基于单元整体教学的数学作业设计——以一元一次方程的应用作业设计为例.pdf

22 福建中学数学 2023年第6期 12()()0=mjjyyyw，12()()0=nkkzzzw 因此，总样本的方差为 22221111()()()llmijiijsxxxwyylmn=+222111()()()mnnijkky wzzzw=+2221()xyl sl xwm slmn=+222()()zm ywn sk zw+221()xl sxwlmn=+2222()()yzm sywn szw+换个角度，也可以带领学生从方差的等价式出发，得到第二种证明方法：因为 222222111()llxiixiisxxxl sxl=+，同理 2221()mjyjym sy=+，2221()nkzkzk sz=+因此，总样本的方差为 222221111()lmnijkijksxyzwlmn=[phone]()()()=+xyzl sxm syn szwlmn 22221()()xyl sxm sylmn=+222()()zn szlmn w+2221()xl sxwlmn=+222222()()yzm sywn szw+通过上述证明，可以得到多组数据汇总后的总样本的方差公式：结论结论3 若总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：2xl x s，；2ym y s，；2zn z s，记总的样本平均数为w，方差为2s，则22221()xsl sxwlmn=+222222()()yzm sywn szw+上述分层随机抽样的总样本的方差公式对称优美，便于记忆学生不难将这几个公式推广到多层随机抽样的总样本的方差公式 总之，只有经常带领学生“打破砂锅问到底”，紧扣教材，引用好教材中宝贵的课堂教学设计的“源头活水”，把握住数学教材中难得的教学素材和带领学生探讨的机会，不放过任何细节，长期坚持，潜移默化，使学生真正做到对数学基础知识、基本公式“知其然，知其所以然”，必然实现学生的自身数学能力的提高与数学学科核心素养的提升 这样研究教材、利用教材、挖掘教材的高中数学课，才叫问君哪得清如许？书中自有“活水”来 参考文献参考文献 1陈江辉有效学习：既要让学生学会，更要让学生会学J高中数学教与学，2012（1）：26-28 2魏有莲，黄勇高中数学深度学习的特征与进阶J福建基础教育研究，2021（5）：53-55 3史宁中，王尚志普通高中数学课程标准（2017 年版 2020 年修订）解读M北京：高等教育出版社，2020 基于单元整体教学基于单元整体教学的数学作业设计的数学作业设计 以“一元一次方程的应用”作业设计为例 尚颖异 广东省深圳实验光明学校（518107）义务教育数学课程标准（2011 版）在对数学教学活动的实施建议中提出“注重课程目标的整体实现”1，即整体教学观数学教学要在整体视角下确定教学目标、把握课程内容、设计教学环节，其关键在于建立新旧知识的联结点，整合众多知识之间的连接并延伸这个知识网络，单元整体设计为实现这种连接提供了可能2 作业设计是单元教学设计中的重要环节，笔者以“一元一次方程的应用”作业设计为例，在下文中提出了五点单元整体教学的数学作业设计思路，以供参考 1 明确课程标准要求，确定作业目标明确课程标准要求，确定作业目标“一元一次方程的应用”是北师大版七年级数学2023年第6期 福建中学数学 23 上册第五章第 36 节的内容课标对其教学要求包含：能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型；通过用方程表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识因此，基于课标要求在分级细化的基础下制定了作业目标3，将“一元一次方程的应用”作业分为 4 次课时作业和 1 次模块作业，如表 1 所示 表 1 单元主题 课时 主题 作业目标 作业类型 一元一次方程的应用 水箱 变高 了 分析简单问题（体积、周长）中的数量关系，借助公式建立方程解决问题，了解用方程解决实际问题的基本步骤 课时 作业 打折 销售 分析稍复杂问题（打折销售）中的数量关系，进一步熟悉用方程解决实际问题的步骤和方法“希望工程”义演 借助表格分析复杂问题中的数量关系；归纳用方程解决实际问题的一般步骤，体会模型思想 追赶 小明 借助线段图分析复杂问题中的数量关系；发展文字语言、图形语言、符号语言之间的转换能力 回顾 与思 考 依托公式、表格及线段图等手段掌握建立方程的各种策略，体会方程的模型思想，发展数学思维 模块 作业 2 关注学生发展差异，设计分层作业关注学生发展差异，设计分层作业 单元作业设计也需考虑学生基础的差异性因此无论是模块作业还是课时作业的环节均为进阶性设计，包含：“基础巩固能力强化拓展提升”三个环节分层作业设计具有两个特点：第一是同类型问题在不同环节的反复考查，夯实知识基础，避免在后续深入学习中出现更多的障碍与困难；第二是同题型不同题目设计的难度递进，兼顾了不同学生的作业需求，让层次不同的学生在作业中都能有所收获以“课时作业一”中的三题为例：例例 1 基础巩固基础巩固 一个长方形的周长为30cm，这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm，就可以变成一个正方形，设长方形的宽为cmx，可列方程（）A2(30)1xx=+B2(15)1xx=+C2(30)1xx+=+D2(15)1xx+=例例 2 能力强化能力强化 用 5 个大小相同的小长方形拼成了如图 1 所示的大长方形，若大长方形的周长是 28，则每个小长方形的周长是（）A6 B8 C10 D12 图 1 例例 3 拓展延伸拓展延伸 如图 2，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片不重复地放在一个底面为长方形的盒子底部，其中小长方形卡片较短边长为a厘米，盒子底面长为10厘米，宽为5a厘米，盒子底面中未被卡片覆盖的部分用阴影A B，表示，若阴影A和B的面积相等，则a的值为_厘米 图 2 设计意图设计意图 从以上三题中可以看出，同样是对长方形内部数量关系的考查，其难度是在逐步增加的从“基础巩固”的简单直接的数量关系（正方形边长相等），给出规定的未知数（设长方形的宽为cmx）到“能力强化”的复杂间接数量关系（通过观察图片获得“小长方形长是宽的两倍”的条件），从“能力强化”形象数量关系（已知条件均为数）到“拓展延伸”的抽象数量关系（已知条件包含字母）对学生的数学抽象能力和分析能力的层次要求逐步提升，体现了作业设计的结构性、关联性与递进性 3 注重数学思维发展，设计单元系列题型注重数学思维发展，设计单元系列题型 单元作业设计要体现“整体性”特征及其对思维发展的促进，使得学生通过作业的完成，既能发现已学知识点的问题，又能感知相关考点之间的联系性和连续性，形成系列性题型此类综合性题目多在模块作业中出现以“模块作业”中的一题为例：例例 4 能力强化能力强化 已知A B，两地相距 500 千米，甲、乙两车分别从A B，两地同时出发，甲速每小时60千米，乙速每小时40千米，请按下列要求列方程解题：（1）若同时出发，相向而行，多少小时相遇？（2）若同时出发，同向而行，多少小时相遇？（3）若同时出发，相向而行，多长时间后两车相距100km？（4）若同时出发，同向而行，多长时间后两车A B c 105aa 24 福建中学数学 2023年第6期 相距 100 千米？设计意图设计意图 从此题可以看出，相遇及追及问题的知识考查是在同一情境下进行的，体现了知识的连续性，以问题串的形式出现，引领学生实现从部分到整体掌握行程问题，分解研究问题的难度此外，第（3）问和第（4）问是对此类问题的延伸，学生易出现漏解情况：相遇问题中相遇前后两种情况及追及问题中追上前后两种情况因此，此题型每变化一个条件（方向、距离等），对本单元已学习的模型都是进一步的巩固和认识，有利于发展学生的数学思维 4 立足核心素养培养，设计开放性问题立足核心素养培养，设计开放性问题 单元作业的设计需要体现对核心素养的培养数学学科的核心素养的培养即是在综合化、复杂化的情境中发散思维，探究知识的本质和自身解决问题的能力4 因此，在多个课时作业中都设计了与现实问题相关的“方案选择”题型 开放性问题的设计，有助于引导学生从不同的角度用数学眼光去观察现象，同时也为学生核心素养的培养提供了环节支撑以“课时作业二”中的一题为例：例例 5 拓展延伸拓展延伸 某牛奶加工厂有鲜奶 9 吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润 500 元；制成酸奶销售，每吨可获取利润 1200 元；制成奶片销售，每吨可获利润 2000 元该工厂的生产能力是：如制成酸奶每天可加工 3 吨，制成奶片每天可加工 1 吨，受人员限制，两种加工方式不可同时进行，受气温条件限制，这批牛奶必须在 4 天内全部销售或加工完毕 为此，该厂某领导提出了两种可行方案：方案方案 1 尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；方案方案 2 将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好 4 天完成 你认为选择哪种方案获利最多，为什么？设计意图设计意图 弗赖登塔尔认为数学来源于现实，存在于现实，并且应用于现实然而多数学生在遇到已知条件多、情境复杂的题目时，无法快速获取关键信息、建立等量关系进行方程求解从此题可以看出，设计意图在于通过鲜奶加工情境帮助学生构造数学现实，学会筛选关键条件，掌握用表格、线段图等手段简化题目，感悟策略选择，并在此基础上发展数学运算、数学建模、数据分析等核心素养 5 重视学生自主知识建构，设计建构性作业重视学生自主知识建构，设计建构性作业 一个好的思维支架能帮助学生更好的对单元知识进行整理与归纳因此，在模块作业中设计了导语、结语两个板块 导语导语 本单元学习接近尾声，请你试着用自己喜欢的方式（如思维导图、表格式、图文结合等）将单元知识点进行归类整理，形成个人学习单 设计意图设计意图 导语板块的设计意图在于引导学生自主复习，学生自主选择通过思维导图、表格式、图文结合等方式回顾单元学习中分析数量关系的多种策略这个过程让学生的思考过程得以外化，在自主建构本单元知识的过程中，通过类比、分类、转化等多种方式促进了学生的思维发展 结语结语 在本单元中，我们接触了很多类型的方程应用问题，比如：打折销售、行程问题、工程问题等等，在分析和思考实际问题中数量关系时，运用了公式、表格及线段图等各种策略学习完本单元，你还有什么疑问和困惑呢？请在下方横线中写出，老师期待与你进一步的交流！设计意图设计意图 结语部分给学生提供了完善知识建构的平台，学生在对单元学习内容进行整理反思后，可以提出需要老师答疑解惑的题目或问题，教师在批改作业和课堂讲评时给予有针对性的及时反馈和评价，建立了与学生的良性互动，将知识建构的最后一步进行了完善 综上所述，基于单元整体教学的数学作业设计是一个复杂的任务，需要在单元教学前做足够的准备和充分的预案教师应从课标要求出发，纵向确立作业分级式目标，在作业设计中考虑学生差异，借助分层作业设计、单元系列题型、开放性问题及建构性作业，达成知识与技能的掌握，发挥作业的功能价值的同时，助力学生数学思维的发展、知识的自主建构，整体提升数学核心素养 参考文献参考文献 1中华人民共和国教育部义务教育数学课程标准M北京师范大学出版社，2011 2王红权构建“教学评”一致的初中数学课堂教学读浙江省初中数学学科教学基本要求（2021 版）的思考J教学月刊中学版（教学参考），2022（1）：38-42 3刘颖数学单元作业设计的思考与实践J中小学数学（高中版），2021（2）：114-116 4陈丽达，吴元帅浅论核心素养下单元教学的作业设计以“幂、指数与对数”为例J上海中学数学，2021（2）：10-14