第八章——平面电磁波.doc

第八章 平面电磁波

8-1 导出非均匀的各向同性线性媒质中，正弦电磁场应该满足的波动方程及亥姆霍兹方程。
解 非均匀的各向同性线性媒质中，正弦电磁场应该满足的麦克斯韦方程如下：
，
分别对上面两式的两边再取旋度，利用矢量公式，得

则相应的亥姆霍兹方程为

8-2 设真空中平面上分布的表面电流，试求空间电场强度、磁场强度及能流密度。
解 平面上分布的表面电流将产生向和方向传播的两个平面波，设z > 0区域中的电场和磁场分别为，，传播方向为；而z < 0区域中的场强为和，传播方向为。显然，各个场分量均与边界平行。由于表面电流的存在导致磁场强度在边界上不连续，但是电场强度仍然连续。由此求得下列方程：

式中。考虑到
；
求得，，获知
因此，
那么， ， z > 0
同理可得 ， z < 0
因此，两边的电场强度分别为
， z > 0
， z < 0
能流密度分别为
, z > 0
， z < 0
8-3 已知理想介质中均匀平面波的电场强度瞬时值为
(V/m)
试求磁场强度瞬时值、平面波的频率、波长、相速及能流密度。
解 已知电场强度瞬时值为
(V/m)
可见这是向+x方向传播的平面波。因此，磁场强度的瞬时值为
(A/m)
式中为媒质的波阻抗。
根据题意，获知平面波的角频率，波数。由此求出
频率：；波长：
相速：(m/s)
能流密度：
8-4 设真空中平面波的磁场强度瞬时值为
(A/m)
试求该平面波的频率、波长、相位常数、相速、电场强度复矢量及能流密度。
解 根据题意，获知平面波的角频率，相位常数。由此求出
频率：；波长：
相速：(m/s)
已知磁场强度瞬时值为
(A/m)
可见这是向-y方向传播的平面波。因此，电场强度的瞬时值为
(V/m)
式中为真空的波阻抗。那么，电场强度的复矢量为
(V/m)
能流密度矢量：

8-5 当频率分别为10kHz与10GHz的平面波在海水中传播时，求此平面波在海水中的波长、传播常数、相速及特性阻抗。
解 当时，，
，
故可视为良导体。那么
相位常数：；衰减常数：
波长：；相速
波阻抗：
当时，，
，
故可视为非理想的电介质，则
相位常数：
衰减常数：
波长：；相速：
波阻抗：
8-6 推导式（8-3-9）。
解 若媒质的电导率为，则无源区中的麦克斯韦方程为

令，代入下述齐次亥姆霍兹方程

再令，显然为复数。设，将代入得

该方程两端对应的实部和虚部应该相等，即

求解上述联立方程即可求得式（8-3-9），即

8-7 试证一个线极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化波。
证明 令一个x方向的线极化平面波为

那么可将上式改写为

显然上式右端两项均为圆极化平面波，而且旋转方向恰好相反。这就证实一个线极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化波。
8-8 试证一个椭圆极化平面波可以分解为两个旋转方向相反的圆极化平面波。
证明 由教材8-4节可见，通过坐标轴旋转，任一椭圆极化平面波均可表示为

令，，即
，
那么前式可展开为

此式又可改写为

显然，上式代表两个旋转方向相反的圆极化波。
8-9 试证圆极化平面波的能流密度瞬时值与时间及空间无关。
证明 设圆极化波电场强度的瞬时值为

上式可改写为

相应的磁场强度为

那么，能流密度瞬时值为

可见，圆极化波的能流密度瞬时值与时间及空间无关。
8-10 设真空中圆极化平面波的电场强度为
(V/m)
试求该平面波的频率、波长、极化旋转方向、磁场强度以及能流密度。
解 由电场强度的表示式可见，，那么
波长：；频率：
因传播方向为+x方向，z分量又导前y分量，因此该圆极化平面波是左旋的。
磁场强度为
（A/m）
能流密度为
（W/m2）
8-11 当平面波自第一种理想介质向第二种理想介质垂直投射时，若媒质波阻抗，证明边界处为电场驻波最大点；若，则边界处为电场驻波最小点。
证明 设入射波的传播方向为+z方向，z <0一侧媒质波阻抗为Z1，z >0一侧媒质波阻抗为Z2，那么，入射波和反射波可以分别表示为
入射波：；反射波：
边界上的反射系数为
由于两种介质均为理想介质，和为实数，且。
媒质①中合成电场可表示为

媒质①中合成电场的振幅为

显然，绝对值的最大值为，而最小值为。
当时，，那么在z = 0的边界上

可见边界上为电场驻波最大点。
当时，，那么在z = 0的边界上

可见边界上为电场驻波最小点。
实际上，当时，，由于边界上反射波和入射波的相位相同，因而形成电场驻波的最大点。当时，，边界上反射波和入射波的相位相反，因而形成电场驻波的最小点。
8-12 当均匀平面波自真空向理想介质平面边界垂直投射时，测得驻波比为2.7，试求该理想介质的介电常数。
解 由题可知，，求得。
若取，则由及，求出
。显然，此结果不合理。因此，应取，则求得。
8-13 当右旋圆极化平面波自真空沿正Z方向向位于z = 0平面的理想导电体平面垂直投射时，若其电场强度的振幅为E0，试求：①电场强度的瞬时形式及复数形式；②反射波电场强度的表示式；③理想导电体表面的电流密度。
解 由题意知，可设该右旋圆极化平面波的电场强度的复数形式为

其瞬时值为

反射波为 ，因，则
。
令真空中的合成磁场为
因为；
那么合成磁场为
已知表面电流密度为

式中，为理想导电体表面的合成磁场。因此，求得表面电流为
。
8-14 若在电磁参数，的玻璃表面镀上一层透明的介质以消除红外线的反射，红外线的波长为0.75mm，试求：①该介质膜的介电常数及厚度；②当波长为0.42mm的紫外线照射该镀膜玻璃时，反射功率与入射功率之比。
解 ①为了消除红外线反射，介质膜的介电常数应使其波阻抗Z2满足下述关系式

式中Z0为真空波阻抗，Z1为玻璃的波阻抗。已知
，
那么，介质膜的介电常数应满足下式

介质膜的厚度应等于该红外线在其内传播时的波长的四分之一。已知红外线的波长，那么介质膜的厚度应为

②已知紫外线的波长，则其在介质膜中的波长为，相位常数为，那么

对于波长的紫外线，边界上的输入波阻抗为

那么，边界上的总反射系数为
功率之比等于场强振幅的平方比，故反射功率与入射功率之比为
。
8-15 设某种多层媒质由三种媒质组成，当平面波自第一种媒质沿正Z方向向多层媒质边界正投射时，如习题图8-15所示。若R12为媒质①与媒质②形成的边界反射系数，R23为媒质②与媒质③形成的边界反射系数，试以反射系数R12及R23表示z = 0处的总反射系数。
e1 m1
X
d
e2 m2
e3 m3
0
Z
习题图8-15
解 依题意知
，，
其中、、分别为三种媒质
的波阻抗；则可得
，；
那么，在处的输入波阻抗为

已知总反射系数为，将与代入，求得
。
e1 m1
X
d
e2 m2
e3 m3
0
Z
H
E
S
习题图8-16
8-16 已知平面波的电场强度为

向三层介质边界正投射，如习题图
8-16所示。已知三种介质的参数为

，
中间介质夹层厚度，试求各区域中电场强度及磁场强度。
解 由题意知，波数，波长。
在媒质②中的波长为，，可见。那么，处的输入波阻抗为

故处总的反射系数为
，
透射系数为
；
已知入射波电场强度为，那么在的区域中，反射波电场强度为。相应的磁场强度为 ，
在的区域中，可令入射波和反射波的电场强度和磁场强度分别为
，
，
在z > d的区域中，可令入射波的强度和磁场强度分别为
，
根据z = 0和z = d的边界上电场强度和磁场强度的切向分量必须连续的边界条件，可得下列方程：

即

式中 。
代入上述方程组，求得

那么，各区域中的电场强度和磁场强度分别如下：
，
，
，
，
，
8-17 试证式（8-7-14）。
证明 已知均匀平面波表示式为
，
式中
代入无源区中的麦克斯韦方程

考虑到

式中

显然，上式可改写为

因此求得
同理可证第二方程 。
对于散度方程，考虑到

可见，，求得。
同理可证第四方程。
8-18 已知平面波的电场强度为

试求：① 传播常数k；② 极化特性；③ 是否是TEM波？
解 已知平面波的表示式为 ，由题获知

可见，，即传播常数为

y
x
z
Ey+Ez
Ex
k
习题图8-18
传播方向位于yz平面，如习题图8-18所示。
Ey分量与Ez分量构成线极化波，它和相位不同振幅不等的Ex分量合成后,构成椭圆极化波。由于Ex分量相位导前，因此形成右旋椭圆极化波。
因，故为TEM波。
8-19 当以及e 和m 均不等时，试求垂直极化平面波斜投射时的布鲁斯特角和临界角。
解 已知 ，
当时，要使，发生无反射，则应满足

可见，布鲁斯特角 。
当时，，发生全反射。那么，由

求得临界角 。
显然，只有时才会发生全发射。
当e 和m 均不等时，要使，发生无反射，则由

求得布鲁斯特角 。
当时，，发生全反射。那么，由

求得临界角 。
8-20 当平面波向理想介质边界斜投射时，试证布鲁斯特角与相应的折射角之和为。
证明 考虑到大多数介质的磁导率相同，此时只有平行极化波才可能发生全反射和无反射。已知平行极化波的反射系数为

又由折射定律，对平行极化波而言要使，则，即，解得
，
因，可见

8-21 当平面波自空气向无限大的介质平面斜投射时，若平面波的电场强度振幅为1(V/m)，入射角为60°，介质的电磁参数为，试求对于水平和垂直两种极化平面波形成的反射波及折射波的电场振幅。
解 对于平行极化波，因，可见，故此时发生无反射，即折射波的电场振幅为1(V/m)。
对于垂直极化波

故反射波和折射波的电场振幅均为0.5(V/m)。
8-22 已知天线罩的相对介电常数，为消除频率为3GHz的平面波的反射，试求：①介质层的厚度；②若频率提高10%时产生的最大驻波比。（天线罩两侧的媒质可以当作空气）
解 ①由于，则在天线罩中该平面波的波长为
m
又由于天线罩两侧媒质的波阻抗相等，故其厚度应取半波长的整数倍，即厚度为

式中。
②若频率提高10%，对应的波长为m，则在天线罩中该平面波的波长为m。那么，天线罩表面的输入波阻抗为

式中。
求得
反射系数为
最大驻波比为 。
8-23 当均匀平面波由空气向位于平面的理想导电体表面斜投射时，已知入射波电场强度
(V/m)
试求：①平面波的频率；②入射角；③反射波的电场强度和磁场强度；④空气中的合成场及能流密度矢量。
解 由入射波的电场强度表示式可知

因此 波数：；波长：
频率：；入射角：
入射波的磁场强度为

由于入射方向位于xz平面，电场方向垂直于入射面，因此，入射波为垂直极化波。已知垂直极化波在理想导电体表面上的反射系数，则反射波的电场强度和磁场强度分别为

合成波的电场强度和磁场强度分别为

能流密度矢量
。
8-24 已知区域为理想导电体，区域为空气，若入射波的磁场强度为
(A/m)
试求：①平面波的频率；②入射角；③离开导体表面1m处的合成波电场强度及能流密度。
解 ①由入射波的磁场强度表示式获知
，
可见，，
则频率：
②根据传播方向与分界面的关系，得入射角 。
③入射波的磁场强度可分解为两个分量，即

式中

对应的电场强度为

已知传播方向位于xy平面，因此为平行极化波，它在理想导电体边界上的反射系数，故反射波的电场强度和磁场强度分别为

因为为垂直极化波，它在理想导电体边界上的反射系数，故反射波的电场强度和磁场强度分别为

那么，合成波的电场强度和磁场强度分别为

离开导体表面1m处的合成波电场强度磁场强度分别为

能流密度为

d
习题图8-25
q ¢
q t
q i
8-25 当平面波向位于空气中厚度为d的无限大介质层斜投射时，若介质层的介电常数为e，入射角为，试求介质中以及空气中的折射角。
解 平面波在边界上满足相位匹配条件，即

而由于第一种介质和第三种介质均为
空气，相位常数，可见空气中的折射角，如图8-25所示。
由，求得介质层中折射角为

e r
习题图8-26
1
3
2
8-26 当平面波向等腰直角玻璃
棱镜的底边垂直投射时，如习
题图8-26所示。若玻璃的相对
介电常数，试求反射功率
与入射功率之比。
解 当该平面波进入玻璃棱镜后，在边界2上的入射角为

但是在此边界上发生全反射的临界角为

可见，，因此在边界2上发生全反射。同样在边界3上也将发生全反射，所以到达稳态后，没有能量越过边界2和3。因此，可以认为反射功率等于入射功率。
e r1 m0
d
e r2 m0
e r3 m0
W r
W i
W t
习题图8-27
8-27 已知均匀平面波的频率
，向多层媒质垂直
投射，如习题图8-27所示。
该多层媒质的参数为；
，，，
中间夹层厚度。试求：① 第一媒质中反射功率与入射功率之比，② 第三媒质中透射功率与入射功率之比。
解 ①已知频率，则在媒质2中的波长为

可见，媒质2的厚度恰为半波长。那么，在媒质1与媒质2的边界处的输入波阻抗为

在此边界上的总反射系数为

反射功率与入射功率之比为

②由于媒质2是无耗的，因此根据能量守恒定律，可以推知到达媒质3的透射功率应等于入射功率与反射功率之差，即
。
z
x
y
Eix
Eiy
Erx
Ery
d
习题图8-28
☉
8-28 若在无限大的理想导电体表面涂复一层厚度的理想介质。已知左旋圆极化波的电场振幅为2(V/m)，频率，介质层的，当该圆极化波自空气向该多层媒质表面正投射时，试求离介质表面50cm处的合成波电场强度振幅、磁场强度振幅及能流密度矢量。
解 根据题意，建立的坐标如习题图8-28所示。因频率，则波长，相位常数

所以，左旋圆极化波的电场强度可表示为

磁场强度为
该平面波在介质中的波长为。可见介质厚度。又知媒质3为理想导电体，其波阻抗为零。因此介质表面处(z = -d)的输入波阻抗为

总反射系数为
反射波：，
合成场为

能流密度为
将代入以上各式，得电场强度的振幅为零，磁场强度的振幅为，能流密度矢量为零。
qi
qr
qt
e1 m1
e2 m2
Z
X
E t
E r
E i
习题图8-29
8-29 当右旋圆极化平面波以
入射角自媒质①向媒质②斜
投射时，如习题图8-29所示。
若两种媒质的电磁参数为
，平面波的
频率为300MHz，试求入射波、
反射波及折射波的表示式及其
极化特性。
解 已知平面波的频率，求得
媒质①中的波长，相位常数。
又知入射角为，则媒质①中的传播矢量为

设入射波的电场强度振幅为E0，则右旋圆极化入射波可表示为

那么，该入射波可分解为一个平行极化波和一个垂直极化波，分别表示如下：

其中平行极化波的反射系数和透射系数分别为

垂直极化波的反射系数和透射系数分别为

则反射波的电场强度为

显然，该反射波为左旋椭圆极化波。
根据折射定律，求得折射角为

折射波在媒质②中的波长，相位常数，则折射波的传播矢量为

因此，折射波为

显然，折射波为右旋椭圆极化波。
8-30 已知区域中媒质参数，；区域中，，若第一种媒质中入射波的电场强度为
(V/m)
试求：①平面波的频率；②入射角；③反射波和透射波的磁场强度及其极化特性。
解 ①由入射波的电场强度表示式获知，
，
则频率
②根据入射方向与x轴的关系可知，入射角。
③已知入射面为xy平面，因此入射波电场可分解为一个平行极化波和一个垂直极化波，分别如下：

对于平行极化波，由于，反射系数，，反射波消失。透射系数为

垂直极化波的反射系数和透射系数分别为

因此，反射波的电场强度为

显然，反射波为线极化波，其磁场强度为

其中为媒质1中的波阻抗。
根据折射定律，获知折射角为

又知折射波在媒质②中的波长，相位常数，则折射波的传播矢量为

那么，折射波的电场强度为

显然，折射波为左旋椭圆极化波，其磁场强度为

其中为媒质②中的波阻抗。