定积分法求解弯曲变形问题.pdf

力与2023年6 月实第4 5 卷第3 期践学定积分法求解弯曲变形问题1)刘荣刚*,2)郝志伟边文凤十（哈尔滨工业大学（威海）海洋工程学院，山东威海2 6 4 2 0 9)（哈尔滨工业大学（威海）材料科学与工程学院，山东威海2 6 4 2 0 9)摘要本文采用定积分方法求解梁的弯曲变形问题。该方法不需要采用边界条件来确定积分常数，有效地简化了问题的求解过程；该方法以梁的转角微元为逻辑起点，清晰地刻画了梁弯曲变形的累加过程，便于深刻理解载荷作用下梁的变形历程关键词挠曲线方程，转角方程，定积分，微元中图分类号：0 34 1文献标识码：Adoi:10.6052/1000-0879-22-438SOLUTIONOFDEFLECTIONOFBEAMSBYDEFINITE INTEGRAL METHODl)LIU Ronggang*,2)HAO Zhiwei*BIANWenfengt*(School of Ocean Engineering,Harbin Institute of Technology,Weihai,Weihai 264209,Shandong,China)t(School of Materials Science and Engineering,Harbin Institute of Technology,Weihai,Weihai 264209,Shandong,China)Abstract In this paper,the definite integral method is used to solve the deflection of beams.The method doesnot need boundary conditions to determine the integral constant,which effectively simplifies the solutionprocess of the problem.The method takes the slope infinitesimal element of the beam as the logical startingpoint,and clearly describes the cumulative process of deflection of beams,which is convenient for a deepunderstanding of the deflection process of the beam under load.Keywordss equation of the deflection curve,equation of the slope,definite integral,infinitesimal弯曲变形问题是材料力学课程中的基本问题，在传统的材料力学教材中-6，一般采用挠曲线近似微分方程计算挠曲线方程和转角方程。此方法一般需要采用边界条件或连续性条件来确定积分常数，计算过程较为九长。另一方面，当确定边界条件后，采用挠曲线近似微分方程方法，其计算过程即为标准的数学计算，从计算过程中不易观察弯曲变形的历程。本文提出的弯曲变形问题的定积分解答，不需计算积分常数，计算过程清晰地体现了变形的累加过程，可以有效地提升现有弯曲变形问题的理解水平。下面采用定积分方法对悬臂梁和简支梁在不同载荷作用下的弯曲变形问题分别进行讨论。1集中力偶作用下的悬臂梁集中力偶作用下的悬臂梁如图1(a）所示。定点C变形前的位置为，考虑到梁的轴线位于中性层，因此变形后此即为圆弧AC的弧长。图1中，M为外力偶，p为梁受力变形后挠曲线的曲率半径，4是位置处水平方向上的位移，2022-08-01收到第1 稿，2 0 2 2-0 9-0 9 收到修改稿。1）山东省自然科学基金（ZR2022QF113）资助项目。2）刘荣刚，副教授，研究方向为量子光学和材料力学。E-mail：l i u r g h i t w h.e d u.c n引用格式：刘荣刚，郝志伟，边文凤.定积分法求解弯曲变形问题.力学与实践，2 0 2 3，4 5(3)：6 8 0-6 8 3Liu Ronggang,Hao Zhiwei,Bian Wenfeng.Solution of deflection of beams by definite integral method.Mechanics inEngineering,2023,45(3):680-683681刘荣刚等：定积分法求解弯曲变形问题第3 期=-（圆弧AC的水平投影长度），w为定点C的挠度，dai（0 i）为弧长微元，d01（0 1）为转角微元。将梁变形后弧长为的位置向轴做垂线，梁在位置处挠度的大小就是垂线段CD的长度。因悬臂梁固定端约束处的挠度和转角均为零，由此处做积分累加，即可得到转角方程和挠曲线方程分别为d1M(ci)dc1(a)=d01=Jop(a)JoEI(1)Mda1Mc(01)JEIEIMC1w()=sin d(i)dai=-sindc1JoJoEI(2)EIMacOS(01)MEIdc1AAK4WyMd01BADPPC0(a)(b)(c)图1集中力偶作用下悬臂梁示意图下面我们证明式（2）是集中力偶作用下悬臂梁挠曲线方程的严格解。在集中力偶作用下，悬臂梁的轴线由直线变为圆弧，利用圆弧所满足的几何关系（见图1(b)），并考虑到平面直角坐标系中挠度向下为负，故梁在任意位置处的挠度可写为w()=-52()二2()PEIMc-p(1-cos0)=(01)COSMEI(3)2即式（2）得证。取泰勒近似：w()=M2EI1o，与现行教材中采用曲线近似微分方程计2算的结果完全相同。悬臂梁在沿着水平方向上位移（见图1(b)的大小为(a)=1-cos 0(1)da1=Mc11COSdac1=EIEIMasin(01)(4)MEI需要指出的是，w()是梁在变形前位置处的挠度，变形后此挠度在直角坐标系下所对应的横坐标为-（见图1(a)）。将式（4）取泰勒近似：Aa(a)=言o2。考虑到材料力学的小变形假6设，可以看出，梁在任意位置水平方向上的位移是垂直方向上位移的高阶小量，故在材料力学中一般不予考虑叫。2集中力作用下的悬臂梁集中力作用下的悬臂梁如图2 所示。采用上面同样的方法，可以得到转角方程和挠曲线方程分别为M(ai)dc1F(l-i)da1(a)=JoEIJoEIFa(-2)(0l)(5)2EIsin(ci)da1=0(c1)dci=W0F1(1-2l)da1=2EI0Fa2(-31)(0 l)(6)6EI4yFAB1图2 集中力作用下悬臂梁示意图力682实2023年第455卷践学考虑到材料力学的小变形假设以及计算上的简化，式（6）中的正弦函数已经取一阶泰勒近似。下同。3均布载荷作用下的简支梁均布载荷作用下简支梁如图3所示。考虑到简支梁A处的转角为驻点co处转角相对于左端转角的负值，则梁在任意位置处的转角，就是以A处转角为初值进行积分累加。由对称性可知，梁跨中的转角为零，即驻点co=l/2，因此转角方程和挠曲线方程分别写为M(ai)da1(a)=EI(la1-ai)da1=2EI2(6lz2-4r3-13)(0l)(7)24EIw()=(a1)da1=(6lai?-4r13 13)da1=24EI0q(2l-3 3)(0l)(8)24EIAB图3均布载荷作用下简支梁示意图4集中力作用下的简支梁取A点为坐标原点，坐标系如图4(a)所示，AC段的转角方程和挠曲线方程分别为M(a)d11Fba01(a1)=da=EIEIlFb(01 a)21(9)2E111Wi(a1)=91(a)dc=JOFbac1(2-3c)(01 a)(10)6E11式中co为挠曲线待定的驻点。取B点为坐标原点，坐标系如图4(a)所示，则BC段的转角方程和挠曲线方程分别为C2Fa02(c2)=B-ada=EIlF(abl-bar-ac2)(0 2 b)(11)2E112W2(2)=-2()da=0F2(ac2-3abl+3baa)(0 2 b)6EI1(12)式（1 1）中B的具体计算为OB=OB-OA+O1(0)=.6Fa0FbFbadaad.a2E2E11aFbal(13)2E1lyyFa6AB12FRAFR.B(a）A C段和BC段取不同坐标系yFa6ABC1FRAFRB21(b）A C段和CB段取同一坐标系图4集中力作用下简支梁示意图考虑到连续性条件，可知w2(b)=wi(a)，即可求出昭=号(1+b)。若ab，则 o。将此驻点值代入式（9）式（1 2），可得转角方程和挠曲线方程分别为Fb01(1)(3-12+62)(0 1 a)(14)6E11Fbc1wi(c1)(-12+b2)(0 1 a)(15)6EIlFa02(2)-32+2bl-b2)(0 2 b)(16)6E11FbC2W2(C2(2-2bl+6b2)(02b)(17)6EIl当采用如图4(b)所示，以A点为坐标原点的坐标系，即可得到CB段的转角方程和挠曲线方程683刘荣刚等：足定积分法求解弯曲变形问题第3 期分别为小2FbF(a-a)C2Fb32(2)=cd+dc(12-6b2-3c2+(a2-a)(2 l)(18)EliEI6E116aFb2Fb2FW2(2)=(32-2+b2)d+(32-2+62)dac(-a)?da=06E11JO6EI1a2EIFb(12-62-2)2+(2-a)(a2 l)6EI1(19)式（1 8）中a2位置处的转角，等于支反力FRA产生的弯矩对转角的贡献（驻点处转角为零，因此从驻点o处开始做积分累加），再加上集中力F产生的弯矩对转角的贡献（从F的作用点处开始做积分累加）；式（1 9）中括号内第一项的被积函数是式（1 4），中括号内第二项的被积函数是式（1 8）中的第一项，中括号内的表达式描写支反力FRA产生的弯矩对挠度的贡献，最后一项是载荷F产生的弯矩对挠度的贡献。即式（1 8）、式（1 9）中，第一项分别对应于支反力FRA产生的弯矩对转角和挠度的贡献，第二项分别对应于载荷F产生的弯矩对转角和挠度的贡献。上述由式（1 4）、式（1 5）、式（1 8）、式（1 9）给出的转角方程和挠曲线方程与文献1 的计算结果完全一致。定积分方法求解弯曲变形问题的基本思路是，确定坐标原点处的转角值，其他任意位置的转角，即可通过以坐标原点为起点的积分累加。在计算挠曲线方程过程中，一般会涉及到正弦和多项式的复合函数的积分，需采用一阶近似简化计算，而此简化计算的结果恰好与采用挠曲线近似微分方程的解答完全一致1-3。定积分方法求解弯曲变形的要点是积分限的确定。对于悬臂梁，坐标原点建立在转角为零的固定端约束处，因此积分累加时积分下限为零；而对于简支梁，简支梁左端铰支座位置处的转角，为驻点处转角相对于梁左端转角的负值，因此对于简支梁的情况确定驻点，成为问题求解的重要因素。对于外伸梁、超静定梁或其他形式的梁，只要挠度和转角的积分限可以确定，即挠曲线上的驻点位置已知或可求，所提出的定积分方法求解弯曲变形问题仍然适用。5结论本文采用定积分方法对悬臂梁和简支梁在载荷作用下的弯曲变形问题分别进行了详细讨论。该方法的求解思路是，以梁的零转角处作为初值点，对转角微元进行积分累加，得到转角方程，然后再对转角方程积分得到挠曲线方程。该方法与挠曲线近似微分方程方法不同的是，将边界条件直接写入积分限，快速地计算出梁的变形。从某种意义上来说，该方法的计算过程就是变形的累加过程，定积分计算可以清晰地表达梁的形变动态，从而有效地提升学生对弯曲变形问题的理解水平。对于其他形式梁的弯曲变形问题，只要挠曲线上的驻点位置可以确定，采用该方法计算会非常快捷，因此该方法可以作为求解弯曲变形问题的一种基本方法。参考文献1刘鸿文.材料力学，第6 版.北京：高等教育出版社，2 0 1 72张少实.新编材料力学，第2 版.北京：机械工业出版社，2 0 1 23孙训芳，方孝淑，关来泰等.材料力学，第5 版.北京：高等教育出版社，2 0 1 04单祖辉.材料力学，第3版.北京：高等教育出版社，2 0 1 25聂毓琴，孟广伟.材料力学，第2 版.北京：机械工业出版社，2 0 0 96范钦珊，殷雅俊，虞伟建.材料力学，第2 版.北京：清华大学出版社,2 0 1 2（责任编辑：胡漫）