基于分子动力学-格林函数法的分形粗糙表面摩擦行为研究.pdf

function method.Chinese Journal of Theorelical and Applied Mechanics,2023,55(7):1484-1492Huang Shiping,Chen Xiao,Xiao MingqiangStudyonfrictionbehavioroffractalsurfacebasedonmoleculardynamics-Greens引用格式：黄仕平，陈枭，萧明强.基于分子动力2023,55(7):1484-1492固体力学2023年月Jul.2023Chinese Journal ofTheoretical and Applied MechanicsVol.55,No.7力期第55卷第报学学基于分子动力学-格林函数法的分形粗糙表面摩擦行为研究黄仕平2)陈枭萧明强(华南理工大学土木与交通学院，广州510 6 40)摘要更任何物体间的表面摩擦均可看成是粗糙面间的摩擦，且大部分粗糙表面具有分形特征.为探究分形粗糙表面的摩擦行为，利用分子动力学-格林函数法（GFMD）建立微观分形粗糙表面模型，采用位移加载控制分形粗糙表面的接触和摩擦过程，并根据广度优先搜索算法识别接触团簇分布.之后分别计算原子尺度、接触团簇尺度和界面尺度下的最大摩擦系数与摩擦力，并利用影响矩阵法研究摩擦过程中接触团簇之间的相互作用，分析接触团簇之间的距离和面积对相互作用的影响.结果表明：在摩擦过程中，摩擦系数从小尺度到大尺度逐渐减小；摩擦力随位移呈现周期性波动，接触团簇并非同时达到最大摩擦力，而是发生局部滑移，整体滑移模型预测的摩擦力是分子模拟结果的上限值；所提出的影响矩阵法可以较好地模拟接触团簇之间的相互作用，利用影响矩阵计算得到的最大摩擦力与GFMD模型结果基本一致，而不考虑局部滑移影响计算得到的最大摩擦力比GFMD模型结果大2 0%，并且接触团簇之间的相互作用与距离成反比，与面积成正比.结果可为粗糙表面的界面分析和优化提供理论依据.关键词分子动力学-格林函数法，影响矩阵法，分形粗糙表面，摩擦行为，接触团簇中图分类号：0 3 43.3文献标识码：Adoi:10.6052/0459-1879-23-133STUDYONFRICTIONBEHAVIOROFFRACTALROUGHSURFACEBASEDONMOLECULARDYNAMICS-GREENS FUNCTION METHOD!)Huang Shiping2）Chen XiaoXiao Mingqiang(School of Civil Engineering and Transportation,South China University of Technology,Guangzhou 510640,China)AbstractThe surface friction between any object can be regarded as the friction between rough surfaces,and mostrough surfaces have fractal characteristics.In order to study the friction behavior of fractal rough surface,the moleculardynamics-Greens function method(GFMD)is used to establish the microscopic fractal rough surface.The contact andfriction processes of fractal rough surface are controlled by displacement loading,and the contact cluster distribution isidentified by breadth-first search algorithm.Then,the maximum friction coefficient and friction force at atomic scale,contact cluster scale and interface scale are calculated respectively.The influence matrix method is used to study theinteraction between contact clusters in the friction process,and the influence of the distance between contact clustersand the area of contact clusters on the interaction is analyzed.The results show that the friction coefficient decreasesfrom small scale to large scale during the friction process.The friction force fluctuates periodically with the2023-0408收稿，2 0 2 3-0 5-3 1录用，2 0 2 3-0 6-0 1网络版发表.1)国家自然科学基金（116 7 2 10 8,119 1153 0 6 9 2)资助项目.2)通讯作者：黄仕平，副教授，主要研究方向为计算力学、结构健康监测.E-mail:1485第7 期黄仕平等：基一格林函数法的分形粗糙表面摩擦行为研究displacement.The contact clusters dont reach the maximum friction force at the same time,but local slip occurs.Thecontact clusters slipping first will accelerate the slip of other contact clusters,and the friction force obtained by theglobal slip model is the upper limit of the molecular simulation results.The influence matrix method can simulate theinteraction of contact clusters well.The maximum friction force calculated by using the influence matrix is basicallyconsistent with the result of GFMD model,and the maximum friction force calculated by ignoring the influence of localslip is 20%larger than the result of GFMD model,indicating that local slip has a great influence on the friction force.The interaction between contact clusters is inversely proportional to the distance and proportional to the area.Theresults can provide theoretical basis for interface analysis and optimization of fractal rough surface.Keywordsmolecular dynamics-Greens function method,influence matrix method,fractal rough surface,frictionbehavior,contact cluster引言接触摩擦现象无处不在，其广泛发生在机械、能源和电子等领域，合理利用摩擦学原理，能有效地减少能源消耗和提升作业效率!.宏观上光滑和平整的表面,实际上是由许多不规则的微凸体组成的 2-3 ,当两个粗糙固体表面接触时，实际接触只发生在表观面积的很小一部分，真实的接触面积由大量离散的接触团簇组成，接触团簇的形状、大小、分布和相互作用是揭示接触摩擦行为的关键，其内部接触摩擦机理相比光滑表面更加复杂，因此表面接触和摩擦问题成为力学领域极具挑战性的课题 4,近年来，学者们在接触摩擦研究领域也已经取得了许多重要的成果.由Greenwood等 5 提出的GW接触模型是统计接触模型的典型代表，其假设粗糙面由许多半径相同但高度不同的球状微凸体组成，以赫兹理论为基础，对接触力和摩擦力进行统计意义上的累加.Majumdar等 6 基于W-M分形函数提出的MB接触模型是分形接触模型的典型代表，其结果更接近粗糙表面的非稳定随机特性.Chang等 7 考虑微凸体的塑性变形，并给出单个微凸体发生塑性变形时的接触面积和接触载荷计算公式.Prez-Rafols等 8 研究具有非高斯高度分布的自仿射分形表面的接触刚度.Popov等 9 使用降维方法模拟分形粗糙表面与弹性体之间的摩擦力，发现摩擦系数与表面轮廓的均方梯度成正比.李玲等 10 采用二次函数建立微凸体接触半径与接触变形的解析关系，并重新推导了微凸体发生弹性、弹塑性和塑性变形的接触表达式.冯燕等 1 考虑热应力的影响,建立了粗糙表面的热弹塑性接触模型，用于表征粗糙表面的热力学特性.陈少华等 12-13 研究刚性球体与弹性梯度半空间的接触和摩擦问题.占旺龙等 14基于Iwan模型的非线性力学性质,推导出临界摩擦力分布函数.周华等 15 考虑接触过程中微凸体的相互作用，建立分形接触模型，并推导了粗糙表面接触的切向位移和切向载荷的关系.随着科学计算方法的发展，采用数值方法更准确模拟粗糙表面的接触摩擦行为已成为研究热点.Kogut等 16 通过有限元模拟了球体与平面的弹塑性接触问题，并构建了KE弹塑性模型，将赫兹理论拓展到完全塑性接触.Sofuoglu等 17 运用有限元法研究了二维刚性粗糙体与弹塑性平面的热滑动接触问题.Sellgren等 18 利用有限元软件建立了考虑工程表面特性的接触模型，发现微凸体的高度分布对接触刚度有显著影响，但其曲率对接触刚度影响较小.Nadimi等 19 利用边界元法研究均方根高度、赫斯特指数和分形维数等参数对实际接触面积的影响.阮晓光等 2 0 使用Abaqus软件研究粗糙表面的接触压力和摩擦力分布.王权等 2 1 基于分子动力学模拟探究摩擦深度对铜镍合金摩擦行为的影响.范立峰等 2 2 采用弹塑性有限元方法分析了界面分形参数对法向接触刚度的影响.宋剑锋等 2 3 使用Abaqus软件模拟两个粗糙表面的接触过程，分析了表面位移和表面粗糙度对接触载荷和接触面积的影响.虽然已经有许多学者对粗糙表面的接触摩擦行为进行了研究，但大部分研究都忽略了摩擦过程中接触团簇之间的相互作用和影响，并且大规模的数值模拟计算开销大.为了减少计算开销，文献 2 5-2 7 提出分子动力学-格林函数法(GFMD),利用格林函数起到了降维的效果，并已成功运用于表面接触和摩擦分析.分子动力学从分子和原子尺度出发分析接触摩擦机理，能获得很多连续介质力学难以模拟力1486学报学2023年第55卷的力学行为 2 8-2 9 本工作以分子动力学-格林函数法为工具，首先利用二维傅里叶变换方法生成分形粗糙表面，建立分子动力学模型；其次进行分形粗糙表面和弹性光滑平面的接触模拟，利用广度优先搜索算法识别接触团簇；最后模拟分形粗糙表面的滑动摩擦，从不同尺度计算最大摩擦系数和摩擦力，利用影响矩阵法分析接触团簇之间的相互作用，并结合弹性力学理论模型进一步分析该相互作用的影响因素，研究接触团簇之间的距离和接触团簇面积对相互作用的影响.本文结果可为粗糙表面的界面分析和优化提供一定的理论依据1分子动力学-格林函数法理论分子动力学-格林函数法的核心是在表面边界层采用分子动力学方法模拟其表面力学效应，表面边界层以外则采用格林函数法直接计算其弹性响应.该方法的优点是既没有忽略表面边界层复杂及分子级别的力学效应，同时又利用格林函数法提高了计算效率，从而使得大规模表面接触摩擦行为的研究成为可能.两个粗糙表面的接触可以简化为一个弹性光滑面与一个刚性粗糙面之间的接触 3 0 ,如图1所示,此时弹性光滑面的弹性模量根据以下公式换算11-+(1)E*E1E2式中，Ei和E2分别是上下表面的弹性模量，Vi和v2分别是上下表面的泊松比，边界层和基体层的动力学方程为uimZDiajiujp=Ooafio(2)0t2jrigid layerboundarylayeresubstratelayer图1刚性粗糙面与弹性光滑面的接触Fig.1Rigid rough surface in contact with elastic smooth surface式中，m表示原子的质量矩阵，ui表示第层的第i个原子的位移向量，DiiB表示力常数矩阵，fio表示原子所受的力矢量.通过傅里叶变换简化动力学方程，结果如下Z(-ma2 0a+Dap(a)up(q,)=0ofo(q,)(3)如果基底的变形很小，此时假设整个基底的位移是施加在边界层上的力的线性函数up(q,w)=Gpoftot(q,w)(4)式中，G表示格林函数矩阵.只要提前计算出Goo，即可用来表示边界层原子的位移，格林函数矩阵G的具体计算可参考文献 2 6 .2计算模型及方法2.1分子动力学模型本文采用Lammps软件模拟计算分子动力学模型,对Lammps软件进行二次开发,增加了格林函数法的计算模块 3 1.整体模型由一个刚性分形粗糙表面和一个弹性光滑表面组成，如图2 所示.采用的原子类型为gfmd类型，由二次开发所得，相邻原子间距d=1.12g，模型尺寸为512 d512d.弹性光滑表面采用各向同性连续弹性体的格林函数解 3 2-3 3 ,等效弹性模量E*=4s/3，泊松比为0.3，四周设置周期性边界条件来模拟无限大半空间.分形粗糙表面通过二维傅里叶变换法生成，表面特征由4个参数控制，分别是空间频率上限值WH、空间频率下限值L、赫斯特指数H、幅度的标准差P.本文的分形粗糙表面模型取WH=1/48，WL=1/12 8，H=0.5，P=0.5，其高度的均方根为0.9 9,斜率的均方根为0.0 5，具有很好的普适性.position Z7.0530图2 分子动力学模型Fig.2Molecular dynamics model2.2模拟方法本文采用位移加载控制模型的接触和摩擦过1487第7 期黄仕平等：基于子动力学-格林函数法的分形粗糙表面摩擦行为研究程，模拟时间步长为0.0 0 5ps,位移加载步长为0.0 1g，接触过程的时间步为10 0 0 步，滑动摩擦过程的时间步为50 0 步，沿x方向滑动.每一位移步都要进行迭代分析，直到弹性表面原子受力平衡，每次迭代的最大计算步为5.0 10 4步，迭代收敛准则为原子的1-范数小于等于0.0 1s/g.采用Lennard-Jones(LJ)势来模拟原子间的相互作用 3 4,其表达式如下所示()-()u(r)=48(5)式中，r表示原子间的距离，和为势能参数，采用国际单位制会导致物理量的数值非常小，可能会引起较大的舍入误差，故本文模拟采用LJ约化单位制.在LJ约化单位制中，=1，=1,计算中分别取其为势能、距离的基本单位，力的单位为8/.LJ势只考虑原子间的吸引力和排斥力，不考虑电荷作用，当r=21/g1.12 g 时，原子间相互作用力为0，当r1.12g时，原子间作用力为吸引力.本文模型不考虑原子的黏附作用，因此LJ势能的截断距离取1.12 g：摩擦过程中的变化规律和特征可以通过摩擦系数、摩擦力等参数表征.在模拟过程中，本文从3 个尺度来分析界面的摩擦行为：（1）原子尺度，反应接触原子的个体效应；(2)接触团簇尺度，反应接触原子的群体效应；(3）界面尺度，反应接触团簇的群体效应.定义原子i受到的法向接触力F；为其z方向的分力，受到的摩擦力f为其x方向的分力；界面受到的法向接触力F和摩擦力f分别为界面所有原子的法向接触力和摩擦力之和；接触团簇受到的的法向接触力Fc和摩擦力fc分别为该接触团簇所有原子的法向接触力和摩擦力之和，表达式如下nnFFNi,f=1=1(6)nccnccFc=FNi，fcc=fii=11式中，n表示界面总原子数，nc表示该接触团簇总原子数.引入摩擦系数，其值定义为摩擦力与法向接触力的比值，表达式如下f从=Fi，c cJccFc从=F(7)式中，;表示原子i的摩擦系数，cc表示接触团簇的摩擦系数，表示界面的摩擦系数.2.3接触团簇识别算法接触团簇的大小、形状、分布是研究界面接触摩擦行为的重要特性.定义z方向的受力fz0的原子为接触原子，为了研究摩擦过程中接触团簇之间的相互作用，需要分别识别组成各个接触团簇的接触原子，对其进行单独的编号.本文采用广度优先搜索算法，避免了递归搜索的栈溢出问题.定义相邻的接触原子属于同一个接触团簇，搜索步骤如下.(1）遍历整个模型原子，当遇到接触原子时，从此原子开始做广度优先搜索.创建一个辅助队列，将该原子加入队列，此时接触团簇数量加1，且在广度优先搜索中删除此原子；(2)广度优先搜索时，判断队列首部原子是否是接触原子，若是则删除该原子，并将该原子的邻接原子加入队列，若不是则跳过该原子；(3）循环出队列的首原子，直到整个队列为空，则该接触团簇遍历完毕.3结果与讨论3.1接触团簇分布随着压入深度不断增加，接触面积也不断增大，当接触面积达到5%时，采用广度优先搜索算法识别到17 个接触团簇，分别对其进行编号，其结果如图3 所示，161712151413102图3 接触团簇分布Fig.3Contact cluster distribution力1488学报学2023年第55卷3.2摩擦行为3.2.1摩擦系数采集每一位移步下所有原子的法向接触力和摩擦力，以此求得当前位移步下，原子、接触团簇和界面的摩擦系数.之后再根据每一位移步的结果，统计得到在摩擦过程中原子、接触团簇和界面的最大摩擦系数，其结果分别如图4所示.1.0atomicfrictioncofficient0.9interfacefrictioncofficient0.80.70.60.50.40.30.20.1002468101214X103atomic ID(a)原子摩擦系数(a)Friction coefficient of atom0.75contact cluster friction coefficient0.70interfacefrictioncoefficient0.650.600.550.500.450.400.350.3010246810 12141618contact cluster ID(b)接触团簇摩擦系数(b)Friction coefficient of contact cluster图4摩擦系数Fig.4Frictioncoefficient对原子尺度和接触团簇尺度的最大摩擦系数分别取平均值，最终得到原子尺度的平均摩擦系数为0.59,接触团簇尺度的平均摩擦系数为0.54，而界面尺度的摩擦系数为0.3 5.结果表明原子摩擦系数接触团簇摩擦系数 界面摩擦系数，摩擦系数从小尺度到大尺度逐渐减小，3.2.2摩擦力一位移曲线分别统计3 个尺度下的摩擦力值，得到摩擦力一位移曲线如图5所示.从图5可以看到，在滑动过程中摩擦力呈现周期变化的趋势，波动周期约等于原子间距1.12 g.界面尺度下，如图5(a)所示，当位移达到0.9 2 g时，摩擦力达到最大，为3 14.52 s/；接触团簇尺度下，如图5(b)所示，用圆点标记了部分接触团簇的最大摩擦力值，接触团簇1在位移达到0.9 2 g时达到最大摩擦力，为6 2.9 9 s/，而接触团簇5在位移达到0.7 0 g时达到最大摩擦力，为14.3 9 8，接触团簇并非同时达到最大摩擦力，而是发生局部滑移；原子尺度下，如图5(c)所示，原子也是分批达到最大摩擦力，从而发生滑移.3002001000-10000.51.01.52.02.5displacemento(a)界面尺度(a)Interface scale806040200-2000.51.01.52.02.5displacement a(b)接触团簇尺度(b)Contact clusterscale0.070.050.030.01-0.01-0.0300.51.01.52.02.5displacement(c)原子尺度(c)Atomic scale图5摩擦力-位移曲线Fig.5Friction-displacementcurve1489黄仕平等：基一格林函数法的分形粗糙表面摩擦行为研究第7 期整体滑移模型认为，微凸体整体滑移，摩擦力是同时到达峰值的.但在本文的分子动力学模拟中，原子和接触团簇都是分批滑移的，这在原子和接触团簇层面解释了局部滑移现象.在摩擦过程中，接触团簇并非同时达到最大摩擦力，而是发生局部滑移现象.发生局部滑移的接触团簇会对其他接触团簇产生相互作用，加速其他接触团簇滑移，因此整体滑移模型预测的摩擦力，实际上是分子模拟结果的上限值，而摩擦力的下限值，则取决于接触团簇的大小、分布等，这可能是界面设计的关键因素.3.3影响矩阵法求相互作用3.3.1影响矩阵法为了进一步探究摩擦过程中接触团簇之间的相互作用，本文使用影响矩阵法来建立各个接触团簇之间的相互作用机制.影响矩阵法引入了目标向量、受调向量、施调向量和影响矩阵的概念，本文目标向量即接触团簇的摩擦力F，受调向量即当前接触团簇的摩擦力Fo，施调向量即接触团簇的位移向量D.定义影响矩阵K，矩阵中的元素ki表示第j个接触团簇滑动单位位移时对第i个接触团簇摩擦力的影响.其计算方法如下：给第i个接触团簇施加单位位移，同时固定其他接触团簇，计算在单位位移下各接触团簇的摩擦力，记为K,=(ki,kzi，,k n i)T,同理得到K1K n，即可得到接触团簇之间的影响矩阵为k11k12k1nk21k22k2nK=K1,K2,.,Kn=(8)knlkn2KKnn当模型满足线形叠加原理时，则目标向量等于受调向量加上影响矩阵与施调向量之积，即接触团簇的摩擦力F等于当前接触团簇的摩擦力Fo加上影响矩阵K与位移向量D之积，表达式如下F=Fo+KD(9)3.3.2影响矩阵计算以接触团簇1为例，对其施加单位位移，同时固定其他接触团簇，计算在单位位移下各接触团簇的摩擦力.为了更好的体现接触团簇之间相互作用的大小，对影响矩阵进行归一化得到K;=1,0.097,0.031,0.047,0.040,0.026,0.036,0.043,0.012,0.014,0.010,0.084,0.026,0.011,0.041,0.028,0.005)T,其结果如图6 所示，同理计算得到K2K17.0.0840.0050.0280.0410.0410.0110.026Fx0.010-0.1100.0140.0120.0430.0360.0260.0400.0430.0470.0311.0000.097图6 接触团簇相互作用Fig.6Interactionof contactclusters3.3.3摩擦力计算摩擦力计算结果如图7 所示.根据影响矩阵法计算得到的最大摩擦力为3 3 1.2 0 s/，与GFMD模拟结果较为接近，说明在一定程度上，可以用影响矩阵法来模拟接触团簇之间的相互作用.K表示不考虑局部滑移的影响，根据各个接触团簇的滑移时刻和对应的影响矩阵系数计算得到的摩擦力，最大摩擦力为3 7 9.11s/，比GFMD模拟结果大了2 0%.由此可见在摩擦过程中，接触团簇之间的相互作用对滑动摩擦力的影响很大，由于局部滑移的存在，先滑移的接触团簇会对其他接触团簇产生力的作用，并加速其达到局部最大摩擦力，从而使得系统整体的摩擦力下降，下降的程度受到接触团簇分布和大小等的影响K400GFMDK3002001000-10000.51.01.52.02.5displacement a图7 摩擦力计算Fig.7Calculationoffrictionforce力14902023年第55卷报学学3.3.4影响因素分析kj的计算结果受到接触团簇形状、分布和距离等的影响，目前很难从理论上明确计算.本文建立两个简单模型，一个是有两个球状接触团簇的GFMD数值模型，另一个是基于弹性力学中切向集中力作用下弹性半空间的变形解的理论模型，尝试分析接触团簇之间的距离和面积对k的影响.(1)数值模型数值模型的正视图如图8 所示.原子初始间距d=1.12g，弹性光滑平面的尺寸为512 d512d，两个球体的半径均为2 5d，间距为150 d.根据赫兹理论，一个刚性球体与弹性半空间体接触时会生成圆形的接触团簇，其压力分布形式为p=po(-P/a2)/2(10)(2)理论模型考虑有一个弹性半空间体，在半径为的圆上作用切向非均布力qx=go(1-r/2)/2,其中go表示圆心处的切向力，r表示离圆心的距离.则任意点B点的位移可由弹性力学推导得到.当B点在圆外时，B点的切向位移为9o(1+v)uBout=十2aE2v(x2-y2)aarcsin4(11)22当B点在圆内时，B点的切向位移为uBin元qo(1+)4(2-)2-(4-3 v)x2-(4-v)y2 16aE(12)(3)ki;计算由于微观模型和宏观模型的差异，本文不研究ki的绝对值，转为研究kg/ki的相对关系，kg/ki体现了第j个接触团簇滑移对第i个接触团簇的加速效果.数值模型的ki；计算同上述情况，理论模型中ki/k计算如下式kij/ki=Uoutuin(13)AoutAin图8GFMD模型Fig.8GFMD model(4)距离的影响分析接触团簇之间的距离对ki,的影响.根据上述方法，保持接触团簇的半径不变，改变两个接触团簇之间的距离，分别计算GFMD数值模型和弹性力学理论模型的ki2/ki1大小,结果如图9(a)所示.从图中可以看出,ki,随着距离的增加而减小，大致呈反比趋势.0.14-GFMDelastic mechanics0.120.100.080.060.040.0250100150200250displacementg(a)距离的影响(a)Influence of distanceGFMD0.08-elasticmechanics0.060.040.02050150250350450area?(b)面积的影响(b)Influence of area图9 kj变化Fig.9Changes of kj(5)面积的影响分析接触团簇面积对ki；的影响.保持接触团簇之间的距离不变，改变第二个接触团簇面积大小，分别计算GFMD数值模型和弹性力学理论模型的k12/ki1大小,结果如图9(b)所示.从图中可以看出，k;随着面积的增加而增大，大致呈线性趋势.4结论本文基于分子动力学-格林函数法建立了分形粗糙表面的微观模型，分析摩擦过程中的力学特性，并利用影响矩阵法建立接触团簇的相互作用机制，1491黄仕平等：基一格林函数法的分形粗糙表面摩擦行为研究期第在接触团簇层面解释了局部滑移现象及其对界面摩擦行为的影响，主要结论如下.(1)分别从原子、接触团簇和界面3 个尺度分析摩擦行为，结果表明原子摩擦系数 接触团簇摩擦系数界面摩擦系数，摩擦系数从小尺度到大尺度逐渐减小.并且在摩擦过程中，摩擦力呈周期性波动，接触团簇并非同时达到最大摩擦力，而是发生局部滑移，先滑移的接触团簇会加速其它接触团簇的滑移.因此，整体滑移模型预测的摩擦力实际上是分子模拟结果的上限值.(2)利用影响矩阵法建立了接触团簇的相互作用机制.根据影响矩阵计算得到的最大摩擦力与GFMD模型的结果较为一致，说明影响矩阵法的正确性，而不考虑局部滑移影响计算得到的最大摩擦力比GFMD模型结果大2 0%，可见接触团簇之间的相互作用影响之大，不可忽略.(3)利用球状数值模型和弹性力学方法，探究接触团簇之间的距离和接触团簇面积对影响矩阵元素ki的影响.结果表明ki随着距离的增大而减小，大致呈反比趋势；k随着面积的增大而增大，大致呈线性趋势.参考文献1温诗铸，黄平.摩擦学原理.北京：清华大学出版社，2 0 0 2（WenShizhu,Huang Ping.Principles of Tribology.Beijing:Tsinghua Uni-versity Press,2002(in Chinese)2 Huang SP,Misra A.Micro-macro-shear-displacement behavior ofcontac-ting rough solids.Tribology 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Mechanics,2020,52(2):462-471(in Chinese)15周华，龙新华，孟光.基于分形理论的两粗糙表面接触的黏滑摩擦模型.振动工程学报，2 0 2 2,3 5(4):8 9 5-9 0 2(ZhouHua,LongXin-hua,Meng Guang.Viscoslip friction model of contact between tworough surfaces based on fractal theory.Journal of Vibration Engin-eering,2022,35(4):895-902(in Chinese)16 Kogut L,Etsion I.Elastic-plastic contact analysis of a sphere and arigid flat.Journal of Applied Mechanics,2002,69(5):657-66217 Sofuoglu H,Ozer A.Thermomechanical analysis of elastoplasticmedium in sliding contact with fractal surface.Tribology Interna-tional,2008,41(8):783-79618 Sellgren U,Bjorklund S,Andersson S.A finite element-based mod-el of normal contact between rough surfaces.Wear,2003,254(11):1180-118819 Nadimi S,Angelidakis V,Otsubo M,et al.How can the effect ofparticle surface roughness on the contact area be predicted?Com-puters and Geotechnics,2022,150:10489020阮晓光，麻诗韵，李玲等.微动接触中分形粗糙表面的