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2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1．轴截面是正三角形的圆锥称作等边圆锥,则等边圆锥的侧面积是底面积的
A.4倍 B.3倍
C. 倍 D.2倍
2．函数的定义域是（ ）
A. B.
C. D.
3．已知函数则函数的最大值是
A.4 B.3
C.5 D.
4．已知是偶函数，且在上是减函数，又，则的解集为（）
A. B.
C. D.
5．已知，则（）
A.-4 B.4
C. D.
6．一个几何体的三视图如图所示，则几何体的体积是（ ）
A. B.
C. D.2
7．设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
8．下列各式不正确的是（ ）
A.sin(α+)=－sinα B.cos(α+)=－sinα
C.sin(－α－2)=－sinα D.cos(α－)=sinα
9．如图，向量，，的起点与终点均在正方形网格的格点上，若，则（）
A. B.
C.2 D.4
10．已知A(－4,2,3)关于xOz平面的对称点为，关于z轴的对称点为，则等于( )
A.8 B.12
C.16 D.19
11．若，，，则，，的大小关系是（）
A. B.
C. D.
12．和函数是同一函数的是（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13．若将函数的图像向左平移个单位后所得图像关于轴对称，则的最小值为___________.
14．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
f(1.600 0)≈0.200
f(1.587 5)≈0.133
f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003
f(1.556 2)≈－0.029
f(1.550 0)≈－0.060
据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________(精确到0.01)
15．已知上的奇函数是增函数，若，则的取值范围是________
16．已知函数，若方程有4个不同的实数根，则的取值范围是____
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17．若函数自变量的取值区间为时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“罗尔区间”.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求的解析式；
（2）求函数在内的“罗尔区间”；
（3）若以函数在定义域所有“罗尔区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数，使集合恰含有2个元素.若存在，求出实数的取值集合；若不存在，说明理由.
18．已知函数，其中
(1)求函数的定义域；
(2)判断的奇偶性，并说明理由；
(3)若，求使成立的的集合
19．如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长2的正方形，E，F分别为线段DD1，BD的中点
（1）求证：EF∥平面ABD1；
（2）AA1=，求异面直线EF与BC所成角的正弦值
20．（1）计算：；
（2）已知，，求，的值.
21．已知函数，若同时满足以下条件：
①在D上单调递减或单调递增；
②存在区间，使在上的值域是，那么称为闭函数
（1）求闭函数符合条件②的区间 ；
（2）判断函数是不是闭函数？若是请找出区间；若不是请说明理由；
（3）若是闭函数，求实数的取值范围
22．设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合.
（1）若，求实数的取值范围;
（2）若，求实数的取值范围.
参考答案
一、选择题（本大题共12 小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）
1、D
【解析】由题意，求出圆锥的底面面积，侧面面积，即可得到比值
【详解】圆锥的轴截面是正三角形，设底面半径为r，则它的底面积为πr2；
圆锥的侧面积为：2rπ•2r＝2πr2；
圆锥的侧面积是底面积的2倍
故选D
【点睛】本题是基础题，考查圆锥的特征，底面面积，侧面积的求法，考查计算能力
2、D
【解析】由函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，由此可求得原函数的定义域.
【详解】函数有意义，只需且，解得且
因此，函数的定义域为.
故选：D.
3、B
【解析】，从而当时，∴的最大值是
考点：与三角函数有关的最值问题
4、B
【解析】根据题意推得函数在上是增函数，结合，确定函数值的正负情况，进而求得答案.
【详解】是偶函数，且在上是减函数，又，
则，且在上是增函数，
故时，，时，，
故的解集是，
故选：B.
5、C
【解析】已知，可得，根据两角差的正切公式计算即可得出结果.
【详解】已知，则，
.
故选：C.
6、B
【解析】由三视图可知此几何体是由一个长为2，宽为，高为的长方体过三个顶点切去一角的空间多面体，如图所示，则其体积为.故正确答案选B.
考点：1.三视图；2.简单组合体体积.
7、A
【解析】先计算得到，，再利用
展开得到答案.
详解】，，；
，；
故选：
【点睛】本题考查了三角函数值的计算，变换是解题的关键.
8、B
【解析】将视为锐角，根据“奇变偶不变，符号看象限”得出答案.
【详解】将视为锐角，
∵在第三象限，正弦为负值，且是的2倍为偶数，不改变三角函数的名称，∴，A正确；
∵在第四象限，余弦为正值，且是的3倍为奇数数，要改变三角函数的名称，∴，B错误；
∵，在第四象限，正弦为负值，且0是的0倍为偶数，不改变三角函数的名称，∴，C正确；
∵在第四象限，余弦为正值，且是的1倍为奇数，要改变三角函数的名称，∴，D正确.
故选：B.
9、D
【解析】根据图象求得正确答案.
【详解】由图象可知.
故选：D
10、A
【解析】由题可知
∴
故选A
11、A
【解析】根据指数函数、对数函数的单调性，结合题意，即可得x，y，z的大小关系，即可得答案.
【详解】因为在上为单调递增函数，且，
所以，即，
因为在R上为单调递增函数，且，
所以，即，
又，
所以.
故选：A
12、D
【解析】根据相同的函数定义域，对应法则，值域都相同可知ABC不符合要求，D满足.
【详解】的定义域为，值域为，
对于A，与的对应法则不同，故不是同一个函数；
对于B，的值域为，故不是同一个函数；
对于C，的定义域为，故不是同一个函数；
对于D, ，故与是同一个函数.
故选：D
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）
13、
【解析】利用辅助角公式将函数化简，再根据三角函数的平移变换及余弦函数的性质计算可得；
【详解】解：因，
将的图像向左平移个单位，得到，
又关于轴对称，
所以，，所以，
所以当时取最小值；
故答案为：
14、56
【解析】注意到f(1.5562)＝－0.029和f(1.5625)＝0.003，显然f(1.5562)f(1.5625)＜0，故区间的端点四舍五入可得1.56.
15、
【解析】先通过函数为奇函数将原式变形，进而根据函数为增函数求得答案.
【详解】因为函数为奇函数，所以，而函数在R上为增函数，则.
故答案为：.
16、
【解析】先画出函数的图象，把方程有4个不同的实数根转化为函数的图象与有四个不同的交点，结合对数函数和二次函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，函数，要先画出函数的图象，如图所示，
又由方程有4个不同的实数根，
即函数的图象与有四个不同的交点，
可得，且，
则=，
因为，则，所以.
故答案为.
【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中把方程有4个不同的实数根，转化为两个函数的有四个交点，结合对数函数与二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17、（1）；（2）；（3）存在，.
【解析】（1）根据为上的奇函数，得到，再由时，，设时，则代入求解.
（2）设，易知在上单调递减，则，则，是方程的两个不等正根求解
（3）设为的一个“罗尔区间”，且，同号，若，由（2）可得，若，同理可求，得到，再根据集合恰含有2个元素，转化为与的图象有两个交点，即方程在内恰有一个实数根，方程，在内恰有一个实数根求解..
【详解】（1）因为为上的奇函数，∴，
又当时，，
所以当时，，
所以,
所以.
（2）设，∵在上单调递减，
∴，即，是方程的两个不等正根，
∵，
∴，
∴在内的“罗尔区间”为.
（3）设为的一个“罗尔区间”，则，∴，同号.
当时，同理可求在内的“罗尔区间”为，
∴，
依题意，抛物线与函数的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限，
所以应当使方程在内恰有一个实数根，
且使方程，在内恰有一个实数根，
由方程，即在内恰有一根，
令，则，解得；
由方程，即在内恰有一根，
令，则，解得.
综上可知，实数的取值集合为.
【点睛】关键点点睛：本题关键是对“罗尔区间”的理解，特别是根据在上单调递减，得到，转化为，是方程的两个不等正根求解
18、（1）（2）奇函数（3）
【解析】(本小题满分14分)
(1)由，得
∴函数的定义域为.…………………4分
（2）函数的定义域为关于原点对称，
∵
∴是奇函数．……………………………………………………………8分
(3)由，得.…10分
∴，
由得，
∴…………………12分
得，解得.
∴使成立的的集合是．……………………………………14分
19、（1）证明过程详见解析（2）
【解析】(1)先证明EF∥D1B，即证EF∥平面ABD1.(2)先证明∠D1BC是异面直线EF与BC所成的角（或所成角的补角），再解三角形求其正弦值.
【详解】（1）证明：连结BD1，
在△DD1B中，E、F分别是D1D、DB的中点，
∴EF是△DD1B的中位线，
∴EF∥D1B，∵D1B⊂平面ABC1D1，EF平面ABD1，
∴EF∥平面ABD1
（2）∵AA1=，AB=2，EF∥BD1，
∴∠D1BC是异面直线EF与BC所成的角（或所成角的补角），
在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BC⊥平面CDD1C1，CD1⊄平面CDD1C1，
∴BC⊥CD1．在Rt△D1C1C中，BC=2，CD1=，D1C⊥BC，
∴sin∠D1BC=，
【点睛】本题主要考查空间直线平面位置关系的证明和异面直线所成角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
20、（1）；（2）
【解析】（1）根据指数运算与对数运算的法则计算即可；
（2）先根据指对数运算得，进而，再将其转化为求解即可.
【详解】解：（1）原式＝
＝
（2）
∴，，化为：，
，解得
∴
21、（1），；（2）见解析；（3）
【解析】（1）由在R上单减，列出方程组，即可求的值；
（2）由函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增可知 即，结合对数函数的单调性可判断
（3）易知在[﹣2，+∞）上单调递增．设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组 有解，方程至少有两个不同的解，即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根．结合二次方程的实根分布可求k的范围
【详解】解：（1）∵在R上单减，所以区间[a，b]满足，
解得a=﹣1，b=1
（2）∵函数y=2x+lgx在（0，+∞）单调递增
假设存在满足条件的区间[a，b]，a＜b，则，即
∴lgx=﹣x在（0，+∞）有两个不同的实数根，但是结合对数函数的单调性可知，y=lgx与y=﹣x只有一个交点
故不存在满足条件的区间[a，b]，函数y=2x+lgx是不是闭函数
（3）易知在[﹣2，+∞）上单调递增
设满足条件B的区间为[a，b]，则方程组有解，方程至少有两个不同的解
即方程x2﹣（2k+1）x+k2﹣2=0有两个都不小于k的不根
∴ 得，即所求
【点睛】本题主要考查了函数的单调性的综合应用，函数与方程的综合应用问题，其中解答中根据函数与方程的交点相互转化关系，合理转化为二次函数的图象与性质的应用是解答的关键，着重考查了函数知识及数形结合思想的应用，以及转化思想的应用，试题有较强的综合性，属于难题.
22、（1）
（2）
【解析】（1）首先分别求解两个函数的定义域，根据集合包含关系，列不等式求解的取值范围；
（2）根据，得，求的取值范围.
【小问1详解】
解：由题知，
，解得：，
若，则，即，
实数的取值范围是.
【小问2详解】
解：若，则，即，
实数的取值范围是.
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