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2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）
A. B.
C. D.
2．若命题“”是命题“”的充分不必要条件，则的取值范围是（）
A. B.
C. D.
3．化为弧度是（）
A. B.
C. D.
4．若曲线上所有点都在轴上方，则的取值范围是
A. B.
C. D.
5．已知两个正实数，满足，则的最小值是（ ）
A. B.
C.8 D.3
6．函数的定义域为（）
A.（0，2] B.[0，2]
C.[0，2） D.（0，2）
7．的弧度数是（ ）
A. B.
C. D.
8．如图，已知，，共线，且向量，则（）
A. B.
C. D.
9．已知，，则a，b，c的大小关系为
A. B.
C. D.
10．函数（且）与函数在同一坐标系内的图象可能是（）
A. B.
C. D.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11．已知单位向量与的夹角为,向量的夹角为 ,则cos=_______
12．若函数，，则_________；当时，方程的所有实数根的和为__________.
13．写出一个同时满足以下条件的函数___________；①是周期函数；②最大值为3，最小值为；③在上单调
14．直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，则__________
15．已知，则__________.
16．设奇函数对任意的，，有，且，则的解集___________.
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．已知函数是偶函数.
（1）求k的值；
（2）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围.
18．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m2，三月底测得覆盖面积为36m2，凤眼莲覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择
（1）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
（2）求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份
（参考数据：lg2≈03010，lg3≈0.4771）
19．（1）求函数的单调递增区间；
（2）求函数的单调递减区间.
20．已知函数
（1）试判断函数的奇偶性并证明；
21．（1）当取什么值时，不等式对一切实数都成立？
（2）解关于的方程：.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1、C
【解析】根据异面直线所成角的定义，找到与直线平行并且和相交的直线，即可找到异面直线所成的角，解三角形可求得结果.
【详解】连接如下图所示，
分别是棱和棱的中点，
，
正方体中可知，
是异面直线所成的角，
为等边三角形，
.
故选：C.
【点睛】此题是个基础题，考查异面直线所成的角，以及解决异面直线所成的角的方法（平移法）的应用，体现了转化的思想和数形结合的思想.
2、C
【解析】解不等式得，进而根据题意得集合是集合的真子集，再根据集合关系求解即可.
【详解】解：解不等式得，
因为命题“”是命题“”的充分不必要条件，
所以集合是集合的真子集，
所以
故选：C
3、D
【解析】根据角度制与弧度制的互化公式，正确运算，即可求解.
【详解】根据角度制与弧度制的互化公式，可得.
故选：D.
4、C
【解析】曲线化标准形式为：
圆心，半径，
，即，∴
故选C
5、A
【解析】根据题中条件，得到，展开后根据基本不等式，即可得出结果.
【详解】因为正实数满足，
则，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
6、A
【解析】根据对数函数的定义域，结合二次根式的性质进行求解即可.
【详解】由题意可知：，
故选：A
7、C
【解析】弧度，弧度，则弧度弧度，故选C.
8、D
【解析】由已知得，再利用向量的线性可得选项.
【详解】因为，，，三点共线，所以，
所以.
故选：D.
9、D
【解析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出
【详解】解：，，
又，
故选D
【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
10、C
【解析】分，两种情况进行讨论，结合指数函数的单调性和抛物线的开口方向和对称轴选出正确答案.
【详解】解：当时，增函数，开口向上，对称轴，
排除B,D；当时，为减函数，开口向下，
对称轴，排除A,
故选:C.
【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、
【解析】根据题意，由向量的数量积计算公式可得•、||、||的值，结合向量夹角计算公式计算可
得答案
【详解】根据题意，单位向量，的夹角为，则•1×1×cos，
32，3，
则•（32）•（3）＝92+22﹣9•，
||2＝（32）2＝92+42﹣12•7，则||，
||2＝（3）2＝922﹣6•7，则||，
故cosβ.
故答案为
【点睛】本题主要考查向量的数量积的运算和向量的夹角的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
12、 ①.0 ②.4
【解析】直接计算，可以判断的图象和的图象都关于点中心对称，所以所以两个函数图象的交点都关于点对称，数形结合即可求解.
【详解】因为，
所以，
分别作出函数与的图象，
图象的对称中心为，
令，可得，当时，，
所以的对称中心为，
所以两个函数图象的交点都关于点对称，
当时，两个函数图象有个交点，
设个交点的横坐标分别为，，，，且，
则，，所以，
所以方程的所有实数根的和为，
故答案为：，
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是判断出的图象和的图象都关于点中心对称，作出函数图象可知两个函数图象有个交点，设个交点的横坐标分别为，，，，且，则和关于中心对称，和关于中心对称，所以，，即可求解.
13、(答案不唯一)
【解析】根据余弦函数的性质，构造满足题意的函数，由此即可得到结果.
详解】由题意可知，，
因为的周期为，满足条件①；
又，所以，满足条件②；
由于函数在区间上单调递减，所以区间上单调递减，故满足条件③.
故答案为：.
14、
【解析】，所以，，故．填
15、3
【解析】由同角三角函数商数关系及已知等式可得，应用诱导公式有，即可求值.
【详解】由题设，，可得，
∴.
故答案为：3
16、
【解析】可根据函数的单调性和奇偶性，结合和，分析出的正负情况，求解.
【详解】对任意，，有
故在上为减函数，由奇函数的对称性可知在上为减函数
，则
则，
，
，；
，；
，；
，.
故解集为：
故答案为：
【点睛】正确理解奇函数和偶函数的定义，必须把握好两个问题：(1)定义域关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要非充分条件；(2)f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17、（1）；（2）.
【解析】（1）根据偶函数得到，化简得到，解得答案.
（2）化简得方程，设得到有且仅有一个正根，考虑和两种情况，计算得到答案.
【详解】（1）由函数是偶函数可知：，∴，
，即对一切恒成立，∴.
（2）函数与的图象有且只有一个公共点，
即方程有且只有一个实根.
化简得：方程有且只有一个实根.
令，则方程有且只有一个正根，
当时，，不合题意；
当且，解得或.
若，，不合题意；若，满足；
当且时，即或且，故；
综上，实数a的取值范围是.
【点睛】本题考查了根据函数的奇偶性求参数，函数公共交点问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，换元是解题关键.
18、（1）选择较为合适；
（2）6月
【解析】（1）根据指数函数和幂函数的性质可得合适的函数的模型.
（2）根据选择的函数模型可求最小月份.
小问1详解】
指数函数随着自变量的增大其函数的增长速度越大，幂函数随着自变量的增大其函数的增长速度越小，因为凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故选择较为合适.
故，故，.
所以.
【小问2详解】
由（1），放入面积为，令，
则，
故凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份为6月.
19、（1）（2）
【解析】（1）直接由求解即可，
（2）由求出函数的单调减区间，再与求交集即可
【详解】（1）由，得
，
所以函数增区间为，
（2）由，得
，
所以函数上的增区间为，
20、（1）为奇函数；证明见解析；
（2）.
【解析】（1）利用奇函数的定义即证；
（2）由题可得当时，为增函数，法一利用对勾函数的性质可得，即求；法二利用函数单调性的定义可得成立，即求.
【小问1详解】
当时，，则，
当；
当时，，满足；
当时，，则，
，
所以对，均有，即函数为奇函数；
【小问2详解】
∵函数为R上的奇函数，且，，，
所以函数在上为增函数，则在定义域内为增函数，
解法一：因函数为奇函数，且在定义域内为增函数，
则当时，为增函数
当时，
因为，只需要，则；
解法二：因为函数为奇函数，且在定义域内为增函数，
则当时，为增函数
设对于任意，且，
则有
因为，则，又因为，则，
欲使当时，为增函数，则，所以，
当时，；；，
所以，为R上增函数时，
21、（1）；（2）.
【解析】（1）分，两种情况讨论，利用判别式控制，即得解；
（2）利用对数的定义，求解即可
【详解】（1）当时，，明显满足条件.
当时，由“不等式对一切实数都成立”
可知且
解得
综上可得
（2）由对数定义可得：
所以
所以
所以
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