量子力学导论11章答案.doc

第十一章 量子跃迁
11—1）荷电的离子在平衡位置附近作小振动（简谐振动）。受到光照射而发生跃迁。设照射光的能量密度为，波长较长。求：（a）跃迁选择定则；（b）设离子原来处于基态，求每秒跃迁到第一激发态的几率。
11—2）氢原子处于基态。收到脉冲电场的作用。使用微扰论计算它跃迁到各激发态的几率以及仍然处于基态的几率（取沿轴方向来计算）。
解：令 （6）
初始条件（5）亦即 （5）
用式（6）代入式（4），但微扰项中取初值（这是微扰论的实质性要点！）即得

以左乘上式两端并全空间积分，得

再对积分，由，即得
（7）
因此时（即脉冲电场作用后）电子已跃迁到态的几率为[可直接代入 P291式（23）、P321式（15）而得下式]
（8）
根据选择定则，终态量子数必须是

即电子只能跃迁到各态，而且磁量子数。
跃迁到各激发态的几率总和为
（9）
其中 （为奇宇称）
（10）
为Bohr半径，代入式（9）即得
（11）
电场作用后电子仍留在基态的几率为
（12）

11—3）考虑一个二能级体系，Hamilton量表为（能量表象）
, ,
设时刻体系处于基态，后受微扰作用，
,
求时刻体系处于激发态的几率。
解：时，体系 ，其矩阵表示（表象）为
（1）
设的本征函数为
（2）
代入本征方程 （3）
得到
（4）
上式存在非平庸解的条件为

由此解出 （5）
令 ，， （6）
式（5）可以写成 （5’）
当，由式（4）求得

取，即得相应的能量本征函数（未归一化）为
（7）
当，类似可求得
（8）
时，体系的初始状态为
（9）
其中 （10）
因此时波函数为
（11）
以式（5’）、（7）、（8）代入上式，即得
（12）
体系处于态的几率为
（13）

11—4）自旋为的粒子，磁矩为，处于沿轴方向的常磁场中，初始时刻粒子自旋向下。后来加上沿轴方向的常磁场 。求时刻粒子测得自旋向上的几率。（磁矩算符，与外磁场的的作用 ）
解：粒子的磁矩算符可表示成 （1）
为泡利算符，磁场对粒子的作用势为
（2）
在表象中，的矩阵表示为
（2’）
以下求的本征值和本征函数，设本征函数为
（3）
本征方程为，则
（4）
能级方程为
（5）
令 ， ， （6）
由式（5）容易解出 （7）
将之值代回式（4），即可求出如下本征函数：
（8）
注意，这两个本征函数并未归一化。
将时的初始波函数按能量本征函数展开，
（9）
因此，时波函数

（10）
注意满足归一化条件
在时刻，测得粒子自旋“向上”的几率为

（11）
本题可以视为11—3）题的一个实例。

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