基于高考试题的圆锥曲线切线问题教学实践——2021年高考理科数学乙卷21题探析.pdf

基于高考试题的圆锥曲线切线问题教学实践 年高考理科数学乙卷 题探析 甘肃省民乐县第一中学赵思博张国定摘要:笔者基于 年高考全国乙卷理科第 题(解析几何题),探究抛物线中阿基米德三角形的面积最值问题,以单元教学设计的思路,通过纵向探究和类比拓展,追本溯源,推导关于抛物线和椭圆切线的一般结论,并对问题进行变式解析关键词:圆锥曲线;抛物线;切线方程;切点弦方程本文系甘肃省教育科学“十四五”规划 年度教改实验专项课题“张景中教育数学思想导向下初高中衔接教学的实践研究”的阶段性成果(G S GH B Z J Z )一、试题再现(高考理科数学)已知抛物线C:xp y的焦点为F,且F与圆M:x(y)上点的距离的最小值为()求p;()若点P在M上,P A,P B是C的两条切线,A,B是切点,求P A B面积的最大值二、解法探析解析:小问()答案为p(过程略)下面重点论述小问()的解答在解题中往往基于一些已知条件和结论产生联想,对问题进行思考分析,找到解决的方法和途径此题涉及抛物线xp y的切线及切点弦,为此,先给出抛物线xp y的切线及切点弦方程的两个结论引理直线A B与抛物线xp y交于不同两点A(x,y),B(x,y),则A,B两点处的切线方程分别为x xp(yy),x xp(yy)引理过抛物线xp y外一点P(x,y)作抛 物 线 的 两 条 切 线,切 点 分 别 为A(x,y),B(x,y),则切点弦A B的方程为xxp(yy)证明:因为两条切线都过点P(x,y),则xxp(yy),xxp(yy),又两点确定一条直线,故切点弦A B的方程为xxp(yy)以引理为出发点,有的放矢处理问题,写出切点弦A B的方程,利用弦长公式表示弦长A B,用点到直线的距离公式表示三角形的高,进而表示面积,思路清晰,运算顺畅思路:设A(x,y),B(x,y),P(x,y),由()知抛物线C:xy,即yx,求导得y x,则直线P A:yyx(xx),即yxxy,即xxyy,同理,直线P B:xxyy由于这两条直线都过点P(x,y),则xxyyxxyy,所以直线A B:xxyy,由x xyyxy,可得xxxy,所以有xxx,xxy,|A B|xx yxxy,点P到直线A B的距离d|xy|x,则SP A B|A B|d(xy),又知点P在M上,则xy(y)y(y),由已知y,当y时,(xy)m a x,所以(SP A B)m a x 一些综合问题来源于基本题目,要对其进行深入认识和剖析,就要对问题产生的背景和源头进行再探讨抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形,被称为阿基米德三角形试题考查的背景正是阿基米德三角形问题下面给出两个抛物线中的常用结论性质直线A B与抛物线xp y交于不同两点A(x,y),B(x,y),则A,B两点处的切线交于点Pxx,xxp上海中学数学 年第期证明:过点A的切线为P A:x xp(yy),过点B的切线为P B:x xp(yy),由可得Pxx,xxp性质直线A B与抛物线xp y交于不同两点A,B,若A,B两点处的切线交于点P,N为弦A B中点,则PN平行于抛物线的轴证 明:设A(x,y),B(x,y),Mxx,yy为 弦A B中 点,由 性 质知Pxx,xxp,可得PNy轴以性质、性质为出发点,对于P A B面积的表示使用分割法,思路明晰,运算简洁而易于理解,不失为一种优美的解法性质直线A B与抛物线xp y交于不同两点A(x,y),B(x,y),若A,B两点处的切线交于点P(x,y),则SP A Bxp y()p证明:由性质易得Pxx,xxp,则xxx,xxp y,取A(x,y),B(x,y)的中点Mxx,yy,由 两 点 间 的 距 离 公 式 得|PM|yyxxxxxxp(xx)p,所 以SP A B|PM|xx|xx|p,又|xx|(xx)xx()xp y(),所以SP A Bxp y()pxp y()p(p为常数)思路:由x x(yy),x x(yy),联立可得Pxx,xx,Mxx,yy两点间 的 距 离 为|PM|yyxxxxxx(xx),且xxx,xxy所 以SP A B|PM|xx|xx|,又|xx|(xx)xx()x y(),所以SP A Bx y()xy(),以下同思路,可得(SP A B)m a x 圆锥曲线的切线问题源于直线和曲线只有一个公共点,从方程角度进行研究,实质是一元二次方程有唯一实根的问题,其充要条件是判别式,这种思路具有普适性思维的养成需要尝试和探索,在理论正确、方向准确的思想引领下,总会有出乎意料的发现和惊喜思路:设过点P(x,y)与抛物线xy相切的直线为yyk(xx),把直线方程yyk(xx)代入xy,得xk x(yk x),k(yk x),整理得kk xy设直线P A,P B的斜率分别为k,k,则k,k是方程kk xy的两根,所以kkx,kky,则P(kk,kk),解方程xk x(yk x),得xk,所以A(k,k),同理B(k,k),而A(k,k),B(k,k)的中点N kk,kk,SP A B|PN|kk|kkkk|kk|kk|,SP A B|kk|(kk)kk()(xy)以下同思路,可得(SP A B)m a x 基于上述解法,思维的生长点茁壮成长,开花结果这道题的目标是表示三角形的面积,学生的着眼点往往放在直线方程的设法上,设为斜截式yk xm是首选解析几何研究动态问题的思路是利用参数表达几何元素特性,引入的参数参与过程运算,起桥梁作用,但要善于捕捉信息,寻找几何元素之间的内在联系,沟通参数之间的关系,“就坡下驴”,消参化简,换个角度重新审视问题,就会有“山重水复疑无路,柳暗花明又一村”的效果思路:由性质可得Pxx,xx,设直线A B:yk xm,由xyyk xm,可得xk xm,k m,即km,因为xxk,xxm,所以P(k,m),弦长|A B|k k m kkm点P到直线A B:yk xm的 距 离d|km|k,则SP A Bkm|km|(km),因为点P(k,m)在圆M上,则k(m),即km(m)mm m 上海中学数学 年第期(m),由已知m,即m,当m时,(km)m a x,求得(SP A B)m a x 三、纵向探究,深度学习基于数学核心素养培育,要引导学生进行深度学习,发展学生的关键能力,就要扩大问题的辐射面,从不同视角进行再认识,挖掘隐含的有研究价值的结论和可推广的性质在上述解法基础上充分体现数形结合与坐标法的作用,落实直观想象与数学运算核心素养,培养学生积极思考,善于发现,会归纳总结的习惯,实现深度学习探究直线A B与抛物线xp y交于不同两点A,B,若A,B两点处的切线交于点P,N为弦A B中点,PN的中点Q在抛物线上,且Q处的切线与A B平行证明:设A(x,y),B(x,y),由性质知Pxx,xxp,而Nxx,yy,即Nxx,xxp,由中点坐标公式易得Q点坐标为xx,(xx)p,此点显然在抛物线xp y上;且Q处的切线的斜率为xxpxxp,kA Byyxxxxp,结论得证探究直线A B与抛物线xp y交于不同两点A(x,y),B(x,y),且A,B两点处的切线交于点P,若弦A B过抛物线内定点C(s,t),则点P的轨迹为一条直线证明:设P(x,y),由性质得xxx,yxxp,则xxp y,由A,B,C三点共线知yyxxytxs,即xpxpxxxptxs,即xxx(xx)sxp t,将xxx,xxp y代入得l:s xp(yt),即为点P的轨迹方程探究直线A B与抛物线xp y交于不同两点A(x,y),B(x,y),且A,B两点处的切线交于点P,若弦A B以抛物线内定点C(s,t)为中点,则弦A B平行于点P的轨迹证明:利用xp y,xp y,两式相减得(xx)(xx)p(yy),当xx,xxpyyxx,即kA Bsp,以点C为中点的弦A B的斜率为sp,因此该弦与点P的轨迹即直线l:s xp(yt)平行当xx时,也成立探究若一条直线l:a xb yc与抛物线xp y没有公共点,过直线l上的点P作抛物线的两条切线,切点分别为A(x,y),B(x,y),则直线A B过定点a pb,cb证明:由引理可知,过点P(x,y)作抛物线的两条切线,切点分别为A(x,y),B(x,y),则切点弦A B的方程为xxp(yy),点P(x,y)在直线l:a xb yc上,则P x,a xbcb,所以有xxp ya xbcb,即xxa pbp yp cb对xR恒成立,则xa pb,p yp cb,解 得x a pb,ycb,所 以 直 线A B过 定点a pb,cb四、类比拓展,提炼方法再对开口向右的抛物线的情况进行探究过抛物线yp x外一点P作抛物线的两条切线P A,P B,下面研究抛物线的切线方程及切点弦方程设点A(x,y)处的切线方程为P A:yk xm,将P A:yk xm代入yp x,消去y,化简得kx(k mp)xm,由kmk m ppkm,化简得pk m,则mpk解方程kx(k mp)xm可得点A的坐标A(mk,m),易得kO Ak,则kkO Ayxpy,则切线P A的方程为yypy(xx),即yyp(xx)类似地,抛物线上点B(x,y)处的切线方程为yyp(xx)结论抛物线yp x上一点(x,y)处的切线方程为yyp(xx)又因为两条切线P A,P B都过点P(x,y),则有yyp(xx),yyp(xx),故经过A,B两点的切点弦方程为y yp(xx)结论过抛物线外一点(x,y)作抛物线yp x的两条切线,则切点弦的方程为y yp(xx),由yyp(xx)与yyp(xx)联立可得上海中学数学 年第期Pyyp,yy结论直线A B与抛物线yp x交于不同两点A(x,y),B(x,y),过A,B两点的切线交于点Pyyp,yy,若 取 线 段A B的 中 点M,Pyyp,yy,Mxx,yy两点间的距离为|PM|xxyypyyyyp(yy)p,则SP A B|PM|yy|yy|p,又|yy|(yy)yy()yp x(),所以SP A Byp x()pyp x()p(p为常数)结论直线A B与抛物线yp x交于不同两点A(x,y),B(x,y),过A,B两点的切线交于点P(x,y),则SP A Byp x()p类比抛物线的情况,在椭圆xayb中进行如下探究设椭圆的方程是xayb,直线A B与椭圆交于不同两点A(x,y),B(x,y),过A,B两点的切线交于点P(x,y),若两条切线斜率均存在,可设切线P A:yk xm将P A:yk xm代入xayb,消去y,化简得akbxk mbxmb,即(bak)xak m xa(mb),由于直线P A与椭圆有唯一公共点,则akm(bak)(amab),化简 后可得mbak解方程(bak)xak m xa(mb)可得点A(akm,bm),易得kO Abak,即kO AkP Aba,kP Abxay,可写出点A处的切线方程yybxay(xx),化简得ay ybx xbxay,可得xxayybxayb,所以点A(x,y)处的切线方程为xxayyb同理,点B(x,y)处的切线方程为xxayyb结论椭圆xayb 上一点(x,y)处的切线方程 为xxayyb,又 因 为 这 两 条 切 线 都 过 点P(x,y),就有xxayyb 和xxayyb 成立因此,过A,B两点的切点弦方程应为xxayyb 结论过椭圆xayb外一点P(x,y)作椭圆的两条切线,则切点弦的方程为xxayyb,P A B的面积也能用点P(x,y)的坐标来表示,进行如下推导A B:xxayyb,即bxxayyab,由bxxayyabbxayab,得(aybx)xabxxabay,a(ayabybxy),故|A B|bxayaaybxyabyaybxaybxaybxabaybx,且d|bxayab|bxay,则SP A B|A B|daybxabaybx|aybxab|,即SP A B(aybxab)aybx结论过椭圆外一点P(x,y)作椭圆xayb的 两 条 切 线,切 点 分 别 为A,B,则SP A B(aybxab)aybx应用:已知平面内动点M到两定点F(,)和F(,)的距离之和为()求动点M的轨迹E的方程;()已知曲线A xB x yC yD上点(x,y)处切线方程为A xxB(xyx y)C yyD若直线x与圆(x)y相交于P,Q两点,动点N(,t)在线段P Q上运动,从N向轨迹E作切线,切点分别为A,B求ANB面积的最大值解析:()动点M的轨迹E的方程为xy ()设A(x,y),B(x,y),则在A,B处的切线方程分别为xxyy,xxyy,因为两直线都过N(,t),则有xyt,xyt,故上海中学数学 年第期直线A B的方程为xy t利用上述结论,SA NB(aybxab)aybx,可 以 得 到SA NB(t )t(t)tt 由题知t,由椭圆的对称性,不妨设t,令tm,则A NBmmmm,记xm,h(x)xx在,上单 调 递 增,当x时,m,(SA NB)m a x 参考文献罗增儒中学数学解题的理论与实践M南宁:广西教育出版社,蔡小雄更高更妙的高中数学思想与方法M杭州:浙江大学出版社,朱正权一道高考题引发的探究性学习J数学通报,()(上接第页)探究,并把你的探究过程写下来请你查阅相关资料,结合自己对均值不等式链的理解,对均值不等式链给出自己的证明,并完成你的学习报告,可以一个人独立完成,或者寻找一个伙伴共同完成三、收集作业信息,推进有效学习本次作业是学生通过查阅资料后结合自身的思考与探究,独立或者两人合作完成的在收集到的作业中,有的学生通过构造适当的图形,对均值不等式链中的每一个式子赋予几何意义,使不等式链中的每一项值都直观而具体有的学生将均值不等式链推广到了n元的形式:若任意ai,i,n,则ainiainniainnniainniaim i nai,当且仅当aaaaian时等号成立,并用数学归纳法给出了证明还有学生利用物理知识解释了均值不等式链,等等于是,笔者组织学生交流相关的探究成果,学生通过文字呈现、面对面讲解、录视频等方式进行分享学习数学探究能力的培养是高中数学教学活动的目标,探究活动能帮助学生从学科本质意义上理解数学,所以高中数学探究活动的实施与评价有着重要的意义教育评价的目的是促进学生更好地发展,作业评价的目的是让学生能更积极主动地完成作业,而不是评出好作业和差作业,给作业划分等第因此,在作业的评价过程中,应采用多样的形式,在形成性评价中多设计一些探究实践、论文撰写类的作业,评价方式除了打分,也可采用自评、互评、教 师 点 评 的 形 式,本 次 作 业 评 价 量 表 如 表所示表探究活动成员评价项目自我评价同伴评价专题探究活动的思维水平班级交流、合作学习的水平与能力成绩(等第)说明:A为优秀;B为良好;C为一般探究者反思总结教师点评评价是“教学评 一致性”的关键,因为有了“评价任务”,教与学才会相互依存在教学活动过程中,学生需要明确评价任务,认真完成评价任务,并能分享完成评价任务后的学习结果总之,“教学评 一致性”指向的是有效教学,任何一种教育教学方式都必须在实践中检验它的价值作为一名教师,应多关注新的教育教学理念,结合自身的教学经验,有创造性地进行教学实践,实现新课程改革的最终目标参考文献中华人民共和国教育部义务教育课程方案:年版M北京:北京师范大学出版社,中华人民共和国教育部义务教育数学课程标准:年版S北京:北京师范大学出版社,崔允漷,夏雪梅“教学评一致性”:意义与含义J中小学管理,():崔允漷指向学科核心素养的教学即让学科教育“回家”J基础教育课程,():威金斯,麦克泰格追求理解的教学设计:第版M闫寒冰,宋雪莲,赖平,译上海:华东师范大学出版社,上海中学数学 年第期