1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。感谢您,第一章,现实世界中数学模型,第1页,第一节 现实世界模型,第2页,在现实生活中，我们对“模型”（,Model,）这个名词并,不陌生。我们经常谈到“物理模型”、“化学模型”、“生物,模型”等。,“原型”（,Prototype,）和“模型”是一对对偶体。,原型：是指人们在现实世界里关心、研究或从事生,产、管理实际对象。在科技领域中通常使用系统、过,程等词汇来描述对应对象。,第3页,模型：指为了某个特定目标将原型一部分信息简,缩、提
2、炼而组成原型替换物。,尤其要说明是：模型不是原型原封不动复制品。,原型有各个方面和各个层次特征，而模型只要求与某,种目标相关那些方面和层次。,模型基本特征是由结构模型目标决定。,第4页,一、形象模型,依据某种物体实际大小，按一定百分比制作模型称,为形象模型。比如汽车模型、建筑模型都是形象模型。,形象模型又称为直观模型。,第5页,二、物理模型,物理模型主要指科研工作者为一定目标依据相同原,理结构模型，它不但能够能够显示原型外形或相同,特征，而且能够用来进行模拟试验，间接地研究模型,一些规律。,第6页,三、思维模型,思维模型是指人们对原型重复认识，将获取知识,以经验形式直接存放于人脑中，从而能够依
3、据思维或直,觉作出对应决议。,思维模型特征是轻易接收，也能够在一定条件,下或得满意结果，不过它往往带有含糊性、片面性、,主观性、偶然性等缺点。,第7页,四、符号模型,用一些比较生动、鲜明符号来刻画某种事物特征，,这种模型称为符号模型。比如地图、电路图、化学结构,表等。,第8页,五、数学模型,在初等数学中，我们就已经碰到了数学模型详细问,题，只是那时并不知道这就是数学模型。我们看下面,例子。,第9页,例 甲乙两地相距,740km，某船从甲地到乙地顺水需,要30小时，从乙地到甲地逆水需要50小时，问船速、水,速各为多少？,分析：在该问题中，两地之间距离是已知，而且,假定在考查问题时间段中水流速不变
4、，在这么假,设之下，我们能够得出问题解。,求解 设水流速为 ，船行驶速度为 ，则当顺,水航行时相关系,第10页,当船只逆水航行时，有,即有方程组,上式即为原问题数学表示式，又称为数学模型。,第11页,轻易求出该问题解：。即船速为,20km/h,，水速为,5km/h,。,第12页,在上面例中我们看到数学模型普通意义：,对于现实世界一个特定对象，为了一个特定目,，依据特有内在规律，作出一些必要假设，利用,适当数学工具，得到一个数学结构。,第13页,注意：本课程重点并不是单单介绍现实世界数学,模型，而主要是介绍建立数学模型全部过程和求解,过程。,建立模型过程就称为数学建模。,第14页,第二节 数学建
5、模主要意义,第15页,一、在普通工程领域中，数学建模依然大有用武之,地。,二、在高新技术领域中，数学建模几乎是必不可少,工具。,三、数学快速进入一些新兴领域，为数学建模开拓,了许多新处女地。,第16页,四、数学建模在国民经济和社会活动中详细表现：,1,.预报与决议；,2,.分析与设计；,3,.控制与优化；,4,.规划与管理。,第17页,第三节 数学模型例子,第18页,一、椅子放稳问题,问题 一个有四个脚方凳能否在地上放稳，如能,话，给出详细方法。,假设,1,椅子四个脚是等长而且四个脚恰好位于一,个四方形顶点上；,假设,2,地面是一张连续改变曲面；,假设,3,在任一时刻。椅子最少有三只脚落地。,
6、第19页,建模 设椅子四只脚位于点 其连线构,成一正方形，对角线交点为坐标原点，对角线,为坐标轴（坐标系统如图所表示）。,设 为 两点椅子脚离开地面距离只和；,为 两点椅子脚离开,地面距离之和，则由条件得,第20页,注意到：而且,椅子四脚落地意味着 故不妨假设,则问题归结为是否存在 使得,第21页,解模 由条件对任意 ，有 且,令,则 因,第22页,由闭区间连续函数零点定理知，存在,使得,注意到条件：椅子四个脚中在同一时刻最少有三脚落,地，即,所以由 ，即有,第23页,此说明在问题所设条件下，椅子能够放稳，并给出,了放稳详细方法。,注 若在原问题中，若将一个四方形椅子改为长方,形桌子，则该怎样
7、求解？,第24页,二、人口增加预报问题,伴随科学技术发展，在近几个世纪来，世界人口也,得到了快速增加。下面数据表反应了近几个世纪,人口增加情况。,年,1625,1830,1930,1960,人口（亿）,5,10,20,30,年,1974,1987,1999,人口（亿）,40,50,60,第25页,从表中看出，人口每增加十亿时间，由一百多年缩,短至十二、三年。常此以往，人口问题将严重困扰世界,经济发展。,第26页,下表是我国在,20,世纪中人口发展情况：,年,1908,1933,1953,1964,人口（亿）,3.0,4.7,6.0,7.2,年,1982,1990,人口（亿）,10.3,11.3
8、,12.95,第27页,认识人口数量改变规律，建立适当人口模型，作,出准确预报，是有效控制人口增加前提。,下面介绍两个基本人口模型，并利用表,1,给出近,两个世纪美国人口统计数据（单位：百万）对模型作,出检验，最终用它预报年美国人口。,第28页,年,1790,1800,1810,1820,1830,1840,人口,3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,年,1850,1860,1870,1880,1890,1900,人口,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,年,1910,1920,1930,1940,1950,1960,人口,92.0,106.5,123.2
9、,131.7,150.7,179.3,年,1970,1980,1990,人口,204.0,226.5,251.4,281.4,表,1,美国人口数据统计,第29页,指数增加模型,一个简单人口模型是指数模型：记今年人口为 ，,年增加率为 ，则以后第 年人口为,在上面问题中，假定人口增加率 是一个不变常,数。,200,多年前，马尔萨斯基于增加率不变基础，建立,了著名人口指数模型。,第30页,建模 记时刻 时人口为 ，并视其为连续变量，,初始时 人口为 ，从 到 时间内人口,增量为 ，则有,令 则得到 应满足微分方程：,第31页,由这个方程轻易解得：,当 时，式表明人口将按指数规律无限增加。故,称为指
10、数增加模型。,参数预计：式中 和 能够用表,1,中数据进行,预计。为了利用简单最小二乘法，将式取对数后得,其中：。,第32页,以,1790,年到,1900,年数据拟合式，可得,以,1790,年到年全部数据拟合式，可得,第33页,17901900实际人口与计算人口比较,计算人口曲线,实际人口,第34页,1790实际人口与计算人口比较,计算人口曲线,实际人口,第35页,年,1790,1800,1810,1820,1830,1840,人口,3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,x,1,4.2,5.5,7.2,9.5,12.5,16.5,x,2,6.0,7.4,9.1,11.1,13.6
11、,16.6,年,1850,1860,1870,1880,1890,1900,人口,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,x,1,21.7,28.6,37.6,49.5,65.1,85.6,x,2,20.3,24.9,30.5,37.3,45.7,55.9,表,2,指数增加模型拟合美国人口数据结果,第36页,结果分析 用上面得到参数 代入式，将计,算结果与实际数据作比较得下表，表中计算人口 是用,1790,年数据拟合结果；计算人口 是用全部数据拟,合结果，用这个模型基本上能够描述,19,世纪以前美国,人口增加情况，不过进入,20,世纪后，美国人口增加明,显放慢，此时模型不再
12、适合了。,第37页,年,1910,1920,1930,1940,1950,1960,人口,92.0,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,x,1,x,2,68.4,83.7,102.5,125.5,153.6,188.0,年,1970,1980,1990,人口,204.0,226.5,251.4,281.4,x,1,x,2,230.1,281.7,344.8,422.1,第38页,从历史上看，指数增加模型与十九世纪以前欧洲一些,地域人口统计数据能够很好地吻合，另外，以此模型作,短时间里人口预测能够得到很好地结果。原因是此时,人口增加率几乎是一个不变常数。,不过，从长久看，
13、任何地域、任何国家人口不可,能无限增加，这是因为人口增加率实际上是在不停,地改变。普通情况下，当人口较小时，增加较快；当,人口到达一定数量时，增加率显著下降。因而用平均,增加率 来代替改变增加率 ，会与实际结果有较,第39页,大差距。,第40页,阻滞增加模型（,Logistic,模型）,分析 当人口增加到一定数量后，自然资源、环境条,件等原因对人口增加会起到一个阻滞作用，而且伴随,人口不停增加，阻滞作用会越来越大。阻滞增加模型,就是基于这个事实，对指数增加模型基本假设进行修,改后得到。,第41页,建模 设增加率 随人口数量 增加而下降，则关,系式可改写成,其中 是 减函数。深入假定，设 是 线
14、,性函数，即,这里 称为固有增加率。引入 ，称为人口容量，即,第42页,当 时，人口不再增加，即 代入式,得 于是式为,把代入方程，得,第43页,方程右端因子 表达人口本身增加趋势，因子,则表达了资源和环境对人口增加阻滞作用。,注意到：越大，前一因子越大，而后一因子越小，人,口增加是两个因子共同作用结果。,以 为横轴，为纵轴作,出方程图形。从该图形,中能够大致描绘出,图形。,第44页,Logistic,模型,xt,曲线,第45页,参数预计,为了利用简单线性最小二乘法预计这个模型参数,和 ，将方程表为,用数值微分和曲线拟合，利用从,1860到1990,年数,据计算得到 /10年，,第46页,结果
15、分析：用上面数据代入方程解：,将计算结果与实际数据加以对比：有下面图表,第47页,年,1790,1800,1810,1820,1830,1840,人口,3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,x,1,3.9,5.0,6.5,8.3,10.7,13.7,年,1850,1860,1870,1880,1890,1900,人口,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,x,1,17.5,22.3,28.3,35.8,45.0,56.2,表,3,阻滞增加模型拟合美国人口数据结果,第48页,年,1910,1920,1930,1940,1950,1960,人口,92.0,106
16、.5,123.2,131.7,150.7,179.3,x,1,69.7,85.5,103.9,124.5,147.2,171.3,年,1970,1980,1990,人口,204.0,226.5,251.4,281.4,x,1,196.2,221.2,245.3,第49页,阻滞增加型拟合图形（17901990）,计算人口曲线,实际人口,第50页,从数据中能够看出，在阻滞增加模型中即使有一段时,间，数据拟合情况不是很好，但在最终一段时间，吻,合得相当不错。,以该数据来预测年人口情况，我们有,与实际数据有约 误差，能够认为该模型是能够,令人满意。,将年数据加入，能够预测到在年美国人,口将到达 百万。
17、,第51页,三、传染病蔓延问题,问题 当某种传染病流行时，得病者人数是怎样改变,？在何时病人增加率最大？相关部门应怎样控制传,染病蔓延？,第52页,模型一,假设：病人是经过与他人接触而将病菌传染给他人,。深入地假设，在单位时间内一个病人能传染人,数为定量，记作 ，称其为传染系数。,建模 设时刻 ，有病人数 ，且初始时,再设从时刻 到时刻 时间段中病人增量为,从而有,第53页,令 则有微分方程，并有初始条件,从而问题转变为一个常微分方程初值问题.,第54页,解模 方程为一阶线性齐次常系数微分方程，方程,通解为,再由初始条件得初值问题解为,式表明，病人数将按指数规律无限制地增加，即,第55页,实际
18、问题是，一个地域人口总数是一个有限数，故,上面模型并不适用.,第56页,模型二,假设,1,.在传染病流行地域里，总人口数 是不变,;,2,.在单位时间内一个病人能传染健康人数量是个变,量 .因为伴随病人数增加，健康人数量在降低，,从而 也会降低.为此假定 与健康人数量成正比,其,百分比系数为 ，依然称为传染系数.,第57页,建模 设时刻 时有病人数 健康人数 。,初始时刻 时有病人数 .,由假定,1,，有,在时刻 到 时间段中，病人数增量为,两边同除以 ，并令其趋于零，则有微分方程,第58页,如此，把问题转变成一个微分方程.,第59页,解模 此方程是一个一阶可分离变量微分方程，容,易解出:,两
19、边积分，得,第60页,再由初始条件，得,所以方程解为,变形后有,第61页,即,所以,第62页,从而原方程解为,曲线大致图形以下：,分析：当 时，,此表明全部人都将成为病人，,这也是不合理.因为最终病人,数将趋于零.,第63页,此模型一个应用是，利用该模型能够预测该传染病,何时会到达最大值.,对式求导并令其为零，则有,由方程,第64页,从而方程意味着,即在病人数到达总人数二分之一时，病人数增加率到达,最大.,将代入,得最传染,病高峰时刻为,第65页,模型三,假设:,1,.在传染病流行区域内，总人口数 是不变,;,2,.在单位时间内，一个病人能传染健康人数量成正,比，其百分比系数记为 ，称为传染系
20、数。,3,.在单位时间内，一个病人经过治疗或其它过程能够,不再成为病人可能性记为 ，称为恢复系数。,第66页,建模,设时刻 有病人 人，健康人 ，免疫者,人，初始时刻有病人 及免疫人数为,0,.,由假设,1,及,3,得,从时刻 到时刻 时段中病人数增量为,第67页,其中 为免疫者数量增量。把 除以上式两边，,并令其趋于零，则有微分方程：,再由式得,所以,第68页,如此，模型三归结为求解一阶非线性微分方程组初值,问题.,第69页,上面方程组求解是极为困难。我们从另一个角度,来进行讨论.,引入量 ，称为特征系数，则微分方程转变为,此方程为变量可分离微分方程，分离变量后求解：,第70页,得,由此得到
21、初值问题解为,第71页,解分析,因为,故解曲线必定在下述一个三角形区域内：,由知 即随时间 增加，健康人数 将降低。再,由知当 时，此时病人数到达了极大值,再来看当初间在增加时病人数和健康人数极值情,况。,第72页,因为 由极限存在准则：故极限值,存在，且因为 故极限值 存在。从而由,式式知极限值,必存在，且,第73页,其次，假定 则由 当 相当大时，有,此与 存在性矛盾，所以,从图中能够看出，在健康人数初始值 条件,下，当初间 时，健康人数量,降低，而病人数 先增加，在达,到极大值 后再降低；而在健,康人数初始值 条件下，,第74页,当初间 增加时，健康人数量 降低，病人数量 也减,少。,结
22、论：只有当 时传染病才会蔓延。,数量 称为阀值。显然 越大则越不轻易使传染病蔓,延。由 定义知，欲使 增大，可使恢复系数 增大,和传染系数 值降低。其实际意义是：提升医疗水平及,提升卫生保健水平，是预防传染病蔓延良好路径。,第75页,从以上分析中能够看到，模型三还是比较符合实际,情况。,第76页,应 用,应用模型三，我们来预计一次传染病流行过程中被传,染者总数。,第77页,若一次被传染病流行后健康人数量为 ，则被传染者,总数为,显然，应该满足中 时形式,因为普通有 故 代入、,，得近似方程，,第78页,又因为 由幂级数展开式，为,略去较高项，有,解出，得,第79页,若记健康人数量超出阀值部分为
23、 ，即,则被传染者总数为,第80页,尤其地，当健康人数量初始值超出阀值部分很小,时，即 时，就有,从上面几个式中能够看到，在阀值 提升后，值,将变小，于是，一次传染病流行过程中被传染者总数,也会变小。,第81页,在上面讨论中，参数 能够由实际数据预计得到。,因初始值 从而 故由得,从而,第82页,检 验,所建立模型在应用于实践前，还必须用已往一些,经验和统计资料做一番检验。假如它与实际数据吻合，,则该模型能够用于实际应用；假如它与实际数据吻合,得不好，则该模型还不能做定量应用。在后一个情况,下，则需要对模型做深入地修改，直到模型与实际数,据吻合为止。,第83页,假设有一组数据，该数据反应是某医
24、院每七天传染,病病人病愈和死亡情况：（时间单位 为一周）,时间,1,2,3,4,N,治愈人数,今以这组数据来检验模型三。为此首先求出 与,关系：由关系，得微分方程,第84页,该初值问题解为,代入式得到,第85页,因为病愈和死亡人数 将指数函数按幂级数展,开：,代入到上式，并略去高阶项后得：,(21),第86页,用分离变量法求得上面方程解,其中,由前式得到,第87页,当 则上式成为,(22),(23),其中，,(24),第88页,下面介绍参数 确实定方法：,当参数 各取定某个数值时，对于,由公式,(23),可确定对应理论值：,结构理论值和实际值间误差平方和函数以下：,第89页,经过在一定范围中寻
25、找参数 值,使值,成为函数 一个极小值。,假如 很小，则说明理论公式计算得到值是非常,靠近实际值，说明模型是经得起检验；假如 比,较大，则说明理论计算得到值与实际值有相当大差,距，所以需要进行修改。,第90页,Kermak,和,Mckendrick,利用本世纪初在印度孟买发生,依次瘟疫中死亡人数历史统计资料老检验模型三，,求得参数值 使得 为很,小，从而验证了模型三合理性。,我们做了三个传染病蔓延数学模型，一个比一个更接,近实际。一次次对问题进行简化和修改，建立了愈来愈,复杂但更符合实际情况数学模型。,第91页,第四节 建立数学模型方法和步骤,第92页,从上面几个例子中我们看到建立数学模型基本
26、方,法为：,一、模型准备了解问题和问题特征；,二、模型假设对问题作出一些必要和合乎实际,假设；,三、模型建立用适当数学关系来刻画问题内,部关系；,第93页,四、模型求解用适当数学工具，对模型中数,学关系进行求解；,五、模型分析对求出解进行数学上分析：对,解中各个变量寻找数学上关系，从而找出这些关系,实际意义；,六、模型检验用以往数据对模型进行检验，以考,察该模型是否含有实际意义；,第94页,七、模型应用对经过检验模型再应用于实际中。,第95页,1.怎样处理下面实际问题,包含需要哪些数据资料?,做些什么什么观察和试验?,练习,预计一个人体内重量;,预计一个日光灯寿命;,决定十字路口交通灯信号设计;,第96页,一高层办公楼有4部电梯,早上班时非常拥挤,试指定,合理运行计划.,2.,在椅子放稳问题中,将椅子改为长方形办公桌,该如,何处理这个问题.,3.在人口增加模型中,假定人口增加服从这么规律:时,刻 人口为 从 到 时间人口增量与,成正比,（其中 为最大容量）,试建立模型,并求解,并做出解图形并与指数增加模型,阻滞增加,第97页,模型结果进行比较.,第98页,第99页,
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