基于改进增广径向基的固体姿轨控发动机推力快速预示.pdf

2023 年 8 月第 44 卷 第 8 期Aug.2023Vol.44 No.8推进技术JOURNAL OF PROPULSION TECHNOLOGY2205062-1基于改进增广径向基的固体姿轨控发动机推力快速预示*张杰，李国盛，文谦，王东辉，武泽平，张为华（国防科技大学 空天科学学院，湖南 长沙 410073）摘 要：为实现沉积影响下的喉栓式固体姿轨控发动机推力快速预示，提出一种融合各向异性和快速交叉验证的增广径向基近似建模方法。基于正交条件构建混沌多项式增广的径向基混合模型，并提出基于样本局部密度的各向异性方法，进一步提高混合模型精度。采用递归演化的拉丁超立方试验设计生成样本点，根据通用交叉验证误差求解过程中高阶矩阵快速求逆方法，降低模型训练的计算复杂度。与其他常用代理模型方法相比，本文提出的方法具有更好的精度和稳定性。将本文方法应用于固体姿轨控发动机推力快速预示，预示结果与仿真结果偏差控制在2.5%以内，计算耗时由小时级降低至秒级。关键词：固体姿轨控发动机；增广径向基函数；各向异性；代理模型；交叉验证；推力预示中图分类号：V231.1 文献标识码：A 文章编号：1001-4055（2023）08-2205062-09DOI：10.13675/ki.tjjs.2205062Fast Thrust Prediction Method for Solid Divert and Attitude Control System Based on Improved Augmented Radial Basis FunctionsZHANG Jie，LI Guo-sheng，WEN Qian，WANG Dong-hui，WU Ze-ping，ZHANG Wei-hua（College of Aerospace Science and Engineering，National University of Defense Technology，Changsha 410073，China）Abstract：In order to realize the rapid prediction of the thrust of solid divert and attitude control system（SDACS）with pintle under the influence of deposition，this paper proposes an augmented radial basis function metamodeling method based on anisotropic and fast cross validation.Firstly，a polynomial chaos expansions augmented radial basis functions metamodel is constructed based on orthogonal conditions，and an anisotropic method based on local density of samples is proposed to further improve the accuracy of the metamodel.Secondly，the recursive evolution Latin hypercube design is used to generate sample points.According to the fast inversion method of high-order matrix in the process of solving the universal cross-validation error，the computational complexity of model training is reduced.Compared with other common metamodels，the proposed method has better accuracy and stability.The proposed method is applied to the thrust fast prediction of solid divert and attitude control system.The deviation between the predicted results and the simulation results is controlled within 2.5%，and the calculation time is reduced from hour level to second level.*收稿日期：2022-05-18；修订日期：2022-07-19。基金项目：国家自然科学基金（52005502）；国防科技大学科研计划（ZK19-11）。作者简介：张杰，硕士生，研究领域为固体姿轨控发动机数值模拟。通讯作者：李国盛，硕士，工程师，研究领域为固体火箭发动机优化设计。E-mail：L引用格式：张杰，李国盛，文谦，等.基于改进增广径向基的固体姿轨控发动机推力快速预示 J.推进技术，2023，44（8）：2205062.（ZHANG Jie，LI Guo-sheng，WEN Qian，et al.Fast Thrust Prediction Method for Solid Divert and Attitude Control System Based on Improved Augmented Radial Basis Functions J.Journal of Propulsion Technology，2023，44（8）：2205062.）推进技术2023 年第 44 卷 第 8 期2205062-2Key words：Solid divert and attitude control system；Augmented radial basis functions；Anisotropy；Surrogate model；Cross validation；Thrust prediction1 引 言代理模型指在分析和优化设计中代替高精度复杂数值仿真的近似模型1，目前已经发展形成了包括径向基函数（Radial basis function，RBF）2、Kriging 模型3、支持向量基回归模型（Support vector regression，SVR）4、多 项 式 混 沌 展 开（Polynomial chaos expansions，PCE）5-6等多种方法。代理模型的精度很大程度上取决于模型函数、参数设置以及抽样方法的选取，不同代理模型应用于不同特点的问题所表现出的精度差异明显。因此，融合不同代理模型的特点构建混合代理模型以提高模型的预测精度和适用性是目前该领域的研究热门。近年来，将局部近似和全局近似相结合的混合代理模型受到越来越多的关注。Schoebi等7将 PCE作为 Kriging 的全局基函数，在试验样本数充足时可以实现较高精度的预测。Kai等8基于正交多项式和高斯基提出混合核函数回归支持向量基，并将其用于全局灵敏度分析。Wu 等9基于正交条件提出了PCE增广的 RBF（Augmented RBF，ARBF）混合近似模型。RBF擅长捕捉模型的局部信息，而 PCE适合低阶的全局近似，所以在样本集较小的情况下该增广径向基方法性能优越。在本文采用的 ARBF方法中，全局基由自适应稀疏后的 PCE 组成，并采用基于局部密度的各项异性方法以进一步提高局部基 RBF 的精度。并且引入递归演化拉丁超立方试验设计（Recursive evolution Latin hypercube design，RELHD）和快速交叉验证算法（Fast cross validation algorithm，FCV）以提高模型的构建效率。本文将建立的代理模型成功应用于固体姿轨控发动机推力预示。固体姿轨控发动机具有结构简单、响应速度快、生产成本低等特点10，实现固体姿轨控发动机推力精确调控是提高导弹机动性能以及制导精度的关键11。推力调控过程中，受到装药燃烧所产生颗粒物沉积的影响，发动机各喷管实际等效喉部面积与理想面积存在差异，造成实际推力与预期推力偏差明显。因此，在考虑沉积影响下，实现调节过程中发动机推力的精确快速预示，对提高武器作战效能具有重要意义。目前，姿轨控发动机推力测试的主要手段为试验分析12。通过试验可以获得发动机的真实推力，但该方法耗时长、成本高、过程复杂，难以多次进行。相比之下，采用数值仿真计算发动机推力虽然存在一定误差，但可以有效降低试验成本，提高推力计算效率。然而在燃烧室压强变化并耦合不同沉积情况下，数值仿真的计算代价仍难以接受。针对这一问题，在拥有一定的模拟数据后，引入代理模型可以降低计算资源的消耗，大幅提高推力求解效率13。本文基于融合各向异性和快速交叉验证的增广径向基近似建模方法，建立针对已知沉积规律的喉栓式固体姿轨控发动机推力快速预示模型，实现姿轨控发动机推力的快速预示。2 改进增广径向基近似模型方法2.1 各项异性增广径向基模型2.1.1 增广径向基近似模型 径向基函数可以准确预测非线性度较高的复杂系统，混沌多项式更适合于低阶模型的全局预测。为融合 PCE14-15和 RBF两者优点，增广径向基函数构建如下f(x)=i=1nii(x)+j=1mjPj(x)（1）式 中i和j分 别 为 RBF 和 PCE 的 系 数，i(x)和Pj(x)分别为相应的基函数。i(x)为 Gauss 基函数，Pj(x)是与样本概率密度函数正交的多项式。i(x)=exp(-x-xi2/c2i)（2）式中 ci为第 i个训练样本点对应的 Gauss 基函数的形状参数，决定了训练样本点对周围空间的影响衰减程度。求解增广径向基模型的系数时，需以式（3）作为插值条件，同时结合式（4）中的m个附加条件。f(xi)=yi,i=1,2,n（3）i=1miP*ij=0（4）联立式（3）和式（4），通过求解式（5）来计算系数和。PP*O =y0（5）式中P和P*分别为Pj(x)和P*ij组成的系数矩阵。2.1.2 基于各向异性的 ARBF增强方法由于样本点空间分布的不均匀性，根据样本密度选择合适的形状参数能够有效提高近似模型精基于改进增广径向基的固体姿轨控发动机推力快速预示第 44 卷 第 8 期2023 年2205062-3度16。采用样本局部密度来表征样本的稀疏程度，其表达式为(x)=i=1Ni(x)（6）i(x)=exp(-x-xi22)（7）式中与形状参数类似，表示样本点对样本局部密度响应的影响程度。为充分利用样本点信息，基于 Gauss基函数随形状参数的衰减特点，令训练样本点影响范围与训练样本点局部密度成反比，即Vxi/Vxj=(xj)/(xi)（8）式中Vxi，Vxj分别为训练样本点 xi和 xj的影响体积。令所有训练样本点的影响体积之和为 1，求得各个训练样本点对应的形状参数基准核宽度为c ij=Vijn,(i=1,2,n;j=1,2,d)s.t.i=1nj=1dVij=1（9）核宽度表示从基函数到其周围区域影响的衰减率，由于样本分布不均匀，需要根据样本的稀疏程度来选取不同的核宽度。此外，模型对每个维度的敏感性可能不同，为了提高 ARBF 的局部细节捕获能力，提出一种基于样本局部密度的各向异性方法，以改善混合模型的 RBF 项。改进后的样本局部密度可以通过式（10）计算。(x)=i=1Ni(x)i(x)=e-x-xic2（10）式中c为高斯核的形状参数。c=1nd（11）式中 n是样本数量，d是模型维度。根据样本的局部密度，可通过式（12）计算参考核宽度。c i=minin dmin (i=1,2,n)（12）式中min表示最小样本密度，dmin表示两个样本之间的最小距离。c i表示每个样本的宽度变化趋势，乘以比例因子可以适应不同问题。鉴于不同变量的不同敏感性，每个维度的比例因子并不相同，最终的核宽度为cij=jc ij (j=1,2,d)（13）因此，式（2）的各项相异性表达式可以写为i(x)=exp(-j=1dxj-xi,j2c2ij)(i=1,2,n)（14）最终得到的各向异性 ARBF的形式为f(x)=i=1nwii(x)+j=1mjPj(x)（15）2.2 基于RELHD和FCV的模型快速构建2.2.1 递归演化 LHD方法拉丁超立方体设计（Latin hypercube design，LHD）于 1979 首次提出17，通常与各种均匀性标准和排列优化算法相结合，构建优化拉丁超立方设计（Optimal latin hypercube design，OLHD）。为提高模型精度，在工程实践中往往需要在对样本集进行扩充。然而，现有的 OLHD方法多为一次性生成或指数型扩充，造成计算资源的浪费。为兼顾设计空间均匀性和计算效率，本节提出采用一种序列递归演化 LHD 试验设计方法用于样本的生成。该方法能以较小的计算代价实现样本的线性序列扩充，同时兼顾新增样本和已有样本的空间均匀性。该方法主要由样本空间的递归划分以及基于排列信息继承的设计更新方法两部分组成。当给出样本数 n时，可以将其拆分为两个相同或相邻整数之和。显然，所得的两个整数也可以进行同样的拆分。假设 n个样本通过 k次拆分得到 2k个子样本集，子样本数的最大值、最小值分别用kmax和kmin表示，则其前后项关系式为kmax=(k-1)max+12,kmin=(k-1)min-12（16）式（16）是典型的递归序列，可求得通项表达式为kmax=n-12k+1,kmin=n+12k-1（17）因此，经过 k 次递归拆分，子样本数量之间的最大差值为kmax-kmin=2-12k-1 limk (2-12k-1)=2（18）由式（18）可知，子样本数量之差为 1 或 0，因此，可将子样本数表示为 p 或 p+1。同理，样本空间也可以进行同样的递归拆分。OLHD 方法多采用列元素交换来更新设计矩阵，但随着维度和样本数量的增加，这一更新操作的效率急剧下降。为了解决这一问题，提出了一种基于排列信息继承（Permutation information inheritance operation，PIO）的列操作更新方法。如式（19）所示，LHD 中任意两列Ci和Cj是XLx XU的整数排列，Cj可以通过求解方程（20）获得。推进技术2023 年第 44 卷 第 8 期2205062-4Ci=x1i,x2i,xniTCj=x1j,x2j,xnjT（19）Cj=TijCi（20）式中Tij是大小为N N的变换矩阵。通过上述方法，LHD 的每一列都与变换矩阵的第 i列相关。为了方便起见设置 i=1，则整个设计与第一列相关。LHD 的排列信息将通过保持变换矩阵不变来继承。保持变换矩阵不变，可以通过在第一列上执行列元素交换来更新整个 LHD，将该方法命名为排列信息继承操作，以图 1为例，显然，通过 PIO 方法，LHD各列均得到更新。RELHD的具体步骤如下：步骤一：将样本空间进行递归拆分，直到每个样本空间含有 p或 p+1个样本，此时若共分割 k次，则共有2k样本子空间；步骤二：通过 OLHD 方法构造规模为(p+1)d的初始设计；步骤三：删除离设计中心最远的样本，得到含有p个样本点的演化矩阵A1best；步骤四：用相应数量的种子（p或 p+1）填充A1best，以A1best的第一维排列为设计变量，保持A1best的各列之间的变换关系不变，直至当前设计空间均匀性能达到最佳。步 骤 五：重 复 步 骤 四，直 到 获 得 所 需 数 量 的样本。为了更直观地展示，以含有 81 个样本的 LHD 构造 RELHD。参数 p 设置为 20，并通过 ESE18生成含有 21 个样本的初始设计，如图 2（a）所示。其余子样本的序列展开如图 2（b）（d）所示，图像中增加的点为序列扩充的采样点。2.2.2 ARBF的快速交叉验证算法 交叉验证（Cross validation，CV）是一种有效求解RBF 泛 化 误 差 的 估 计 方 法。一 般 的 K-折 CV 或LOOCV 需要反复评估核宽度，使得计算成本难以接受。为解决上述问题，本文采用一种快速交叉验证误差估计方法：令 Lo为 o 维的方阵，其中 o=m+n。将 Lo按照下式进行分块，即Lo=PP*Oo o（21）通过左乘变行，右乘变列的原则对原系数矩阵 Lo实施行列变换，将应作为测试子集的第 i组训练样本子集与第 1组训练样本子集换位后，得到新的系数矩阵L*o。I（i，1）定义为第 i组训练样本子集与第 1 组训练样本子集交换后得到的矩阵，Lo与L*o关系为I(i,1)LoI(i,1)=L*o（22）1,11,i1,ki,1i,ii,kk,1k,ik,kn nPn mP*m nOm m i,ii,1i,k1,i1,11,kk,ik,1k,kn nPn mP*m nOm m（23）系数矩阵 Lo中的 被划分为 k组后，设当前测试子集内有 r个样本，将第 i组训练样本子集与第 1组训练样本子集交换位置，矩阵（23）中的每个元素代表一个 rr的小矩阵，例如 i，i表示数据集 中第 i组数据。对式（22）求逆得I(i,1)-1L-1oI(i,1)-1=(L*o)-1（24）Fig.2A 2-dimensional example of RELHDFig.1Perform PIO in a 44 LHD基于改进增广径向基的固体姿轨控发动机推力快速预示第 44 卷 第 8 期2023 年2205062-5由I(i，1)*I(i，1)-1=I，可以得到下式L-1o=I(i,1)L*o-1I(i,1)（25）将L*o分为 4块，即L*o=ABCD，留出原矩阵的最前面的 r行 r列。其中，A 是 r阶方阵，B 是 r（o-r）阶矩阵，C是（o-r）r阶矩阵，D是（o-r）阶方阵，则(L*o)-1=ABCD-1=A1B1C1D1（26）由于L*o由 Lo行列变换所得，因此 A、B和 C包含测试样本的数据，D 为剩余样本训练近似模型的系数矩阵(L*o-r)-1。通过矩阵的求逆公式可知(L*o-r)-1=D-1=D1-C1A-11B1（27）采用式（27）即可直接计算出L*-1o-r，运用 r阶矩阵求 逆 替 代 了(o-r)阶 矩 阵 直 接 求 逆 的 过 程，由 于r o，因此转化后的矩阵求逆的计算量会大幅降低。快速交叉验证的误差y可以表示为y=Ypre,r-Yr=-(L*r r)-1)-1r（28）式中 Ypre，r为近似模型在 r个测试样本处的预测值；Yr为测试样本真实输出；r为测试样本点对应的 r个权重系数。误差的具体推导过程可参考文献 19。2.3 数值算例为了验证本文所提出代理模型的有效性，分别对四个数值算例进行测试，并与目前常用方法进行比较。数值算例的详细信息如表 1 所示。为了揭示问题维度对代理模型近似精度的影响，将训练样本数设置为设计变量的 10 倍和 20 倍。所有测试代理模型的训练样本均由 RELHD方法生成。为了全面评估模型的准确性，将测试样本数设置为问题维度的104倍。采 用 测 试 样 本 的 均 方 根 误 差（Root mean square error，RMSE）评估不同代理模型的性能，每个测试重复 10次，以降低随机误差的影响。RMSE=1ni=1n()y(xi)-y(xi)2（29）式中xi代表第 i个样本点，n是测试样本大小，y(xi)是样本xi的真实响应，而y(xi)是代理模型获得的预测输出。试验结果如表 2 和图 3 所示，对 ARBF 与其他代理模型测试 RMSE值进行比较，随着训练样本量的增长，大多数代理模型可以更接近真实模型，而 ARBF方法在不同基准函数的精度和稳定性方面都比其他常用的代理模型技术表现出更好的性能。同时，近似精度随着问题维数的增加而降低。对于在高度非线性的基准函数中，大多数代理模型无法逼近真实模型，而 ARBF 可以得到较好的结果。这表明ARBF 代 理 模 型 在 逼 近 非 线 性 模 型 时 具 有 卓 越性能。Table 1 Four benchmark test functionsFunctionDetpep10expGriewangkDetpep108dSchwefelFunction expressionf1(x)=100(e-2/x1.751+e-2/x1.52+e-2/x1.253)f2(x)=i=1dx2i4000-i=1dcos()xii+1f3(x)=4(x1-2+8x2-8x22)2+(3-4x2)2+16x3+1(2x3-1)2+i=48i ln(1+j=3ixj)f4(x)=418.9829d-i=1dxi()sin|xiVariable rangexi 0，1xi-600，600 xi 0，1xi-500，500 d35810Table 2 Test RMSE results of different metamodelsFunctionDetpep10expGriewangkDetpep108dSchwefeln10d20d10d20d10d20d10d20dARBF0.3680.0970.6980.1460.6490.1770.2120.083RBF0.9200.3221.3470.5017.8622.9015.3961.114Kriging0.5730.1912.1770.8931.0320.2746.8302.722PCE3.5600.9321.1070.4416.6913.3413.8741.242SVR1.1600.4872.8440.9395.8641.0786.1232.476推进技术2023 年第 44 卷 第 8 期2205062-63 固体姿轨控发动机推力快速预示模型3.1 固体姿轨控发动机沉积假设在固体姿轨控发动机实际试车过程中发现，装药燃烧产物与绝热层烧蚀产物会沉积在喷管喉部和喉栓头部，由此导致发动机实际等效喉部面积与理论喉部面积不符，造成发动机推力偏差。根据沉积的特点，本文假设颗粒平均地沉积在喷管喉部与喉栓表面，即平行层沉积，如图 4 中灰色阴影部分。喷管和喉栓沉积量由实验设计给出，通过程序计算可得到沉积后的型面曲线。3.2 固体姿轨控发动机推力预示方法喉栓式固体姿轨控发动机推力理论计算公式为F=CFpcAt（30）式中 F 为推力，CF为推力系数，pc为燃烧室压强，At为喷管等效喉部面积。考虑沉积效应后，等效喉部面积与沉积物在喷管喉部以及喉栓头部的沉积量有关。本文所构建的考虑沉积后的喉栓式固体姿轨控推力物理模型为：F=F(pc,hN,hpintle,dP)（31）式中hN为喷管沉积量，hpintle为喉栓沉积量，dP为喉栓位移。针对已知沉积规律的固体姿轨控发动机进行推力快速精确预示，采用试验设计方法生成在空间中均匀分布的训练样本点集，通过 Fluent计算得出对应真实推力（即真实输出响应）。基于训练样本集，采样提出的增广径向基近似建模方法，快速构建喉栓式固体姿轨控推力快速预示模型，具体步骤如下：步骤一：确定考虑沉积效应后的喉栓式固体姿轨控推力物理模型、设计变量、约束条件以及设计空间。步骤二：通过 RELHD 方法在设计空间内进行采样，计算各采样点处的真实响应，得到训练样本。步骤三：基于训练样本，建立喉栓式固体姿轨控发动机推力的增广径向基近似模型。步骤四：将模型中径向基项形状参数的确定问题，转化为对各向异性缩放系数的优化。步骤五：采用快速交叉验证算法求解缩放系数，完成推力快速预示模型的构建。步骤六：基于所构建代理模型，进行喉栓式固体姿轨控发动机推力的快速预示。3.3 结果与讨论为了验证本文数值仿真方法的准确性和有效性，选取了文献 20 中喉栓式发动机低压和高压两个不同工作状态进行验证计算，计算结果如表 3 所示，低压和高压状态推力与试验结果相对误差都在Fig.4Diagram of nozzle depositionFig.3Boxplots of RMSE results of different metamodels基于改进增广径向基的固体姿轨控发动机推力快速预示第 44 卷 第 8 期2023 年2205062-75%以内，满足计算要求。高压状态下的流场分布云图如图 5所示。在本文的数值仿真中，采用二维模型进行计算。采用压力入口，总压与喉栓位置及沉积厚度有关，并由零维内弹道给出，总温为 3200K。壁面为绝热无滑移壁面，其型面根据输入条件可自动变化并自动进行网格划分与计算。出口为压力出口，压强 101325Pa，环境温度 288.15K。图 6 为不同网格数下喷管中轴线上压强分布曲线的对比，可以看出 7 万网格和 14 万网格的压强分布曲线几乎重合，而 3.5 万网格的压强分布曲线与前两者总趋势相近但在局部有一定偏差，因此本文选用 7万左右网格进行数值仿真，该条件下流场分布云图如图 7所示。为了进一步体现沉积效应的影响，选取数值模拟中两组喉栓运动至不同位置的代表性结果，分别对比在考虑沉积效应和不考虑沉积效应影响下的实际推力Fa偏差，如表 4所示。采用 200组仿真数据作为训练样本，使用本文所提出的融合各向异性局部密度和快速交叉验证的增广径向基方法，构建固体姿轨控发动机推力预示模型。在选择缩放系数时，采用 5-折交叉验证，每折中应有 40 个数据。在单次交叉验证过程中，测试样本数为 160，验证数据为 40个样本。在推力预示模型基础上完成 20组任意喉栓位移及不同沉积量下的推力预示，并对比仿真数据以验证预测精度。所构建模型的 RMSE 为 0.0029，20 组数据相对误差 Er如表 5 和图 8所示。结果显示，预测推力 Fp较于真实推力的相对误差均在 2.5%以内，从而验证了所提出方法的精准性。此外，单次 CFD 计算平均耗时为 0.5h，而采用预示模型仅需 0.2s，验证了推力预示模型的高效性。Table 4 Effect of deposition on thrusthN/mm0.1400.170hp/mm0.2600.300dp/mm-0.5-0.55050pc/MPa6.786.7817.6517.65Fa/N6419.556542.681149.492248.62Fig.6Grid independence verificationFig.5Cloud diagram of pressure and Mach number distributionTable 3 Thrust comparisonPressure/MPa412Testthrust/N350820Numerical calculation/N365855Relative error/%4.294.26Fig.7Cloud diagram of flow field distribution推进技术2023 年第 44 卷 第 8 期2205062-84 结 论本文通过研究，得到如下结论：（1）提出基于局部密度的各向异性方法，进一步提高了增广径向基代理模型的局部精度。并与其他四种常见代理模型对比，结果表明所提出的方法其模型精度具有显著优势，能够满足工程实际需求。（2）提出了基于空间递归拆分和排列信息继承的递归演化拉丁超立方试验设计方法，以较小的计算代价实现样本的线性序列扩充，同时兼顾新增样本和已有样本的空间均匀性。此外，配合针对增广径向基函数的快速交叉验证算法，大幅度降低了模型构建的计算复杂度。（3）将本文建立的近似建模方法应用于固体姿轨控发动机推力快速预示。大幅度提高发动机推力计算效率，推力计算时间较 CFD 仿真由小时级降至秒级。模型预示推力精度较高，预示推力与实际结果最大相对误差为 2.5%。致 谢：感谢国家自然科学基金和国防科技大学科研计划的资助。参考文献 1 Han Z H，Goertz S.A Hierarchical Kriging Model for Variable-Fidelity Surrogate Modeling J.AIAA Journal，2012，50（3）：1885-1896.2 Mongillo M.Choosing Basis Functions and Shape Parameters for Radial Basis Function Methods J.Siam Undergraduate Research Online，2011，4（4）.3 Simpson T W，Mauery T M，Korte J J，et al.Kriging Models for Global Approximation in Simulation-Based Multidisciplinary Design OptimizationJ.AIAA Journal，2001，39（12）：2233-2241.4 Yan C，Yin Z，Shen X，et al.Surrogate-Based Optimization with Improved Support Vector Regression for Non-Circular Vent Hole on Aero-Engine Turbine DiskJ.Aerospace Science and Technology，2019，96：105332.5 Sudret B.Global Sensitivity Analysis Using Polynomial Chaos ExpansionsJ.Reliability Engineering&System Safety，2008，93（7）：964-979.6 王文杰.基于高精度流场预测的气动外形优化方法Table 5 Relative errors of thrust predictionNo.1234567891011121314151617181920hN/mm0.47780.37200.24440.32780.36670.01670.51670.31110.51110.52220.38890.06110.12800.41110.33300.13330.52780.02780.18330.2333hP/mm0.30840.37350.16940.11730.26500.34750.12600.13030.14330.24800.07380.11290.03910.16510.34310.29970.25600.30400.02170.2350dP/mm4.315532.034229.980911.50189.448626.387834.600726.901110.988517.661532.547516.634915.608324.334533.060816.121631.00767.395310.475225.8745pc/MPa19.266012.228716.92024.409616.398917.18098.579812.489424.47878.840413.792614.31382.32453.62779.883011.707410.404323.175517.702111.4468Fa/N18179.85036841.508510841.89444659.214215351.314012671.27914318.89938907.687421870.00957608.46337886.506313154.50222779.78023094.77375401.038010737.03976027.415422746.348716952.25798487.5396Fp/N18190.52496870.997410882.12914643.583515324.318012553.31104259.80478930.162621723.35807495.38277893.108813105.32602732.49583158.45195420.905610738.17955997.961622793.565616944.47148495.8312Er/%0.05870.43100.37110.33550.17590.93101.36830.25230.67061.48620.08370.37381.70102.05760.36780.01060.48870.20760.04590.0977Fig.8Relative errors of thrust prediction基于改进增广径向基的固体姿轨控发动机推力快速预示第 44 卷 第 8 期2023 年2205062-9D.长沙：国防科技大学，2018.7 Schoebi R，Sudret B，Wiart J.Polynomial-Chaos-Based Kriging J.Statistics，2017，5（2）：55-63.8 Kai C，Lu Z，Wei Y，et al.Mixed Kernel Function Support Vector Regression for Global Sensitivity Analysis J.Mechanical Systems&Signal Processing，2017，96（11）：201-214.9 Wu Z，Wang W，Wang D，et al.Global Sensitivity Analysis Using Orthogonal Augmented Radial Basis FunctionJ.Reliability Engineering&System Safety，2019，185：291-302.10 文谦，杨家伟，武泽平，等.固体姿轨控发动机喉栓运动时序实验设计方法 J.推进技术，2022，43（9）：210249.（WEN Qian，YANG Jia-wei，WU Ze-ping，et al.Time-Sequence Experiment Design for Pintle Motion Scheme of Solid Divert and Attitude Control System J.Journal of Propulsion Technology，2022，43（9）：210249.）11 曾鹏，钟凌伟，肖利杰，等.国外动能武器姿轨控动力系统的发展现状及趋势 C.西安：中国航天第三专业信息网第三十七届技术交流会暨第一届空天动力联合会议，2016：723-731.12 Heo J，Jeong K，Sung H G.Numerical Study of the Dynamic Characteristics of Pintle Nozzles for Variable Thrust J.Journal of Propulsion and 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