个系统的状态不再发生变化时，称为两个系统处于热平衡，即两个物体在处于“热平衡”之前，首先必须要有热接触；对于没有进行热接触的两个物体，并没有直接或间接的理论依据来确定两个物体是否处于热平衡。上述温度的传统定性定义，从字面上理解，对没有进行热接触的两9新疆师范大学学报（自然科学版）2023年个物体之间的状态关系没有给出相应的说明，故不能用来判断未进行热接触的两个物体的温度是否相同。对用温度计为两个物体分别测温从而得出温度一致这样的结论，无法起到有力理论支撑的作用，这是温度定性定义的一个缺陷，也就是说，单独一个温度的定性定义是不足以定义温度的。为使传统定性定义的缺陷得以弥补，大多数教材利用高等数学中复合函数的推证做了补充说明。这样，传统的定性定义才得以完整和科学。该推证从热力学第零定律出发，根据热力学基本状态参量之间的相互制约关系，利用复合函数中的函数规律，推证互为热平衡的系统具有一个数值相等的态函数，将此态函数定义为温度。这种传统的推证方法变量较多，易混淆，且过程冗长、步骤繁琐，且不利于学生理解和掌握此概念。相比之下，赵凯华等人关于温度的简明定性定义具有不可比拟的优越性5。该简明定性定义的方式直接从温度的操作定义入手，用实验的方法验证了热力学第零定律，从理论上解决了传统定性定义的缺陷。热力学第零定律的内容为：处于确定状态的物体分别与另外两个物体达到热平衡，则另外两个物体也处于热平衡。这一定律的内容建立在与第三个物体关联的基础上，准确阐述了未进行直接热接触的两个物体之间的状态关系，该定律是建立在科学实验基础上的一个实验事实，真实可信。从实验事实的角度对温度定性定义的漏洞给予了恰当的弥补，并使得温度的定量定义温标的建立和测温手段得以有理有据地展开。这一说法逻辑严谨合理，内容科学可信，过程简洁明了，能让学生由浅入深地理解和掌握温度的概念，深刻理解温标的实操测温原理。3.2 定量定义的完备性和优越性高炳坤等人提出温度的简明定量定义6，相比传统的定量定义而言，该定义方法有其不可比拟的优越性。定义的整个过程简明扼要，论证过程中所运用的理论基础全部来自于热学定理等相关内容，这使得原本高等数学基础薄弱的部分学生理解透彻。这些理论知识本身也是紧密相连，环环相扣。直接用到的理论从理想气体状态方程、焦耳定律到热力学第一定律、卡诺定理，将热学近一半内容“串起来”，在内容上近似作了一次重要“总结”。在上述高炳坤等人6提出的简明定量定义的基础上，需要补充讨论两个问题。应该注意到，虽然该简明定量定义的过程简洁，但却不影响定义内容的完整。第一个问题：在运用卡诺循环的结论Q2Q1=T2T1，得出热机效率=1-Q2Q1=常数时出现问题。因为通常两个热源间工作的热机改变时，其效率也会改变，从而导致待测温度的结果不同，用不同的热机所测量的温度不同。对于这一漏洞，只需通过卡诺定理的内容得以弥补，即在相同的高温热源和相同的低温热源间工作的一切可逆热机，其效率都相等，与工作物质无关。因此，当两个热源间的可逆热机改变时，不同的热机与两个热源交换的热量Q1和Q2不同，但Q2Q1的值不变，故建立在此基础上的简明定量定义所测量的温度读数不变。由于该热力学温标的简明定量定义是建立在卡诺循环的基础上，而卡诺定理是热力学第二定律关于只与两个热源进行热交换的可逆热机循环过程的表述13，故认为，热力学第二定律本质上弥补了热力学温标的简明定义过程中的漏洞。第二个问题：在运用卡诺循环的结论Q2Q1=T2T1时，没有经过证明直接认定T1,T2都是理想气体温标所测数值。这个认定当然正确，因为从卡诺循环求出效率公式=1-T2T1的过程中，用到了卡诺循环过程中的等温过程的吸热值，该等温过程的吸热值是根据热力学第一定律在理想气体的等值过程中的应用结果，热力学第一定律是通过理想气体状态方程证明出来的，而理想气体状态方程是根据理想气体温标、玻马定律和阿伏伽德罗定律推出的，其中的温度值是根据理想气体温标测量的。这样，间接验证了=1-T2T1中的温度值是理想气体温标所测的温度。而热力学温标在0K1000之间与理想气体温标是等价的。论证过程如下：令待测温度T*为高温热源，水的三相点温度273.16K为低温热源。设可逆机1工作在这两个热源间，该热机从高温热源T*处吸收热量为Q1，向低温热源放出热量为Q2，根据热机的效率公式有10韩己宁，等：基于教学实践的温度概念的深度理解 =1-Q2Q1（17）根据卡诺循环的规律可知，工作在两个热源间的卡诺热机的效率为=1-T2T1，故有 =1-T2T1=1-273.16KT*（18）联立式（17）（18），有：Q2Q1=273.16KT*，即T*=Q1Q2273.16K，将水的三相点温度273.16K记为固定点。利用该温标测温时，只需要测量从两个热源处吸收的热量即可，不依赖测温物质的测温属性。该温标表达式形式简洁、含义明确，且该温标的数学表达式和固定点的选取与理想气体温标完全一致。Q1Q2可逆机1273.16 KT*图2 热力学温标简明定义逻辑图这一连串的因果关系充分体现了简明定量定义的完备性。综上所述，该定义方法论点清晰，论据充分，论证过程简明扼要。至此，对热力学温标给出了完整、严密、简洁的定义。这样定义的热力学温标，过程简洁，所用理论方法浅显易懂，能对推导过程中存在的系统缺陷予以弥补。对普通师范类高校物理专业的热学及热力学统计物理课程的教学来说，将热力学温标与热力学第二定律的内容关联起来，不仅有利于学生理解热力学温标定义的过程，而且对热力学第二定律以及熵概念的深入学习恰到好处。同时，学生在基础理论知识融会贯通的过程中，能够学会从更高的视角更全面的体系理解热学课程内容的主要知识框架及各部分知识之间的内在联系。4 结语热学是物理专业学生的一门专业课程，是研究热现象和热运动的理论基础。温度是热学中的核心物理量之一。众所周知，温度是用来衡量物体的冷热程度，但是当要分析和解决实际生产生活中遇到的各种有关温度的问题时，温度的概念仅仅建立在个人主观感受的基础上，这样的做法是不科学不严谨的，对温度应当给出客观科学的定性和定量的概念。所谓定性的概念，是要给出“什么是温度”，所谓定量概念，是要给出“这个物体温度是多少度”以及“这个物体温度比那个物体高多少”。文章分别从定性和定量的角度阐述了人们对貌似简单实则抽象的“温度”概念的认识过程，分析了对“温度”的认识是从感性到理性，定性到定量再到实操测量的逐步深入细化以及可操作的过程。在讲述定性定义时，首先指出绝大多数教材对温度的定性定义中存在的漏洞，并根据赵凯华等人的观点进行弥补。在讲述定量定义时，通过对经验温标、理想气体温标和热力学温标等三种常见温标的介绍，依次指出这几种温标的不足之处；然后介绍了高炳坤在卡诺定理的基础上提出的一种热力学温标的简明定义方法，并利用热力学第二定律对该定义过程中的不足进行补充，最后指出热力学第零定律弥补了“温度”的定性定义中的漏洞，热力学第二定律弥补了“热力学温标”定义中的漏洞。引出定性定义和定量定义的科学定义方法及其优越性。文章为高校物理专业学生以及其他学习者厘清温度概念，这对理解与之相关概念和定律之间的逻辑关系有一定的帮助，以期对物理专业课程教学有一定的参考价值。最后指出，温度的简明定性定义已被使用在赵凯华的热学教材中，那么，温度的简明定量定义也应当用于教材。参考文献：1 路俊哲，吕君，劳娜.“课程思政”在力学教学中的实践研究 J.新疆师范大学学报（自然科学版），2020，39（02）：58-61.2 薛国良.温度概念及其发展 M.石家庄：河北教育出版社，2006：270-271.11新疆师范大学学报（自然科学版）2023年3 李椿，章立源，钱尚武.热学 M.北京：高等教育出版社，2015：16-17.4 秦允豪.热学 M.北京：高等教育出版社，2011：270-271.5 赵凯华，罗蔚茵.热学 M.北京：高等教育出版社，1998：3-5.6 高炳坤，李复.引入热力学温标的一种方案 J.大学物理，2006，25（02）：33-14.7 李椿，章立源，钱尚武.热学 M.北京：高等教育出版社，2015：8-9.8 李椿，章立源，钱尚武.热学 M.北京：高等教育出版社，2015：25-26.9 汪志诚.热力学 统计物理 M.北京：高等教育出版社，2011：270-271.10 李椿，章立源，钱尚武.热学 M.北京：高等教育出版社，2015：148-150.11 黄淑清，聂宜如，申先甲.热学教程 M.北京：高等教育出版社，2011：96-99.12 赵凯华，罗蔚茵.热学 M.北京：高等教育出版社，1998：186-188.13 马晓栋.关于热力学第二定律的定量讲述 J.乌鲁木齐成人教育学院学报，1999，7（01）：55-57.A Deep Understanding of the Concept of Temperature based on Teaching PracticeHAN Ji-ning，WEI Wei*，MA Xiao-dong（Xinjiang Key Laboratory for Luminescence Minerals and Optical Functional Materials，School of Physics and Electronic Engineering，Xinjiang Normal University，Urumqi，Xinjiang，830054，China）Abstract：Based on human cognitive process to the concept of temperature which is complex and abstract，this paper firstly elaborates the definition methods，argumentation process and deficiency of the qualitative and quantitative definitions of temperature in most thermology textbooks from the qualitative and quantitative perspectives and points out the shortcomings in the definition process.Secondly，the definitions methods and argumentation process of the concise qualitative definition and the concise quantitative definition of temperature in other literatures are given，and their completeness and superiority are discussed in detail.It is clearly pointed out that the law contents make up for the loopholes of the theorem.Finally，it makes necessary supplementary explanation to the details of the quantitative definition of temperature.Keywords：Qualitative definition；Quantitative definition；Thermodynamic temperature scale；Ideal gas temperature scaleA Simple Iteration Method for M-matrix Algebraic Riccati EquationsGUAN Jin-rui1，REN Fu-jiao1，SHAO Rong-xia2（1.School of Mathematics and Statistics，Taiyuan Normal University，Jinzhong，Shanxi，030619，China；2.School of Statistics and Data Science，Xinjiang University of Finance and Economics，Urumqi，Xinjiang，830012，China）Abstract：This paper studies numerical solution of M-matrix algebraic Riccati equations.When the coefficient matrix of the equation is a regular singular M-matrix，some existing numerical methods encounter certain difficulties.Therefore，a simple iteration method is proposed to solve the equation.This method only uses matrix multiplication in each iteration，with small computational complexity and easy implementation.Theoretical analysis and numerical experiments show that the method in this paper is feasible and effective under certain circumstances.Keywords：Algebraic Riccati equation；Regular M-matrix；Newton method；Iterative method（上接第5页）12