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高三模拟题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合E={x∈R|x2﹣2x＞0}，F={x∈R|log2（x+1）＜2}，则（　B　）
A．E∩F=∅ B．E∪F=R C．E⊆F D．F⊆E
2. 已知角θ的顶点在平面直角坐标系xOy原点O，始边为x轴正半轴，终边在直线x﹣2y=0上，则sin2θ=（　A　）
A． B．﹣ C． D．﹣
3. 若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为，则前4项倒数的和为（　D　）
A． B． C．1 D．2
4. 设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（　B　）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5. 函数y=2016x﹣sinx的图象大致是（　C　）
A． B． C． D．
5.解：∵y=2016x﹣sinx，∴y′=2016xln2016﹣cosx，
当x≥0时，y′＞0；故函数y=2016x﹣sinx在[0，+∞）上是增函数，
故排除A，B；
y′=2016xln2016﹣cosx在[﹣1，0]上单调递增，且在[﹣1，0]上先负后正，
故y=2016x﹣sinx在[﹣1，0]上有极小值，而在[﹣1，0]上，y=2016x﹣sinx＞0恒成立；
故排除D；故选C．
6. 一个底面边长为2的正四棱柱截去一部分得到一个几何体，该几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为13，则图中x的值为（　A　）

A．2.5 B．3 C．2 D．1.5
解：根据三视图可知几何体是一个正四棱柱截去一个三棱柱所得的组合体，直观图如图所示：截面是平行四边形ABCD，
∵该几何体的体积为13，正四棱柱的底面边长为2，
∴=13，解得x=2.5，
故选：A．

7. 已知等腰直角△ABC，AB=AC=4，点P，Q分别在边AB，BC上， =0，， =，直线MN经过△ABC的重心，则||=（　C　）
A． B．2 C． D．1
7.解：如图，设△ABC的重心为G，由条件知BC=，△ABC为等腰直角三角形，
∴；
；∴PQ⊥BC，且；
∴PM⊥BC，且Q为PM的中点；
又AG⊥BC；∴AG∥PM；
由得，；
∴A为PN的中点；∴PM=2AG；∴；
△PBQ为等腰直角三角形，∠B=45°，∠PQB=90°；
∴，AB=4；∴；即．
8．等差数列{an}的公差d＜0且，则数列{an}的前n项和sn有最大值，当sn取得最大值时的项数n是（D　　）
A．6 B．7 C．5或6 D．6或7
9. 已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是（　B　）
A． B． C． D．3

10. 关于函数f（x）=|sinx|+|cosx|（x∈R），有如下结论：
①函数f（x）的周期是；②函数f（x）的值域是[0，]；
③函数f（x）的图象关于直线x=对称；④函数f（x）在（，）上递增．
其中正确命题的个数是（　C　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10.解：当2kπ≤x≤2kπ+，k∈Z，f（x）=sinx+cosx=sin（x+），
当2kπ+＜x≤2kπ+π，k∈Z，f（x）=sinx﹣cosx=sin（x﹣），
当2kπ+π＜x≤2kπ+，k∈Z，f（x）=﹣sinx﹣cosx=﹣sin（x+），
当2kπ+＜x≤2kπ+2π，k∈Z，f（x）=﹣sinx+cosx=﹣sin（x﹣），
作出函数f（x）的图象如图：

①函数f（x）的周期是；正确，故①正确，
②函数f（x）的值域是[1，]；故②错误
③函数f（x）的图象关于直线x=对称；正确，故③正确，
④函数f（x）在（，）上递增．正确，故④正确，
故选：C
11．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点， =，直线PF2交双曲线C于另一点N，若|PF1|=2|PF2|，且∠MF2N=120°，则双曲线C的离心率为（B　　）
A． B． C． D．
11.解：由题意，|PF1|=2|PF2|，
由双曲线的定义可得，|PF1|﹣|PF2|=2a，
可得|PF1|=4a，|PF2|=2a，
由四边形PF1MF2为平行四边形，又∠MF2N=120°，可得∠F1PF2=120°，
在三角形PF1F2中，由余弦定理可得4c2=16a2+4a2﹣2•4a•2a•cos120°，
即有4c2=20a2+8a2，即c2=7a2，可得c=a，即e==．故选：B．

12．已知不等式ln（x+1）﹣（a+2）x≤b﹣2恒成立，则的最小值为（　C　）
A．﹣2 B．1﹣2e C．1﹣e D．2﹣
解：令y=ln（x+1）﹣（a+2）x﹣b+2，则y′=﹣（a+2），
a+2＜0，y′＞0，函数递增，无最值．
当a+2＞0时，﹣1＜x＜时，y′＞0，函数递增；
当x＞时，y′＜0，函数递减．
则x=处取得极大值，也为最大值，且为﹣ln（a+2）+a﹣b+3，
∴﹣ln（a+2）+a﹣b+3≤0，∴b﹣3≥﹣ln（a+2）+a，∴≥，
令t=a+2（t＞0），则y=，∴y′=，
∴（0，）上，y′＜0，（，+∞）上，y′＞0，∴t=，ymin=1﹣e．
∴的最小值为1﹣e．故选：C．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分
13. 由直线y=2x及曲线y=3﹣x2围成的封闭图形的面积为　　．
14.若点Q（2a+b，a﹣2b）在不等式组表示的平面区域内，则z=a2+b2的最大值为　　．
解：∵Q（2a+b，a﹣2b）在不等式组表示的平面区域内，
∴，即，
作出不等式组对应的平面区域如图：
z=a2+b2的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，
由图象知A到原点的距离最大，
由得，即A（，），
则z的最大值为z=（）2+（）2=，
故答案为：

15. 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，A为C上一点，若以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B、D，且FB⊥FD，△ABD的面积为，则圆F的方程为　=2　．
解：设l与x轴相交于点M，过点A作AN⊥l，垂足为N，则|AN|=|AF|．
∵F为圆心，FA为半径的圆F交l于B、D，且FB⊥FD，
∴|FM|=|MB|=|MD|，
∴|AF|=|BF|=p，
∴△ABD的面积=|BD||AN|=|BD|•p=×2p×p=，解得p=1．
∴圆F的方程为： =2．
故答案为： =2．

　16．△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosB﹣bcosA=c，则tan（A﹣B）的最大值是　　．
解：∵△ABC中acosB﹣bcosA=c，
∴由正弦定理可得sinAcosB﹣sinBcosA=sinC，
∴2sinAcosB﹣2sinBcosA=sinC=sin（A+B），
∴2sinAcosB﹣2sinBcosA=sinAcosB+cosAsinB，
整理可得sinAcosB=3cosAsinB，∴tanA=3tanB，
由三角形内角的范围易得tanA＞0．tanB＞0，
∴tan（A﹣B）==
=≤=
当且仅当=3tanB即tanB=即B=时tan（A﹣B）取最大值
故答案为：．
三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
17. （本题满分为12分）
在△ABC，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知cosB+（cosA﹣2sinA）cosC=0．
（Ⅰ）求cosC的值；
（Ⅱ）若a=，AB边上的中线CM=，求sinB及△ABC的面积．
17.解：（Ⅰ）因为cosB=﹣cos（A+C）=﹣cosAcosC+sinAsinC，…
又已知cosB+（cosA﹣2sinA）cosC=0，
所以sinAsinC﹣2sinAcosC=0，…
因为sinA≠0，所以sinC﹣2cosC=0，…
于是tanC=2，…
所以．…
（Ⅱ）因为，…
两边平方得b2+2b﹣3=0，解得b=1，…
在△ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC=4，所以c=2，…
由此可知△ABC是直角三角形，故，…
可得：△ABC的面积．…

18. （本题满分为12分）21．已知数列{an}满足a1=，an=2﹣（n≥2），Sn是数列{bn}的前n项和，且有=1+bn．
（1）证明：数列{}为等差数列；
（2）求数列{bn}的通项公式；
（3）设cn=，记数列{cn}的前n项和Tn，求证：Tn＜1．
18.解：（1）证明：∵，
∴，
∴，
即：∴．
∴数列是以为首项，1为公差的等差数列．
（2）当n≥2时，，
，
即：；
∴，
当n=1时，b1=S1=2，∴．
（3）证明：由（1）知：
∴，
∴，
∴．

19．（本题满分为12分）
如图所示的几何体中，ABCD为菱形，ACEF为平行四边形，△BDF为等边三角形，O为AC与BD的交点．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ACEF；
（Ⅱ）若∠DAB=60°，AF=FC，求二面角B﹣EC﹣D的正弦值．

19.证明：（Ⅰ）∵ABCD为菱形，∴BD⊥AC，
∵O为AC与BD的交点，∴O为BD的中点，
又△BDF为等边三角形，∴BD⊥OF，
∵AC⊂平面ACEF，OF⊂平面ACEF，AC∩OF=O，
∴BD⊥平面ACEF．
（Ⅱ）∵AF=FC，O为AC中点，∴AC⊥OF，
∵BD⊥OF，∴OF⊥平面ABCD，
建立空间直角坐标系O﹣xyz，不妨设AB=2，
∵∠DAB=60°，∴B（0，1，0），C（﹣，0，0），
D（0，﹣1，0），A（，0，0），F（0，0，），
∵=，∴E（﹣2，0，），
=（﹣，﹣1，0），=（﹣2，﹣1，），
设=（x，y，z）为平面BEC的法向量，
则，
取x=1，得=（1，﹣，1），
则理求得平面ECD的法向量=（1，，1），
设二面角B﹣EC﹣D的平面角为θ，
则cosθ==，
∴sinθ==，
∴二面角B﹣EC﹣D的正弦值为．

20．（本题满分为12分）已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的离心率e=，椭圆的右焦点F（c，0），椭圆的右顶点为A，上顶点为B，原点到直线AB的距离为．
（I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）判断在x轴上是否存在异于F的一点G，满足过点G且斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C交于M、N两点，P是点M关于x轴的对称点，N、F、P三点共线，若存在，求出点G坐标；若不存在，说明理由．
20.解：（I）由题意可得e==，
直线AB的方程为bx+ay=ab，
由题意可得=，
又a2﹣b2=c2，解得a=，b=c=1，即有椭圆的方程为+y2=1；
（Ⅱ）在x轴上假设存在异于F的一点G，设为（n，0），
设直线l的方程为y=k（x﹣n），代入椭圆方程x2+2y2=2，
可得（1+2k2）x2﹣4nk2x+2k2n2﹣2=0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
可得x1+x2=，x1x2=，
由假设可得P（x1，﹣y1），F（1，0），N（x2，y2）三点共线，可得
kPN=kNF，即=，
由y1=k（x1﹣n），y2=k（x2﹣n），可得
（x1+x2﹣2n）（x2﹣1）=（x2﹣x1）（x2﹣n），
化简为（n+1）（x1+x2）﹣2x1x2﹣2n=0，
即有（n+1）•﹣2•﹣2n=0，
化简可得n=2，
代入判别式可得2k2＜1，故存在异于F的一点G，且为（2，0），
使N、F、P三点共线．

21. （本题满分为12分）已知函数f（x）=+mlnx，g（x）=﹣x，p（x）=mx2．
（1）若函数f（x）与g（x）在公共定义域上具有相同的单调性，求实数m的值；
（2）若函数m（x），m1（x），m2（x）在公共定义域内满足m1（x）＞m（x）＞m2（x）恒成立，则称m（x）为从m1（x）至m2（x）的“过渡函数”；
①在（1）的条件下，探究从f（x）至g（x）是否存在无穷多个“过渡函数”，并说明理由；
②是否存在非零实数m，使得f（x）是从p（x）至g（x）的“过渡函数”．若存在，求出非零实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
21．解：（1）易知f（x）与g（x）的公共定义域为（0，+∞），
且在（0，1）上单调递减，在 （1，+∞）上单调递增，
又，故1+m=0，即m=﹣1；
经检验，当m=﹣1时，f（x）与g（x）的公共定义域上具有相同的单调性，
故所求实数m的值为﹣1．
（2）①，公共定义域为（0，+∞），
令F（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣lnx，x∈（0，+∞），
则，故F（x）在（0，1）上单调递减，在 （1，+∞）上单调递增，
故F（x）min=F（1）=1，故f（x）﹣g（x）≥1，即f（x）≥g（x）+1，
令h（x）=g（x）+t，t∈（0，1），
则f（x）＞h（x）＞g（x）在（0，+∞）上恒成立，
故存在无穷多个从f（x）至g（x）的“过渡函数”．
②假设存在实数m，使得f（x）是从p（x）至g（x）的“过渡函数”，
则在（0，+∞）上恒成立；
令H（x）=f（x）﹣g（x）=mlnx+x，x∈（0，+∞），
则．
（ I）当m＞0时，H'（x）＞0，
故H（x）在（0，+∞）上单调递增，且值域为R，
此时f（x）﹣g（x）＞0不恒成立，故m＞0与假设不符，舍去．
（Π）当m＜0时，令H'（x）=0，解得x=﹣m，
可知H（x）在（0，﹣m）上单调递减，在（﹣m，+∞）上单调递增，
故H（x）min=H（﹣m）=mln（﹣m）﹣m，
依题意，mln（﹣m）﹣m＞0，解得m＞﹣e，
故﹣e＜m＜0，
∴当﹣e＜m＜0时，f（x）＞g（x）在（0，+∞）上恒成立，
令；
因为﹣e＜m＜0，故；
，
令G'（x）=0，故，
易知G'（x）在上单调递增，在上单调递减，
当﹣e＜m＜0时，G'（x）＞0在（0，+∞）上不恒成立，
即p（x）＞f（x）在（0，+∞）上不恒成立．
综上可知，不存在非零实数m，使得f（x）是从p（x）至g（x）的“过渡函数”．

请考生在22、23三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．（本题满分为10分）已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．
（I）求曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程；
（Ⅱ）若直线θ=与曲线C交于点A（不同于原点），与直线l交于点B，求|AB|的值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（I）先将直线参数方程化为普通方程，再根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程；
（II）将分别代入直线l和曲线C的极坐标方程求出A，B到原点的距离，取差得出|AB|．
【解答】解：（I）∵ρ=2cosθ．∴ρ2=2ρcosθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x=0．
∵直线l的参数方程为（t为参数），∴﹣y=4，
∴直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ=4．
（II）将代入曲线C的极坐标方程ρ=2cosθ得ρ=，∴A点的极坐标为（，）．
将θ=代入直线l的极坐标方程得﹣ρ=4，解得ρ=4．∴B点的极坐标为（4，）．
∴|AB|=4﹣=3．

23．（本题满分为10分）设函数f（x）=|x+2|+|x﹣2|，x∈R．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤6的解集；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=a|x﹣1|恰有两个不同的实数根，求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法；根的存在性及根的个数判断．
【分析】（Ⅰ）根据绝对值的意义，求得不等式f（x）≤6的解集．
（Ⅱ）函数f（x）的图象（图中红色部分）与直线 y=a|x﹣1|有2个不同的交点，数形结合可得a的范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=|x+2|+|x﹣2|表示数轴上的x
对应点到﹣2、2对应点的距离之和，
而3和﹣3对应点到﹣2、2对应点的距离之和正好等于6，
故不等式f（x）≤6的解集为{x|x≤﹣2，或x≥2}．
（Ⅱ）∵f（x）=|x+2|+|x﹣2|=，
∴f（x）≥4，
若关于x的方程f（x）=a|x﹣1|恰有两个不同的实数根，
则函数f（x）的图象与直线 y=a|x﹣1|（图中红色部分）
有2个不同的交点，如图所示：
由于A（﹣2，4）、B（2，4）、C（1，0），
∴﹣2＜﹣a＜KCA，或 a＞KCB，即﹣2＜﹣a＜﹣，或a＞4，
求得＜a＜2，或a＞4．