理力答案_第七、八章.docx

7-1 计算图示各系统的动能：
（1）偏心圆盘的质量为m，偏心距OC = e，对质心的回转半径为，绕轴O以角速度转动（图a）。
（2）长为l，质量为m的匀质杆，其端部固结半径为r，质量为m的匀质圆盘。杆绕轴O以角速度转动（图b）。
（3）滑块A沿水平面以速度移动，重块B沿滑块以相对速度下滑，已知滑块A的质量为m1，重块B的质量为m2（图c）。
（4）汽车以速度v0沿平直道路行驶，已知汽车的总质量为M，轮子的质量为m，半径为R，轮子可近似视为匀质圆盘（共有4个轮子）（图d）。

解：
(1)
(2)

(3)

(4)

7-2 一常力矩M作用在绞车的鼓轮上，轮的半径为r，质量为m1。缠在鼓轮上绳索的末端A系一质量为m2的重物，沿着与水平倾斜角为a 的斜面上升，如图所示。重物与斜面间的滑动摩擦系数为。绳索的质量不计，鼓轮可看成为匀质圆柱体，开始时系统静止。求鼓轮转过角时的角速度。

解：为一自由度理想约束系统。取鼓轮、重物及绳索组成的系统为研究对象，受力图如图示。鼓轮转过角时系统的动能为：

重力、摩擦力和力矩M在此有限路程上的功为：

7-3 绞车提升一质量为m的重物P，如图所示。绞车在主动轴上作用一不变的转动力矩M。已知主动轴和从动轴连同安装在这两轴上的齿轮以及其他附属零件的转动惯量分别为J1和J2，传速比z1/z2 = i。吊索缠绕在鼓轮上，鼓轮的半径为R。设轴承的摩擦以及吊索的质量均可略去不计。试求重物的加速度。

解：为一自由度理想约束系统，取整体系统为研究对象。由运动学关系得：

系统的动能为：

作用在系统上的力系的元功为：

由动能定理的微分形式得：

7-4 匀质圆盘A和B的质量均为m，半径均为R。重物C的质量为mC，且知。三角块的质量为M，绳的质量忽略不计。圆盘A在倾斜角为的斜面上作无滑动滚动，三角块D放在光滑平面上，不计铰B及重物C与三角块间的摩擦，求三角块D的加速度。

解：为二自由度系统。取广义坐标x和xr如图示。可用动能定理和动量守恒定理求解。系统的动能为：

由得：

系统在水平方向的动量守恒，即：

联立求解得：

7-5 匀质细杆OA可绕水平轴O转动，另一端有一匀质圆盘，圆盘可绕A在铅直面内自由旋转，如图所示。已知杆OA长l，质量为m1；圆盘半径R，质量为m2。摩擦不计，初始时杆OA水平，杆和圆盘静止。求杆与水平线成q 角的瞬时，杆的角速度和角加速度。

解： 对初状态（）和末状态（），以杆与圆盘为系统，应用动能定理
（1）
而
，

于是

对（1）式求导：

可得：

7-6 图示三棱柱体ABC的质量为m1, 放在光滑的水平面上，可以无摩擦地滑动。质量为m2的均质圆柱体O由静止沿斜面AB向下滚动而不滑动。如斜面的倾角为q ，求三棱柱体的加速度。

x
y

解：取三棱柱体ABC的位移及均质圆柱体O距离A端的相对位移为广义坐标，
参考例7-7直接写出系统的运动微分方程为：

由此可以解得三棱柱体的加速度大小为：

7-7 两根长为l、质量为m的匀质杆AC与CB用铰C相连接，A端为铰支座，B端用铰与一匀质圆盘连接，圆盘半径为r，质量为2m，它在水平面上作无滑动的滚动。当q = 30°时，此系统在重力作用下无初速开始运动，求此瞬时杆AC的角加速度。

mg
mg
G
解：系统具有一个自由度，取q为广义坐标。D点为杆BC的瞬心，故有：

系统中各构件的动能分别为：

由dT = dW得：

初始时刻有：

7-8 系统如图所示。回转半径为ρ，半径为R，重P1的均质滚轮，沿水平轨道作纯滚动，在半径为r的轴颈上绕以刚度系数为k的弹簧。重物重P，通过绕在滚轮上的绳子与滚轮相连。假设不计滑轮O的质量。列写系统运动微分方程。

解：根据题意，先求系统平衡时弹簧的初始伸长，以滚轮为研究对象，

则有，

以平衡位置为坐标原点，设重物P在竖直方向位移为,由质系动能定理，有

化简上式得，

对上式求导得，

化简得，

此即运动微分方程。

7－9均质杆AB质量为m，长度为，在半径为R的圆槽内运动，圆槽质量为M，放置在光滑的水平面上。(1)写出系统在任意位置的动能与势能；(2)列写系统运动微分方程。

x
y

解：1)系统有两个自由度：圆槽中心的位置和均质杆的摆角
系统的动能为：
(1)
其中，均质杆质心的速度
(2)
(2)代入(1)得到系统的动能为：
(3)
以圆槽上表面为势能零点，系统势能为：
(4)
2)系统只受保守力作用，总机械能守恒，从而有：
(5)
系统水平方向受力为零，水平动量守恒，为均质杆的水平速率，则有：
(6)
其中：
(7)
将(6) (7)代入(5)，化简得到：

7－10 如图所示，原长为l0，刚度系数为k的弹簧一端固定，另一端与质量为m的质点相连。初始时弹簧被拉长l0，并给质点一与弹簧轴线相垂直的速度v0。求弹簧恢复原长时，质点速度的大小及与弹簧轴线的夹角。设k=100N/m，l0=50cm，m=5kg，v 0＝1m/s。质点在光滑的水平面内运动。

Vr

解：由机械能守恒可得

由于作用于质点上的力F对点O的力矩始终为0，故质点对点O的动量矩守恒，即：

由此得：

代入能量守恒方程，可得：

故：

7-11 一复摆绕O点转动如图示，O点离开其质心O’的距离为x，问当x为何值时，摆从水平位置无初速地转到铅垂位置时的角速度为最大？并求此最大角速度。

解：假设复摆的转动惯量为，那么在铅垂位置它的动能为

在水平位置的势能为

根据机械能守恒定理，有

所以
所以，当时，可以取到最大值，此时

7-12 长l、重W的三根相同的均质杆用理想铰链连接，在铅垂平面内运动。一质量不计、刚度系数为k的弹簧，一端与BC杆的中点E连接，另一端可沿光滑铅垂直导槽滑动。杆AB和CD与墙垂直时，弹簧不变形。求系统在此瞬时由静止释放时AB杆的角加速度。

解：对本题所述的单自由度系统，以机构向下旋转的角度为广义坐标。可看到，杆AB，CD作同角度的转动，杆BC作平动，整个机构只有重力与弹簧力做功。
对初态（）和末态（），应用质系动能定理有

而
，

于是

上式两边对求导，约去，并令，得到

7-13 均质杆AC、BC各重W，长l，由理想铰链C铰接，在各杆中点连接一刚度系数为k的弹簧，置于光滑水平面上，在铅垂平面内运动如图示。设开始时，，速度为零，弹簧未变形。求当时C点的速度。设。

解：杆AC运动到任意位置时的动能为：
，，
则系统动能为：
弹性势能：
重力做功：
由，代入，，
得当时C点的速度：。

7-14 半径为r的均质圆柱体，初始时静止在台边上，且，受到小扰动后无滑地地滚下。求圆柱体离开水平台时的角度和这时的角速度。

解：由机械能守恒可得：

其中：
圆柱体离开水平台时，由受力分析可得：

由以上两式可得：

7-15一柔软的均质链条，长为l，放在光滑的水平桌面上。开始时链条是直的和静止的，且下垂部分的长度为x0，求链条释放以后在还没有脱离桌面时的速度表达式，以图中下垂部分长度x表示。

解：根据题意，设链条每单位长度的质量为，由质系动能定理，

化简上式，

由上式解出

7-16 一摆由均质的直角弯杆AOB组成，O点为悬挂点，AOB在同一竖直平面内运动。设OB<OA，OB与向下竖直线的夹角为。现将OA杆置于水平位置，然后无初速地释放，求角的最大值。

解：设杆OA 和OB长度分别为，。平衡时，对固定点O取矩：
(1)
其中为均质杆的线密度。
将OA杆置于水平位置，以此水平位置为势能零点，系统动能为零，势能为：
(2)
当杆动能为零时，OB段摆到最高位置，此时角最大。
此时系统势能为：
(3)
系统机械能守恒，有：
(4)
即
(5)
(1) (5)联立得到：

从而，由角度关系，得到：

7-17 图示机构中，物块A、B的质量均为m，两均质圆轮C、D的质量均为2m，半径均为R。C轮铰接于无重悬臂梁CK上，D为动滑轮，梁的长度为3R，绳与轮间无滑动。系统由静止开始运动，求：(1) A物块上升的加速度；(2) HE段绳的拉力；(3) 固定端K处的约束反力。

解：(1). 求A物块上升的加速度
为一自由度理想约束系统，取整体系统为研究对象。由运动学关系得：
，
(G点为轮D的瞬心)
，
力系的元功为：

系统的动能为：

(2). 求HE段绳的拉力
取如图所示的系统为研究对象：

由对定点C的动量矩定理得：

(3). 求固定端K处的约束反力
取如图所示的系统为研究对象，加惯性力：

7-18 图示均质杆OA，杆长为l，质量为m，在常力偶的作用下在水平面内从静止开始绕z轴转动，设力偶矩为M。求：(1) 经过时间t后系统的动量、对z轴的动量矩和动能的变化；(2) 轴承的动反力。

解：(1) 求经过时间t后系统的动量、对z轴的动量矩和动能的变化

由系统对z轴的动量矩定理得：

将上式从0到t对时间积分得：

(2) 求轴承的动反力

建立固结与OA上的动坐标系oxyz。杆作定轴转动，将惯性力系向O点简化，如图示。

由以上两式得：

7-19 均质杆OA长l，质量为m，弹簧刚度系数为k，弹簧原长为l，系统由图示位置无初速释放，求杆运动至水平位置时，(1)杆OA的角速度；(2)铰O的约束力。

解：
（1） 由机械能守恒可得：

其中：
所以：

（2） 由受力分析可得：
X方向：

Y方向：

解得：

7-20 均质杆AB的长为2a，质量为2m，均质杆BC的长为2b，质量为m，B为光滑铰链，且∠ABC＝90°，两杆静止地放在光滑水平面上。今在A端沿BC方向作用一冲量S，证明系统受打击后的动能为5S 2/6m。

证明：系统受S打击瞬间，对BC杆，由于B端为铰链，故仅受竖直方向冲量，即BC受打击后作竖直方向平动，则AB杆也仅受竖直方向冲量，其受打击后质心速度也沿竖直方向。设AB杆质心速度为v1，角速度为ω，BC杆质心速度为v2，AB杆瞬心为点D，其与质心的距离为x，对点D的动量矩为 JD
由动量定理，对ABC杆

由动量矩定理，对ABC杆

其中

由 可得
代入动量矩方程可得

再代入 得

则系统受打击后瞬时动能为

证毕

8-1 质量为M的滑块可在圆盘上的光滑直槽内滑动，圆盘以匀角速度在水平面内转动。当圆盘静止时，滑块位于圆心O处，弹簧无初变形，两弹簧总的当量刚度为。试用拉格朗日方程导出此系统的运动微分方程，并求滑块振动的周期和使滑块能保持振动的最大角速度。

解：系统具有一个自由度，取为广义坐标。

由拉氏方程得：

为使滑块能保持振动，必须要有
即，

8-2 图示导杆机构带动单摆的支点O按已知规律作水平直线运动，试用拉格朗日方程导出质点m的运动微分方程。不计杆的质量和摩擦。

解：系统具有一个自由度，取为广义坐标。小球的坐标为：

系统的动能为：

系统的势能为：

由拉氏方程得：

8-3 图示瓦特调速器的两飞球质量各为，OA、OB、AC、BC杆长均为l，质量均略去不计，套管C的质量为M。试由拉格朗日方程导出此系统的运动微分方程，并求其循环积分和能量积分。

解：系统具有两个自由度，取和为广义坐标。

(1)

(2)
拉氏函数中不显含广义坐标，故有循环积分：

拉氏函数中不显含时间t ，故有广义能量积分：

8-4 两匀质圆柱A和B，重各为P1和P2。圆柱间绕以绳索，其轴水平放置，圆柱A可绕定轴O1转动，圆柱B则在重力作用下自由下落。不计绳索的质量，试用拉格朗日方程导出系统的运动微分方程。

解：系统具有两个自由度，取和为广义坐标。

代入拉氏方程得：

整理得：

O

W2
W1

8-5 重W1的物块A在倾角的斜面上滑动，块A与一刚度系数为k的弹簧相连，重W2、长l的均质杆AB之一端铰接在块A上，如图所示。不计摩擦，试列写系统的运动微分方程。

解：主动力均有势，广义坐标：,，如图所示。设静平衡状态时A所在位置为轴原点，所在水平面为零势能面。

s为平衡位置时弹簧的伸长量，有。

代入拉氏方程，得：

（1）
又：

代入拉氏方程，得：
（2）
式（1）、（2）即为该系统的运动微分方程。

A
x
y

r
m
O

R
8-6 如图所示，质量为m、半径为R的均质圆轮绕O以等角速度做定轴转动，轮上A点用刚度系数为k的弹簧连接一质量为m的质点，弹簧不计重量，整个系统处于光滑的水平面上。试用拉格朗日方程列写其运动微分方程。
解：系统具有两个自由度，取弹簧长度和与轴的夹角为广义坐标。则小球的坐标可写为：

故小球的速度：
(1)
系统的动能为：

设弹簧原长为，则系统的势能为：

拉格朗日函数。

将以上各式代入拉氏方程，整理得：

以上两式即为系统运动微分方程。

8-7 质量为m的质点用绳系住，绳的另一端挂在固定圆柱体的最高点A，并绕在圆柱体上，如图所示。绳长等于为圆柱体的半径。试导出质点的运动微分方程。

解：系统具有一个自由度，取为广义坐标。
系统的动能：

势能：

拉格朗日函数：

代入拉格朗日方程得质点的运动微分方程为：

8-8 圆柱A用绳子缠绕，此绳的另一头又缠在与圆柱C相固联的圆柱B上，在圆柱C上也缠有绳子，此绳的末端固结在D点，如图所示。圆柱C的半径为R，它与圆柱B一起的回转半径等于R/2；圆柱B的半径等于R/2。圆柱A是与B半径相等的薄壁圆柱，其质量为圆柱B和C的总质量的一半。整个系统自由运动，试求两圆柱轴心的绝对加速度。

解：如图，定义广义坐标：，
圆柱BC的动能：

求圆柱A的角速度：

因此：
圆柱A的动能：

系统总动能为：
系统总势能为：
拉格朗日函数：

由拉格朗日方程解得：

8-9 图示两根长为、质量为的均质杆，用弹簧系数为的弹簧在中点相连。设弹簧原长为，两根杆只允许在铅直面内摆动，试列出其运动微分方程。如，，求微振动运动微分方程。

解：根据题意，

以两杆都在竖直位置时为零势点，

其中，
则，

分别计算得：

系统微动时， ，
则系统运动微分方程为

解上述微分方程组，可得：

其中， ，

8-10 图示行星轮系由3个均质圆轮组成，，，曲柄不计重量，系统处于水平面内，设轮I以等角速转动。今在曲柄上作用常力偶M，方向如图。试列写系统的运动微分方程。

解：系统具有一个自由度，取曲柄转过的角度为广义坐标。系统动能为：
（1）
其中：
，
，
在曲柄上建立动系，则，

所以轮II和轮III的绝对角速度为：

将以上各式代入（1）式，得：

主动力为无势力，故，。

代入拉氏方程，得：

8-11 一不计质量、水平放置的轻杆两端固结质量分别为m1和m2的质点，杆中点A与圆盘边缘相铰接，圆盘绕铅垂轴以ω作匀角速转动。设圆盘半径为R。试以ψ为广义坐标建立系统的运动微分方程。

解：系统有一自由度：与轴正向的夹角
A点的速度为：
(1)
质点和的速度分别为：

(2)
系统的动能为：

(3)
系统势能为零，代入拉格朗日方程得到：
(4)
即系统的运动微分方程为：
(5)

8-12 质量为m1的物块1放在光滑水平面上，一端与水平放置、刚度系数为k的弹簧相连，一端作用一水平力F＝F0cosωt。在半径为R、表面足够粗糙的半圆柱槽内放一半径为r、质量为m2的小球2。试建立系统的运动微分方程。

解：取，为广义坐标，小球在圆弧内作纯滚动，其质心的速度为 ，
其中vr =，ve =，
则物块1、小球2的动能、势能分别为

故系统拉格朗日函数为

系统拉格朗日方程为
，
代入拉格朗日函数得

此即系统运动微分方程。

8-13 质量为m、半径为3R的大圆环在粗糙的水平面上作纯滚动，如图所示。另一质量也为m、半径为R的小圆环又在粗糙的大圆环内壁作纯滚动。不计滚动摩阻，整个系统处于铅垂面内。初始时，O1O2在水平线上，被无初速释放。试列写系统的运动微分方程与相应的首次积分。

解：系统有二个自由度，可以大环滚动的转角和连线的转角为广义坐标，根据实际情况，二者都以顺时针转为正值。
在求系统动能时还要用小环的角速度，因此还要求出小环的转角，根据实际情况，此角以反时针转为正值。
计算系统的势能和动能。如以为零势点，只需考虑小环的重力势能。

系统的动能由两部分合成

其中 ，，
所以，

又 ，

建立拉氏方程

，

，
代入拉氏方程，得：

简化得：
（1）
（2）
如以、的余角、为广义坐标，则有：
，
，，
，
以这些关系代入（1）、（2），并各乘以（-1）得：

求此拉氏方程的首次积分
拉氏函数：L=T-V

拉氏方程改写为：

因L中不显含，即，由得：
积分得：，
即：

8-14 图示机构在铅垂平面内。均质圆盘A的半径，质量，可绕A点转动。均质圆盘B的半径为，质量为，可在圆盘A的边缘上作纯滚动。均质杆AB的质量也为，所有铰链约速均为理想约束。试写出系统的运动微分方程，并求其首次积分。

解：系统有两个自由度，取杆AB的转角和圆盘A的转角为广义坐标。
系统的动能为：
(1)
其中，。取杆AB为动系，即，则有：

所以。又有：

代入(1)式，得：

以处为零势能面，则系统的势能为：

，
，
将以上各式代入拉氏方程，得：

即为系统得运动微分方程。
系统的所有主动力都为有势力，且拉格朗日函数不显含，所以有循环积分：

又拉格朗日函数不显含时间t，所以有广义能量积分：

即。

8-15 图示均质圆盘A在板B上作纯滚动，板与水平面为光滑接触。圆盘中心安装一单摆C，绳长，质量不计。若，开始时系统无初速，，求单摆自位置无初速地运动至铅垂位置时单摆C的速度。

解：系统水平方向动量守恒，且初始静止，故：
（1）
由动能定理：
（2）
令圆盘与板之间的摩擦力为，则：
对圆盘：，积分得：
对板：
有上两式解得：
代入(1)(2)两式可得：

8-16 一均质杆AB，长度为2a，质量为M，两端约束在一半径为R的光滑水平圆周上()。质量为的甲虫以不变的相对速度沿杆运动，初始时甲虫在杆的中点。设杆与某一固定直径的夹角为，求杆AB的运动规律。

解：取角为广义坐标，系统动能为
杆AB的动能：

甲虫的绝对速度：（设）

则甲虫的动能为：

所以系统动能为：
系统势能：取水平面为零势面，
拉格朗日函数为：
因此：

积分得：

式中，是积分常数，由初始条件决定。

8-17质量均为m、长度均为l的两根相同的均质杆铰接后成直线静止放在光滑的桌面上，并以铰链A固接于桌面。小球D以垂直于杆的速度v与BC杆的E点发生碰撞，恢复系数e = 0.5。设小球D的质量为m/2。求碰撞后杆AB和BC的角速度。

解：根据题意，设AB质心、BC质心和E点的速度分别为、、，并设碰撞后两杆角速度分别为、，则有，

设小球碰撞后的速度为，则由恢复系数的定义知

设碰撞过程中冲量大小为，则对小球而言

系统广义坐标为，对应的广义冲量为

由于 ，

代入书P215（8－20）式，得

联立以上各式，可解得，

8-18 一边长为10 cm的正方形平板重10 N，在距AB杆10 cm的高度水平掉下，平板一端点与杆B端发生碰撞，恢复系数e = 0.7。设AB杆重20 N，可绕其中点转动。求碰撞后杆AB的角速度。

解：建立如图所示坐标系，在碰撞过程中，正方形平板的质心C不会产生水平方向的位移。取平板质心C在竖直方向的位移、转角以及AB的转角为广义坐标。碰撞前E点的速度为m/s，即m/s，。
系统的动能为：

广义冲量为：

代入碰撞问题的拉氏方程，得：
(1)
(2)
(3)
以上三个方程有四个未知量，需补充方程。设碰撞后E点的速度为，B点的速度为,则有：

又有，代入上式可得：
(4)
联立(1)~(4)式解得：
(rad/s)

8-19 3根等长度的均质杆AB，BC，CD，铰接成正方形的三边，放在光滑水平面上，A端固定。今在D点沿着方向作用一冲量，证明3根杆的初始角速度大小之比为1：0：11。

证明：系统有三个自由度：AB，BC，CD杆的转角，三个杆的角速度分别为：，三个杆质心的速度为：

(1)
系统的动能为：

(2)
广义冲量为：，，
代入式(8-20)得

(4)
解得

即证

8-20 4根相同的均质杆，端点铰接而成一个正方形框架。初始时它们在自身平面内绕正方形
v2
θ
φ
vA
vB
vD
v4
vC
v3
x
y

中心以常角速度转动。今突然摁住其中一根杆的中点C，求各杆的角速度。

解：由于四根铰接杆始终保持菱形，对边角速度必相等，故可取1，3杆转角及2，4杆转角为广义坐标。突然摁住点C相当于在C点施加一个约束，其广义冲量为0。
对于刚摁住点C的△t时间间隔，由拉格朗日方程积分可得
i = 1,2
系统初始动能为

其中
△t后，系统动能为

其中

，
， ，
，
故

代入拉格朗日方程积分式得

得