椭圆及其标准方程详案.doc

椭圆及其标准方程
武汉市育才高中 张恋
一、教材分析
⒈教材的地位和作用
《椭圆及其标准方程》是继学习圆以后运用“曲线和方程”理论解决具体的二次曲线的又一实例。从知识上讲，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上讲，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础。
《椭圆及其标准方程》这一节教材划分为三个课时，第一课时主要研究椭圆的定义、标准方程的推导；第二课时内容为借助于课本例2,介绍运用椭圆的定义求曲线的轨迹方程以及用待定系数法求椭圆的方程。第三课时内容为借助于课本例3,巩固相关动点法求曲线方程。从教材编排上说，在原有的老教材中，椭圆、双曲线、抛物线和圆放在同一章中教学，现把三种圆锥曲线独编一章，则椭圆的重要性就尤其突出。因此，这节课具有承前启后的作用，是本章和本节的重点。
⒉教学的重点和难点
重点:椭圆的定义的理解及椭圆标准方程的两种形式为本课的教学重点
难点:椭圆标准方程的推导及比较复杂的根式的化简为本课的教学难点

二、目标分析
⒈知识目标：使学生掌握椭圆的定义和椭圆的两种标准方程；能根据定义推导出椭圆的标准方程；能应用椭圆的定义和标准方程解决简单的应用问题；使学生进一步掌握求曲线方程的步骤，并注意数与形的转化。
⒉能力目标：培养学生分析问题、探索问题，解决问题的能力；
⒊情感目标：渗透由抽象到具体，使学生理解动与静的辩证统一；培养勇于探索，勤于思考的精神；培养合作学习与数学交流的能力；使学生懂得数学源于生活，服务于生活的特点。

三、教法分析
⒈学情分析：学生已经学习了曲线的概念，掌握了求曲线方程的方法。同时，学生已经具备一定的自学能力，多数同学对数学的学习有相当的兴趣和积极性。但探究问题的能力，合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强。
⒉教学方法：
根根教材分析和目标分析，结合学生的实际，贯彻启发式教学的原则，体现教师为主导、学生为主体的思想，深化课堂改革特制定以下教法：
①多媒体教学；②自主讨论式教学；③讲练结合教学。

四、学法分析
本节课要让学生动手，动脑，主体参与。通过观察，联想，猜测，归纳等得出结论，鼓励学生们多向思维，勇于探索，合作学习。
具体措施如下：
⒈多媒体展示椭圆与实际问题间的关系，以及让学生自己动手演示椭圆的形成过程。
⒉让学生进行分组讨论交流，促进学生知识体系的建构和数学思想方法的形成。
⒊提问分层、评价分层、作业分层，充分调动不同层次学生的积极性。

五、教学程序
㈠教学流程图：
Ⅰ、创设情境，引出课题：
认识椭圆：⑴实物展示 ⑵多媒体演示
Ⅱ、提出问题，归纳椭圆的定义：
从课本上的画板入手，改变F1 、F2 之间的距离，
提出4个问题，加深对椭圆定义的理解

Ⅲ、自主探究，推导椭圆标准方程：
⑴回顾求曲线方程的步骤 ⑵引导学生推导椭圆的标准方程 ⑶推导过程中要注意的几点问题
Ⅳ、合作归纳，对椭圆方程的再认识：
⑴a、b、c的关系 ⑵两种方程的特点 ⑶判断焦点位置的方法
Ⅴ、范例讲解，巩固训练

㈡教学过程：
Ⅰ、创设情境，引出课题：
⑴在初中几何里我们知道，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的截面是一个圆。
⑵我们来看一个演示（点击课件），我们把两个圆锥顶对顶的放置，用一个平面去截圆锥。如果改变平面与圆锥轴线的夹角，会得到一些不同的图形。
（展示课件，做平面截圆锥的演示，得到不同的图形）
这些图形分别是椭圆、双曲线、抛物线等。
⑶而我们的生活中，无论是月亮绕着地球转，还是地球绕着太阳转，它们都在椭圆轨道上运行，太阳系的其他行星也是如此，如果这些行星运动的速度增大到某种程度，它们就会沿着双曲线或抛物线运行。
因此，通常把椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线。
今天，我们就来主要学习椭圆及其它的标准方程。

Ⅱ、提出问题，归纳椭圆的定义：
在前面的学习中，我们知道动点按某种规律运动形成的轨迹叫曲线。那么，椭圆这种曲线是满足什么条件的点的轨迹呢？
⑴展示课件，学生观察：
取一条定长的细绳，将绳子的两端固定在画图板上，当绳长大于两端点间的距离时，用铅笔将绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，同学们注意观察，能得到什么图形？是一个椭圆，将这两个端点设为F1 、F2。
思考：在这个作图过程中说明了什么？我们再来演示一遍，注意观察椭圆形成的过程。
在笔尖慢慢移动的过程中，无论笔尖停在哪里，都保证了曲线上任意一点与两个端点的距离的和等于定长（即这条绳长）。那么除了绳长是定长以外，图中还有哪些是定长？两端点F1 F2之间的距离也是定长。那么是不是到点F1 、F2的距离的和等于定长的点的轨迹就一定是椭圆呢？我们接着再来看演示。
⑵提出问题：
①在绳长（设为2a）不变的情况下，改变两个图钉F1 、F2之间的距离（设为2c），画出的椭圆有何变化？（学生观察）
②当两个图钉重合在一起时，画出的图形是什么？
③当两个图钉之间的距离等于绳长2a时，画出的图形是什么？
④当两个图钉固定，能使绳长2a小于两个图钉之间的距离吗？这说明了什么？
（展示课件，首先使F1 、F2之间的距离变小，椭圆变圆；接着使F1 、F2两点重合，椭圆变成了圆；然后使F1 、F2之间的距离变大，椭圆变扁；最后F1 、F2之间的距离等于绳长，椭圆就“退化” 为一条线段）
学生自主讨论，得出结论。
结论：①当2a＞2c时，轨迹是椭圆；②当2a＝2c时，轨迹是线段；③当2a＜2c时，无轨迹；④当2c＝0时，轨迹是圆。
同学们不仅画出了椭圆，而且清楚了在什么情况下才能画出椭圆，请同学们给出椭圆的定义。（学生可能表述得不尽严密，教师再引导学生准确地表述）
椭圆的定义：平面内与两定点F1 、F2的距离的和等于常数（大于∣F1 F2∣）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。

Ⅲ、自主探究，推导椭圆标准方程：
⑴由椭圆的定义，我们可以知道它的基本几何特征，但对于这种新曲线还具有哪些特征，我们几乎一无所知，因此需要建立椭圆的方程，以便于我们对其作进一步的认识，请同学们回忆一下，求曲线方程的步骤是什么？
（点学生回答）
步骤：①建系设点 ②列出方程 ③化简方程
⑵再请同学们考虑一下怎样建立直角坐标系？
椭圆可以横着，也可以竖起来，我们就以第一种情况，横着的椭圆来建立直角坐标系。（课件演示）一般地，坐标轴取在定直线上和图形的对称轴上，原点取为定点或定线段的中点。
⑶根据椭圆的定义，我们来求椭圆的方程。
如图，建立直角坐标系XOY，使X轴经过点F1 、F2 ，并且点O与线段F1 F2的中点重合。

设M（x，y）是椭圆上任意一点 （定义中提供的信息，①动点与F1 、F2之间的距离的和是常数，这个常数可以看作是已知的；②两定点F1 、F2之间的距离也可看作是已知的）
设椭圆的焦距为2c（c＞0），那么，焦点F1 、F2的坐标分别是（-c，0）、 （c，0），又设点M与F1 和F2的距离的和等于常数2a。 （我们把焦距设为2c，避免了F1 、F2的坐标为分数的形式）
由椭圆的定义，椭圆就是集合P＝｛M∣∣MF1 ∣＋∣MF2∣＝2a ｝
∵∣MF1 ∣＝ ∣MF2∣＝
∴＋＝2a
(方程怎么化简?关键在于将根式去掉,而去掉根式则要两边平方,那怎么平方去根式会比较简单呢?如果直接对上面的方程两边同时平方,方程左边要用到和的平方公式,第一项平方去掉了根号,第二项平方也去掉了根号,而两项积的2倍就更复杂了。请同学们注意，对于含有根式的方程化简时，①如果方程中只有一个根式，则将根式单独留在方程的一边，把其他各项移至另一边，之后方程两边同时平方即可；②如果方程中含有两个根式，则需将它们分别放在方程的两边，并使其中一边只含有一个根式，之后再将方程两边同时平方，再整理，再平方。)
将这个方程移项后两边平方，得
（x＋c）2＋y2＝4a2－4a＋（x－c）2＋y2
整理得 a2－cx＝a
上式两边再平方，得a4－2a2cx＋c2x2＝a2x2－2a2cx＋a2c2＋a2y2
整理得 （a2－c2）x2＋a2y2＝a2（a2－c2）
由椭圆定义知，2a＞2c＞0，即a＞c＞0，∴a2－c2＞0
令a2－c2＝b2，其中b＞0 （令a2－c2＝b2不仅体现了换元的思想，还可以使方程变得简单整齐，且具有对称美，同时设出的b还有着特殊的意义，在下一节讨论椭圆的几何性质时，我们将学习到。）
代入上式，得b2x2＋a2y2＝a2b2
两边同除以a2b2，得（a＞b＞0）
这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在X轴上，焦点是 F1（-c，0） 、F2（c，0），这里c2＝a2－b2

⑷观察此方程，同学们能猜想焦点在Y轴上的标准方程吗？
问题：如果使点F1 、F2在Y轴上，a、b、c的意义同上，请同学们再来求一次椭圆的方程。
（实际上，把上图中的X轴、Y轴交换，再将X轴改变方向，因此，只要将方程中的x、y互换，就可以得到焦点在Y轴上的椭圆的方程）
当点F1 、F2在Y轴上，点F1 、F2的坐标分别是（0，-c）、（0，c），a、b的意义同上，那么所得方程变为（a＞b＞0）
这个方程也是椭圆的标准方程。

Ⅳ、合作归纳，对椭圆方程的再认识：
⑴标准方程一定是焦点在坐标轴上且两焦点的中点为坐标原点；
⑵两个标准方程中，都有a＞b＞0的要求，焦点位置的判断就取决于“大分母”对应的坐标轴；
椭圆的焦点在X轴上标准方程中x2项的分母较大
椭圆的焦点在Y轴上标准方程中y2项的分母较大
⑶a、b、c始终满足c2＝a2－b2（注意不要与勾股定理中的c2＝a2＋b2发生混淆）。
如果焦点在X轴上，则焦点坐标为（-c，0），（c，0）；
如果焦点在Y轴上，则焦点坐标为（0，-c），（0，c）。

Ⅴ、范例讲解，巩固训练：
例：平面内两个定点的距离等于8，一个动点M到这两个定点的距离的和等于10。建立适当的坐标系，写出动点M的轨迹方程。
解：以两定点F1 、F2的连线为X轴，以线段F1 F2的垂直平分线为Y轴建立直角坐标系，设点M（x，y）
则∣MF1 ∣＋∣MF2∣＝10 且∣F1 F2 ∣＝8
∴动点M的轨迹是以点F1 、F2为焦点的椭圆，且2a＝10，2c＝8
∴a＝5，c＝4，b2＝52－42＝9
∴点M的轨迹方程为
练习⒈如果椭圆上一点P到焦点F1的距离等于6，则点P到另一焦点F2的距离是 14
解：∵∣PF1 ∣＋∣PF2∣＝2a 且a＝10
∴∣PF2∣＝2a－∣PF1 ∣＝20－6＝14

练习⒉写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴a＝4，b＝1，焦点在X轴上
解：∵椭圆的焦点在X轴上 ∴设它的标准方程为（a＞b＞0）
∵a＝4，b＝1 ∴所求椭圆的标准方程为

⑵a＝4，c＝，焦点在Y轴上
解：∵椭圆的焦点在Y轴上 ∴设它的标准方程为（a＞b＞0）
∵a＝4，c＝ ∴b2＝a2－c2＝16－15＝1
∴所求椭圆的标准方程为

⑶a＋b＝10，c＝2
解：∵c2＝a2－b2＝（a＋b）（a－b）＝10×（a－b）＝20
∴a－b＝2
∵a＋b＝10 ∴a＝6，b＝4
∴所求椭圆的标准方程为 或
课后作业：课本第96页习题1、2、3
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