教材例题画法几何(课堂PPT).ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,例,2-1,：已知点,A,的水平投影,a,和正面投影,a,，求其侧面投影,a,”,，如图,2,9(a),所示。,分析：由点的投影规律得知，点的正面投影与侧面投影的连线垂直于,OZ,轴，故,a,”,必在过,a,所作的,OZ,轴的垂线（,OX,轴的平行线）上。又知点的侧面投影到,OZ,轴的距离等于水平投影到,OX,轴的距离，即,a,”,a,z,=aa,x,。因此，只要在过,a,对,OZ,轴所作的垂线上截取,a,z,a,”,aa,x,，即可得,a,”,。,1,例,2-2,：已知点,B,的正面投影,b,和侧面投影,b,”,，求其水平投影,b,，如图,2,10,（,a,）所示。,2,例,2,3,：已知点,A,的坐标为（,20,、,10,、,15,），求作点,A,的三面投影,a,、,a,和,a,”,。,分析：从点,A,的三个坐标值可知，点,A,到,W,面的距离为,20,，到,V,面的距离为,10,倒,H,面的距离为,15,。根据点的投影规律和点的三面投影与其,3,个坐标的关系，即可求得点,A,的,3,个投影。,3,例,2,4,：在图,2,13,（,a,）所给出的三投影面体系中，画出点,A,（,20,，,12,，,15,）的三面投影及点,A,的空间位置。,4,例,2-5,：过点,A,向右上方作一正平线,AB,，使其实长为,25,，与,H,面的倾角,=300,，如图,2-19,（,a,）所示。,分析：由正平线的投影特性可知，正平线的正面投影反映实长，它与,OX,轴的夹角反映直线对,H,面的倾角,，故本题只有一个解。,5,例,2-6,：已知直线,AB,的正面投影,a,b,和点,A,的水平投影,a,，并知,AB=25,，求,AB,的水平投影,ab,及,AB,对,V,面的倾角,，如图,2-23(a),所示。,分析：由点的投影规律可知，,b,应在过,b,所作的,OX,轴的垂线上，因此只要求出,AB,两点的,y,坐标差，即可确定,b,。根据直角三角形法的原理，以,a,b,为一直角边。以,25,为斜边作一直角三角形，它的另一直角边即为,AB,两点的,y,坐标差，,y,坐标差所对的角即为,AB,对,V,面的倾角,。本题有两个解。,6,例,2-7:,已知直线,AB,的水平投影,ab,和点,A,的正面投影,a,，并知,AB,对,H,面倾角为,30,0,，求,:AB,的正面投影,a,b,。,分析：由于点,A,的正面投影,a,（即其,z,坐标）已知，所以只要求出,A,、,B,两点的,z,坐标差，即可确定点,B,的正面投影,b,。由上述直角三角形法的原理可知，以,ab,为一直角边，作一锐角为,30,0,的直角兰角形，则,30,0,角所对的直角边，即为,A,、,B,两点的,Z,坐标差。,7,例,2-8,：根据图,2,26,（,a,）所示，在直线,AB,上找一点,K,，使,AK,：,KB=3,：,2,分析：由上述投影特性可知，,AK,：,KB=3,：,2,，则其投影,ak,：,kb=a,k,：,k,b,3,：,2,。因此，只要用平面几何作图的方法，把,ab,或,a,b,为,3,：,2,，即可求得点,K,的投影。,8,例,2,9,：判定点,K,是否在侧平线,AB,上（图,2,27a,。,分析：由直线上点的投影特性可知，如果点,K,在直线,AB,上，,ak,：,kb=a,k,：,k,b,，因此，可用这一等比关系来判定,K,是否在直线,AB,上。另外，如果点,K,在直线,AB,上，则,k,”,应在,a,”,b,”,上。所以，也可作出它们的侧面投影来判定。,9,例,2-10,：已知：直线,AB,和,CD,相交于点,K,，并知,AK,：,KB=1,：,2,，根据图给的投影，求,AB,的正面投影,a,b,和,CD,的水平投影,cd,分析：由直线上的点分线段为定比的性质可知，若,AK,：,KB=1,：,2,，则,ak,：,bk,也必等于,1,：,2,，由此可求得交点,K,的水平投影。又因交点,K,是两直线,AB,和,CD,的公有点，故,k,必在,c,d,上。点,C,的水平投影和点,B,的正面投影分别位于,dk,和,a,k,的延长线上。,10,例,2-11,：已知矩形,ABCD,的一边,AB,平行于,H,面，根据图给的投影，完成该矩形的两面投影。,分析：因矩形的两边,ABAC,，又知,ABH,面，故,abac,。又因矩形的对边互相平行，所以,abcd,，,a,b,c,d,；,acbd,，,a,c,b,d,。据此即可完成该矩形的投影。,11,例,2,12,：过点,C,作直线,CD,与正平线,AB,相交垂直。,分析：已知,CDAB,，其中,AB,平行于,V,面，故其正面投影,c,d,a,b,，由此即可确定,CD,的投影,c,d,和,cd,。,12,例,2-13:,在两相交直线,AB,和,CD,所决定的平面内，另外任取两条直线（图,2-47,（,a,）。,分析：根据直线在平面内的几何条件，可在,AB,和,CD,上分别取一点,M,、,N,，则,M,、,N,连线必在该平面内；再过,AB,或,CD,上的任一点作一直线平行于,CD,或,AB,，则该直线也必在该平面内。,13,例,2,14,已知,ABC,内点,K,的水平投影,k,，求其正面投影,k,（图,2-48,（,a,）。,分析：点,K,在,ABC,内，它必在该平面内的一条直线上，,k,和,k,应分别位于该直线的同面投影上。因此，欲求点,K,的投影，须先在西,ABC,内作出过点,K,的辅助线的投影。,14,例,2-15,：判定点,K,是否在两平行直线,AB,和,CD,所决定的平面内（图,2,49,（,a,）。,分析：如果点,K,在给定的平面内，它必在该平面内的一条直线上。因此，只要通过点,K,的某一投影在（或,k,），在给定的平面内作一条直线的投影，看点,K,的另一投影,k,（或,k,）是否在该直线的同面投影上，即可判定点,K,是否在所给定的平面内。,15,例,2,16,：已知平面四边形,ABCD,的水平投影,abcd,和正面投影,a,b,d,，完成该四边形的正面投影见图,2,50,（,a,）。,分析：因为,ABCD,为一平面四边形，所以点,C,必在,ABD,所决定的平面内，因此点,C,的正面投影,C,可运用在平面内取点的方法求得。,16,例,2,17,：在两平行直线,AB,、,CD,所决定的平面内，作一距,H,面为,15,的水平线，如图,(2-52(a),分析：水平线的正面投影平行于,OX,轴，它到,OX,轴的距离，反映水平线到,H,面的距离，虽然平面内所有的水平线，其正面投影都平行于,OX,轴，但距,OX,轴为,15,的只有一条，故应先作其正面投影，再求其水平投影。,17,例,2-18:,过,ABC,的顶点,B,，作该平面内的正平线见图,2-53,（,a,）。,分析：由直线在平面内的几何条件可知，过顶点,B,作直线,L,，平行于西,ABC,的一条直线，则直线,L,必在该平面内。如果所作的直线,L,，平行于,ABC,的一条正平线，则直线,L,即为该平面内过顶点,B,的正平线。因此，欲过顶点,B,作该平面内的正平线，须在,ABC,内先任作一条正平线。,18,例,2,19,：求,ABC,（,alc,，,a,b,c,）与,H,面的倾角，见图,2,一,55,（,a,）。,分析：,AB C,与,H,面的倾角，就是该平面的最大坡度线与,H,面的倾角。因此，只要求出该平面的最大坡度线的两个投影，然后利用直角三角形法，即可求得最大坡度线与,H,面的倾角,。,19,例,2,20,包含点,A,（,a,，,a,）作一用迹线表示的铅垂面,P,，且与,V,面的倾角为,30,0,图,2-56,（,a,）。,分析：因为铅垂面的水平迹线有积聚性，所以,PH,必通过点,A,的水平投影,a,；又因水平迹线与,OX,轴的夹角，反映该平面与,V,面的倾角，故,P,H,的方向可定。,20,例,2,21,：包含水平线,AB,作一与,H,面倾角为,30,0,的平面，见图,2,57,（,a,）。,分析：平面对,H,面的倾角,，就是该平面最大坡度线与,H,面的倾角；最大坡度线又与平面内的水平线垂直；因此只要作一条与,AB,相交垂直、且与,H,面成,30,0,角的直线（即为所求平面的最大坡度线），该直线与,AB,所决定的平面，即为所求的平面。,21,22,例,3-1,：过点,A,作一水平线,AB,，与,CDE,平行，见图,3-2,（,a,）。,分析：,CDE,（,cde,，,c,d,e,）的空间位置一经给定，该平面水平线的方向也就随之而定。虽然过点,A,可作无数条水平线，而与,CDE,平行的直线只有一条，它必与,CDE,内的水平线平行。,23,例,3-2:,判定直线,AB,与,CDE,是否平行（图,3-3,（,a,）。,分析：由直线与平面平行的几何条件可知，如果,ABCDE,，则在西,CDE,内必能作出与,AB,平行的直线，否则,AB,不平行于,CDE,。,24,例,3,3,：判定直线,AB,与正垂面,P,是否平行（图,3-4,）,分析判定：正垂面,P,内的所有直线（包括水平投影与,ab,平行的直线）的正面投影，都积聚在,Pv,上。因为题中给出,a,b,Pv,，故可以判定直线,AB,与正垂面互相平行。,25,例,3,4:,求直线,AB,与铅垂面,P,的交点,K,，并判定投影的可见性,(3,6,（,a,）,),。,分析：因为交点,K,是直线,AB,与铅垂面,P,的公有点，铅垂面,P,的水平投,p,有积聚性，所以直线,AB,的水平投影,ab,与,p,的交点,k,，即为,AB,与平面,P,交点,K,的水平投影。,26,例,3-5,：求正垂线,AB,与,CDE,的交点，并判定投影的可见性，参见图,3-7,（,a,）。,分析：由于交点是直线上的点，而正垂线的正面投影有积聚性，所以交点的正面投影与正垂线的正面投影重合。又因交点也是平面上的点，故可用在平面内取点的方法，求交点的水平投影。,27,例,3-6,：求直线,AB,与,CDE,的交点，并判定投影的可见性，见图,3,9,（,a,）。,28,例,3,7,：求图,3-10,（,a,）所示的直线,AB,与,CDE,的交点，并判定投影的可见性。,29,例,3-8,：过点,M,作直线,MN,垂直于,ABC,，并求其垂足，如图,3-12,（,a,）所示。,30,例,3-9,：过点,A,作平面与直线,MN,垂直（图,3-13,（,a,）。,分析：由直线与平面垂直的几何条件可知，只要过点,A,作两条相交直线均与,MN,垂直，则这两条相交直线所决定的平面，既包含点,A,，又与,MN,垂直。,31,例,3-10,：判定图,3-14,（,a,）所示的直线,AB,与平面,P,是否垂直。,分析：如果,ABP,，则,AB,的水平投影,ab,，必垂直于平面,P,内水平线的水平投影；同时,AB,的正面投影,a,b,，必垂直于平面,P,内正平线的正面投影。,32,例,3-11,：判定图,3-15,所示的直线,AB,与铅垂面,P,是否垂直。,分析判定：因为铅垂面,P,内水平线的水平投影，与它的水平投影,p,重合；铅垂面内平行于,V,面的直线，又只能是铅垂线；所以与铅垂面,P,垂直的直线，一定是水平线，而且其水平投影与平面的水平投影（有积聚性）垂直。从图中可以看出，虽然,abP,，但,a,b,不平行于,OX,轴，故直线,AB,与铅垂面,P,不垂直。,同理，与正垂面垂直的直线，一定是正平线，而且其正面投影与正垂面的正面投影垂直，由此可判定，直线与正垂面是否垂直。,33,例,3-12,：过点,A,作一平面，与两条平行线,DE,和,FG,所决定的平面平行，如图,3-17,。,分析：由两平面互相平行的几何条件可知，只要过点,A,作两条相交直线，与已知平面内的两条相交直线对应平行（其同面投影都对应平行），则过点,A,的这两条相交直线所决定的平面，必与已知平面平行。,34,例,3-13,：判定图,3-18,（,a,）所示的,ABC,与,DEF,是否平行。,分析：如果,ABCDEF,，则在,DEF,内必能作出两相交直线，与,ABC,的两边对应平行（其同面投影都对应平行），否则,ABC,不平行于,DEF,。,35,例,3-14,：求图,3,21(a),所示的铅垂面,P,与,ABC,的交线，并判定其投影的可见性。,36,例,3-15,：求图,3,22(a),所示的正平面,ABC,与铅垂面,P,的交线，并判定其投影的可见性。,37,例,3-16,：求图,3,23,（,a,）所示的,ABC,与水平面,P,的交线，并判定其投影的可见性。,38,例,3-17,：求图,3,25,（,a,）所示的,ABC,与,DEF,的交线，并判定其投影的可见性。,分析：为了作图简便起见，求交点时所选的直线，最好与相交平面的各投影都有重影部分（因为只有这样的直线与平面的交点，才有可能在平面图形的范围之内），如,DE,、,DF,与,ABC,的两投影，以及,AC,与,DEF,的两投影都有重影部分，所以宜在,DE,、,DF,和,AC,中任选两条，求与另一平面的交点。,39,40,例,3-18,：求图,3,26,（,a,）所示的,ABC,与,DEF,的交线，并判定其投影的可见性,41,例,3-19,：求图,3-28,（,a,）所示的,ABC,与,DEF,的交线。,42,例,3-20,：包含直线,MN,作一平面，与,ABC,垂直，如图,3-30,（,a,）所示。,分析：由两平面垂直的几何条件可知，只要过直线,MN,上的任一点，作一条直线与,ABC,垂直，则这两条相交直线所决定的平面必与,ABC,垂直。,43,例,3,21,：判定图,3-31,（,a,）所示的平面,P,与,ABC,是否垂直。,分析：由两平面垂直的几何条件可知，如果,PABC,，则在,ABC,内必包含平面,P,的垂线。因此，欲判定,P,与,ABC,是否垂直，可过,ABC,内的任一点作平面,P,的垂线，然后根据直线在平面内的几何条件，判定该垂线是否在,ABC,内。,44,例,3-22,：判定图,3-32,（,a,）所示的,ABC,与铅垂面,P,是否垂直。,分析：由于与铅垂面垂直的直线只能是水平线，所以欲判定,ABC,与铅垂面,P,是否垂直，只要看,ABC,内的水平线的水平投影，与铅垂面的水平投影,p,是否垂直即可。,45,综合性问题,例,3-23,：如图,3-33,（,a,）所示，过点,M,作一直线,MN,与,ABC,平行。并与直线,KL,相交。,分析：图,3-33,（,a,）过点,M,可作无数条直线与,ABC,平行。这些直线的轨迹，是过点,M,，且与,ABC,平行的平面,Q,；平面,Q,内的所有直线，都与,ABC,平行。而在平面,Q,内过点,与,M,相交的直线，只能是直线,KL,与平面,Q,的交点,N,和点,M,的连线。,46,47,例,3-24,：已知直角,ABC,的直角边,BC=25,，并位于直线,MN,上，,B=90,0,；根据图,3-34(a),所给定的条件，完成该直角三角形。,分析：,ABC,的一直角边,BC,位于,MN,上，则其另一直角边,AB,，必位于过点,A,。且垂直于,MN,的平面内。因此，过点,A,作,MN,的垂面，该垂面与,MN,的交点，即为直角,ABC,的顶点,B,，过点,B,在,MN,上截取,BC=25,，可得另一顶点,C,（图,3-34,（,b,）；分别连接,A,、,B,和,A,、,C,的同面投影，即得直角,ABC,的投影。因为从点,B,可以在,MN,上向,M,和,N,两个方向截取,BC=25,，故该题有两个解。,48,49,例,3-25,：求图,3,35,（,a,）所示的两交叉直线,AB,和,CD,的公垂线。,分析：如图,3,35,（,b,）所示，假设,KL,是两交叉直线,AB,和,CD,的公垂线。如果过直线,AB,上的任一点,B,，作,BECD,，那么,KL,必垂直于由,AB,和,BE,所决定的平面,Q,；再过,CD,上的任一点,C,，作。,CFQ,，那么,AB,与,CD,和,CF,所决定的平面,P,的交点，就是垂足,K,。因为,KLCF,且同位于平面,P,内，据此即可求得另一垂足,L,。,50,51,例,3,26,：求图,3-36,（,a,）所示的直线,AB,与平面,P,的夹角。,分析：如图,3-36,（,b,）所示，根据初等几何的定义，直线,AB,与平面,P,的夹角，应为直线,AB,与其在平面,P,上的正投影,A,l,B,l,的夹角,52,53,例,4-1,：如图,4-12,（,a,）所示，求点,A,到平面,BCDE,的距离及垂足,K,。,分析：过点,A,作平面,BCDE,的垂线，求得垂足，点,A,到垂足的线段实长即为所求的距离由于平面,BCDE,是一般位置平面，所以它的垂线也一定是一般位置直线，因而直线的实长及垂足的位置在,V/H,体系中不能直接反映出来。如果把平面,BCDE,变换为新投影面的垂直面，则其垂线将平行于新投影面它的实长及其垂足的位置就能直接反映出来。所以本题用一次更换投影面即可解决。,54,55,例,4-2,：求图,4-13,所示两交叉直线,AB,及,CD,之间的距离。,分析：如图,4-13,（,b,）所示，两交叉直线的距离就是它们公垂线的实长。现有两条直线都是一般位置直线，作图较繁（见图,3,35,）。如果把交叉的两条直线之一（如,CD,）变换为投影酗垂直线，则它们的公垂线,MN,即为新投影面的平行线，其新投影反映实长，且与另一条直线,AB,在该投影面上的投影反映直角。这样，便有利于求解。由于两条交叉直线均为一般位置直线，所以要经过两次变换。,另一种方法，即将两条交叉直线,AB,、,CD,经过投影变换，使其同时平行于一个新投影面,P,，这时两条直线的公垂线,IWN,必然垂直于,P,面，它的实长可以在与,P,面垂直的投影面上反映出来，如图,4-14(a,）所示。,56,57,58,例,4-3,：如图,4,15(a),所示已知直线,AB,及线外一点,M,，试在直线,AB,上找一点,C,，使直线,MC,与直线,AB,的夹角为,60,0,。,分析：点,M,与直线,N,决定一个平面，而,MC,在该平面内，如将该平面变换成投影面,g,的平行面，则直线,AB,与,MC,的夹角其实际大小可以直接作出来。该平面是一般位置平面，如,B,变换成投影面的平行面，要进行两次变换。,59,例,4-4,：求图,4-16,（,a,）所示,ABC,和,DEF,的交线。,分析：,ABC,和,DEF,都是一般位置平面，如果将其中一个平面变换为投影面的垂面，就可以利用新投影的积聚性求出其交线。,60,例,4-5,：如图,4-24,（,a,）所示，求点,E,到平面,ABC,的距离。,分析：如果平面,ABC,是投影面的垂直面，则点到平面的距离可以直接反映出来。现在平面,ABC,为一般位置平面，因此要把它旋转成投影面的垂直面。应该注意的是：在旋转时点,E,与,ABC,必须绕同一轴、按同一方向、旋转同一角度，这样才能保持它们的相对位置不变。,61,例,4-6,：求直线,AB,与平面,P,的夹角（图,4-25(a),）,分析：如图,4-25,（,b,）所示，平面,P,与直线,AB,都处于一般位置，欲求得它们之间的夹角，可以把平面,P,变换成投影面的垂直面，同时把直线,AB,变换成投影面的平行线，这样它们之间的夹角,就可以在投影上直接反映出来。,62,63,例,5-1,：已知三棱锥表面上的点,K,和线段,MN,的正面投影,k,和,m,n,，如图,5-4,（,a,）所示，求作它们的其他两投影。,分析：从图中可以看出,k,是可见的，所以点,K,在三棱锥表面,SBC,上，过点,K,在,SBC,上任作一条辅助线，例如,SD,，求出,SD,的各投影，点,K,的各投影即在线段,SD,的同面投影上。,64,例,5-2,：已知三棱柱表面上点,A,的正面投影,a,和点,B,的水平投影,b,，求它们的其他两投影。,分析：由于,a,是可见的，所以点,A,在三棱柱的前左棱面上，而该三棱柱的各棱面都是铅垂面，其水平投影有积聚性，所以由,a,可直接求出点,A,的水平投影,a,，然后再求出其侧面投影,a,”,；同样，,b,为可见，说明点,B,位于三棱柱的上底面，上底面为水平面，其正面投影和侧面投影都有积聚性，所以由,b,可直接求出,b,和,b,”,。,65,例,5-3,：如图,5-4,所示，求正垂面,P,与三棱锥的截交线。,分析：,截平面,P,与三校锥的三条棱线,SA,、,SB,，,SC,相交，可采用求,棱,线与截平面交点的方法，分别求出三条棱线与截平面的交点,I,、,、,，连接起来即为截交线。,66,例,5-4,：如图,5-8,（,a,）所示，求四棱柱被截切后的三面投影图及截面的实形。,分析：截平面,P,与四棱柱的,4,个棱面及上底面相交，所以截交线是一个凸五边形，它的五个顶点分别是截平面与四棱柱三条棱线及上底面的两条边线的交点。由于平面,P,为正垂面，所以截交线的正面投影重合于,Pv,。四棱柱的各棱面为铅垂面，它们与平面,P,交线的水平投影和各棱面的水平投影重合。截平面与棱柱上底面的交线为正垂线，其正面投影积聚为一点，水平投影反映实长。根据对正面投影和水平投影的分析，可知截交线的侧面投影是比实形缩小的五边形。,67,68,例,5-5,：如图,5-9,（,a,）所示，画全有切口四棱锥的水平投影和侧面投影。；,分析：四棱锥的切口，可以看作是由水平面,P,和正垂面,Q,截切而成的，因此，除了要分别求出,P,、,Q,两平面与四棱锥表面的交线之外，还要求出,P,、,Q,两截平面的交线。,P,、,Q,两截平面的正面投影有积聚性，所有各棱线与截平面交点的正面投影可以直接得到，由此可求出它们的水平投影和侧面投影；,P,、,Q,两截平面的交线与棱面的交点可用辅助线法求得。,69,70,例,5-6,：求图,5-10,（,a,）所示直线,AB,与三棱锥的贯穿点，并判定其可见性。,分析：图,5-10,（,a,）直线,AB,及各棱面都是一般位置，可包含,AB,作辅助平面,P,，求出,P,与三棱锥的截交线,-,-,，,AB,与该截交线的交点在为直线,AB,与三棱锥的贯穿点。,71,例,5-7,：求图,5-11,（,a,）所示直线,AB,与四棱柱的贯穿点，并判定其可见性。,分析：图,5,11,（,b,）该四棱柱各棱面的水平投影和底面的正面投影都有积聚性，利用其积聚性可以直接求出贯穿点,M,和,N,。,72,例,5-8,：求图,5-13,（,a,）所示三棱锥与四棱柱的相贯线。,分析：根据正面投影可以看出，四棱柱整个贯穿三棱锥，为全贯，产生前后两条相贯线，四棱柱各棱面的正面投影有积聚性，所以相贯线的正面投影积聚在四棱柱各棱面的正面投影上。因此，只需要求出相贯线的水平投影和侧面投影。,73,例,5-9,：求图,5-14,（,a,）所示三棱柱与三棱锥的相贯线。,分析：三棱柱的各棱面均为铅垂面，其水平投影有积聚性。从水平投影中可以看出棱柱的前一条棱线和棱锥的后两条棱线参与相贯，两立体为互贯，所以只有一条相贯线。相贯线上各转折点就是参与相贯的棱线与另一立体表面的交点。因此，可以利用求贯穿点的方法人出上述三条棱线对另一立体表面的交点，并按前述原则连接起来，即可作出相贯线。,74,75,例,5-10,：求图,5-15,（,a,）所示两个五棱柱的相贯线。,分析：如图,5-15,（,b,）所示，由于两个相贯的五棱柱并不是前后贯通的，所以只在前面有一条相贯线；又因为这两个五棱柱下面的水平棱面同在一个平面上，所以它们的相贯线是一条不封闭的空间折线。从图上还可以看出，这两个五棱柱棱面又分别垂直于,V,面和,W,面，所以相贯线的正面投影和侧面投影都是已知的，需要求出的只是其水平投影。,76,77,同坡屋面的交线,在坡顶屋面中，同一个屋顶的各个坡面，对水平面的倾角相同，称为同坡屋面。,对于各屋檐等高的四坡顶同坡屋面,图,5,16,（,a,）,，屋面交线及其投影有如下的规律：,1,屋檐线相互平行的两坡面如相交，则必交成水平屋脊，屋脊的水平投影必平行于,屋檐,线的水平投影，且与两屋檐线的水平投影等距离。,如图,5-16,（,a,）所示，,ab,平行于,cd,、,ef,；,gh,平行于,id,、,jf,。,2,屋檐线相交的两坡面必交成斜脊线或天沟线，其水平投影为两屋檐线水平投影夹角分角线。斜脊线位于凸墙角处，天沟位于四墙角处。因为屋檐线相交为直角，所以无论是斜线或天沟线，它们的水平投影都与屋檐线的水平投影成,45,0,角。,78,如图,5-16,（,b,）所示，,dg,为天沟线的水平投影，,ac,、,ae,等为斜脊线的水平投影，它们分别屋檐线的水平投影成,45,0,角。,3,屋面上若有一斜脊与天沟相交于一点，则必有一条水平屋脊相交于该点。如图,5-16,79,例,5-10,：已知图,5-17,（,a,）所示四坡顶屋面的平面形状及坡面的倾角,a,，求屋面交线。,80,81,例,6-1,：已知点,A,、,B,、,C,为圆柱面上的点，根据图,6,9(a),所给的投影，求它们的其余两投影。,分析：因为圆柱面的水平投影为有积聚性的圆，所以,A,、,B,、,C,三点的水平投影必落在该圆周上，根据所给投影的位置和可见性，可以判定点,A,在圆柱面的右前部分，点,B,在圆柱面的左后部分，点,C,在圆柱面的最后素线上。因此，点,A,的水平投影,a,应位于圆柱面水平投影的前半圆周上，点,B,（的水平投影,b,、,C,则位于后半圆周上。,82,83,例,6-2,：已知圆锥面上点,A,、,B,的投影,a,、,b,，如图,6-11,（,a,）所示，求作点,A,、,B,的其余两投影。,分析：由点,A,、,B,的已知投影,a,、,b,可以判定，点,A,位于前半锥面的左半部，点,B,位于后半锥面的右半部。,84,例,6-3,：根据图,6,13,（,a,）所给出的圆球面上点,A,、,B,的投影,a,、（,b,），求作点,A,、,B,其余两投影。,85,例,6-4,：如图,6-15,（,a,）所示，已知圆环面上点,A,、,B,的投影,a,、,b,，求作点,A,、,B,的另一投影。,分析：在圆环面上确定点的投影，只能应用辅助纬圆法。,由点,A,、,B,的已知投影,a,、,b,，可以确定点,A,在外圆环面左前上部，点,B,在外环面右前下部。,86,例,6-5,：如图,6,17,（,a,）所示，直母线,MN,绕与其交叉的铅垂线,O,旋转，已知两面投影,mn,、,m,n,和,o,、,o,，求作此单叶回转双曲面的两面投影。,87,例,6-6,：如图,6,19,（,a,）所示，已知单叶回转双曲面上的点,A,、,B,的投影（,a,）、,b,，求作其另一投影。,分析：根据点,A,、,B,已知投影的位置，可以确定点,A,在回转面右后半部分，点,B,在回转面的左前半部分。,在单叶回转双曲面上确定点的投影，可以采用辅助纬圆法和辅辅线法。由于回转面的轴线垂直,H,面，由,a,求作,a,时，可以用辅助纬圆法。由,b,求作,b,时，可应用辅助纬圆法和辅助素线法。,88,89,例,7-1,：求图,7-1,（,a,）所示圆柱被正垂面,P,截切后的侧面投影及截面的实形。,分析：由于正垂面,P,倾斜于圆柱轴线，截交线是一椭圆，截交线的,H,面投影与圆柱面具有积聚性的,H,面投影重合，是一圆。截交线的,W,面投影仍是一椭圆。由于截平面与圆柱轴线的夹角小于,45,0,，椭圆长轴的投影仍为椭圆投影的长轴。,90,例,7-2,：求图,7,2,（,a,）所示带切口圆柱的水平投影。,分析：该圆柱的切口是由两个正垂面,P,和,R,截切圆柱形成的。,P,和,R,的交线为一正垂线。由于两个截平面和圆柱轴线倾斜，截交线均为椭圆，即切口由两个部分椭圆所组成，其,V,面投影有积聚性，在,H,中，除需要分别作出两部分椭圆的投影外，还应作出两截平面交线的投影。,91,例,7-3,：求图,7-3,（,a,）所示的圆锥被正垂面截切后的水平和侧面投影。,分析：由于截平面平行于圆锥的一条素线，故其截交线为抛物线（如表,7-2,中所示第四种情况），,V,面投影有积聚性对面、,W,面投影仍为抛物线。截平面与圆锥底面的交线是一直线段，和抛物线组成一个封闭平面图形。截交线的,H,面、,W,面投影可以根据已知的,V,面投影用在曲面上定点的方法求出。,92,例,7-4,：已知图,7-4,（,a,）所示切口圆锥的正面投影，求作其他两面投影。,分析：圆锥的切口可以看成是由一个水平面,P,和一个正垂面,R,相交截切圆锥形成的。水平面,P,垂直于圆锥轴线，与锥面的截交线为水平圆，正垂面,R,与圆锥轴线斜交，与锥面的截交线为椭圆，所以切口由一部分水平圆和一部分椭圆组成。根据切口的正面投影，水平回部分可以直接作出，椭圆部分可以利用辅助线法来作图。,93,例,7-5,：求图,7-,（,a,）所示圆球被铅垂面,P,截切后的投影。,分析：由于平面,P,垂直于,H,面，与,V,面、,W,面倾斜，截交线的,H,面投影为,PH,上的直线段，长度等于圆的直径，,V,面、,W,面投影是椭圆。椭圆长轴是截交线圆中垂直于,H,面的直径的投影，短轴是圆中平行于,H,面直径的投影。,94,例,7-6,：已知图,7-6,（,a,）所示半球被截切后的,H,面投影，求作其余两投影。,分析：图,7-6,（,a,）给出的是一个半球被两对对称的投影面平行面截切后的,H,面投影。其中一对正平面截切半球所得截交线的,V,面投影反映圆弧的实形，,W,面投影成为两铅垂线，一对侧平面截切半球所得截交线的,W,面投影反映圆弧的实形，,V,面投影成为两铅垂线。,4,个截平面的交线为四条等长的铅垂线，如图,7-6,（,b,）所示。,95,例,7-7,：求图,7-8,（,a,）所示直线与圆柱的贯穿点。,分析：圆柱的轴线垂直于,H,面，圆柱面的水平投影和底面的正面投影都有积聚性，可利用其积聚性直接求出贯穿点。,96,例,7-8,：,求图,7-9,（,a,）所示的水平线,AB,与圆锥的贯穿点。,分析：水平线和圆锥相交，直线和锥面的投影均无积聚性，求贯穿点时需包含水平线,AB,作一辅助平面,P,，平面,P,截切圆锥所得截交线为一水平圆，直线,AB,与截交线圆的交点,、,即为贯穿点，如图,7-7,（,b,）所示。,97,例,7-9,：如图,7-10,（,a,）所示直线,AB,与斜柱的贯穿点。,分析：如图,7-10,（,b,）所示，直线,AB,与柱面对投影面均处于一般位置，求贯穿点应用辅助平面法。为了作图简便起见，可通过点,A,作一直线,AM,1,，平行于柱面素线，则由,AB,、,AM,1,所决定的辅助平面，将在柱面上截得素线,-,、,-,，,AB,与,-,、,-,的一对交点,D,、,E,，即为对斜柱的贯穿点。,98,例,7-10,：,求图,7,一,11,（,a,）所示直线,AB,与正圆锥的贯穿点。,分析：如图,7,11,（,b,）所示，求作一般位置直线和圆锥面的贯穿点，也须应用辅助平面法，即包含直线过锥顶作辅助平面,SM,1,M,2,，它与圆锥的截交线为三角形,S-,-,，直线,AB,与截交线的交点,D,、,E,即为贯穿点。,99,例,7-11,：求图,7,12,（,a,）所示直线,AB,和球的贯穿点。,分析：直线,AB,处于一般位置，但过,AB,作垂直于某一投影面的辅助平面与球的截交线的其他投影为椭圆，不便于作图，故应采用换面法，作平行于直线,AB,的新投影面，求出贯穿点在新投影体系中的投影，然后再求贯穿点在原投影体系中的投影。,100,例,7-12,：求作图,7,13,（,a,）所示四棱锥和圆柱的相贯线。,分析：图,7,13,（,b,）为四棱锥和圆柱的轴线重合，其相贯线是由棱锥的四个棱面截切圆柱面所得的四段椭圆弧组合而成的封闭曲线。四条棱线与圆柱面的四个贯穿点就是这些椭圆弧的结合点，四个贯穿点的高度相同。由于圆柱表面垂直于,H,面，相贯线的水平投影就位于圆柱的,H,面投影上，所以只需要求出,V,面投影。,101,例,7-13,：求图,7-14,（,a,）所示正三棱柱与半圆球的相贯线。,分析：图,7-14,（,b,）为正三棱柱与半圆球的相贯线由,3,个棱面与球面的三条截交线组成，它们的空间形状都是圆弧，其中棱面,BC,是正平面，它与球面截交线的,V,面投影反映圆弧的实形，另外两个棱面倾斜于,V,面，所以它们的截交线的,V,面投影是椭圆的一部分。,102,例,7-14,：求作图,7-15,（,a,）所示两圆柱的相贯线。,分析：两圆柱轴线正交，水平圆柱贯入竖放圆柱，相贯线是一封闭的空间曲线，如图,7-15,（,b,）所示。在投影图中，由于两圆柱轴线分别垂直,H,面、,W,面，所以竖放圆柱的,H,面和水平圆柱的,w,面投影有积聚性，故相贯线的,w,面投影是圆，,H,面投影是水平圆柱的一段圆弧。故可采用在立体表面上定点的方法，由相贯线的,H,面投影和,W,面投影越,V,面投影。由于两个圆柱的轴线所决定的平面平行于,V,面，相贯线前、后对称，投影重合，且两圆柱,V,面投影轮廓线的交点，就是相贯线上点的投影。,103,例,7-15,：求作图,7-16,（,a,）所示圆球和圆锥的相贯线。,分析：圆球面初圆锥面的两面投影均无积聚性，相贯线的,V,面、,H,面投影需用辅助平面法求出共有点，然后连接共有点的同面投影。根据球和圆锥的形状特征及其相对位置，可选择水平面作辅助平面，它与球和圆锥的辅助截交线均为水平圆，如图,7-16,（,b,）所示。；,104,105,例,8-1:,如图,8-5(a,）所示，已知轴测轴,OX,、,OY,、,OZ,（轴向伸缩系数分别为,p=1,，,q=0.5,，,r=1),和点,M,的正投影图，画点,M,的轴测投影。,106,例,8-2:,画图,8-8(a),所示正六棱柱的正等轴测图。,分析,:,由于六棱柱的前后、左右都有对称轴线，故可把坐标原点设在顶面的中心处，由上向下作图较为简便。,107,例,8-3:,画图,8-9(a),所示木榫头的正等轴测图。,分析,:,木,榫,头可视为由一长方体切割而成，画轴测图时，也可采用切割法。,108,例,8-4,：画如图,8,13,（,a,）所示带有三个相同圆柱孔的立方体的正等轴测图。,分析：,3,个圆柱孔的顶圆，分别位于立方体,3,个相邻的侧面上，如果将坐标原点设在立方体的左前上角，各坐标轴与棱线重合,那么,3,个圆柱孔的顶圆即为,3,个坐标面的圆。,3,个底圆则分别平行于相应的坐标面。这些圆的正等轴测图，都是形状和大小相同的椭圆，它们的长轴应与相应的棱线垂直。,109,例,8-5,：画图,8,14(a,）所示的被切圆柱正等轴测图。,分析：圆柱上半部被切部分左右对称，顶面和中间截面都是水平圆的一部分。以顶圆的圆心作为坐标原点（,Q,1,Z,1,轴为圆柱轴线），由上向下作图，可省去不可见部分的作图线。,110,例,8-6,：画图,8,18(a),所示挡土墙的正面斜等测图。,111,例,8-7,：画出图,8-18(a),所示钢箍的立面斜二测图。,112,例,8-7,：画图,8-21(a),所示建筑群的水平斜二测图。,113,例,8-9,：画图,8-24(a),所示压盖的剖切正面斜二测图。,分析,：,压盖上所有圆和圆弧所在平面都与,V,面平行，它们的正面斜二测图都反映实形。画图时，可先画出剖切了后的前端面和剖切断面的形状，然后再画内、外的可见轮廓线。,114,115,例,10-1,：求图,10-5,中,AB,直线的坡度和平距，并求,C,点的标高。,【,解,】,直线的坡度,i=I,AB,/L,AB,。其中,I,AB,为,A,、,B,两点的高差，即,I,AB,=24,12=12,。,L,AB,为,A,、,B,两点间的水平距离，用比例尺量得为,36,，所以,i=12,36=1,3,。直线的平距,l=1,i=3,。,因为,i=I,AB,/L,AB,=i=I,Ac,/L,Ac,1,3,，所以,I,AC,=1,3=L,AC,。由比例尺量得为,