正比例函数的性质.doc

正比例函数的性质（教学设计）
郭家河小学 李荣信
一、教学目标
　　　（1）知识目标：
　　能根据正比例函数的图像，观察归纳出函数的性质；并会简单应用。
　　（2）能力目标：
　　逐步培养学生的观察能力，概括的能力，通过教师指导发现知识，初步培养学生数形结合的思想以及由一般到特殊的数学思想；
（3）情感目标：　　
激发学生学习数学的兴趣和积极性，逐步培养学生实事求是的科学态度。
二、教学的重点和难点
教学重点：正比例函数的性质及其应用。
教学难点：发现正比例函数的性质
三、教学方法与学法指导
教学方法：通过本节课的教学，我选用引导发现法和直观演示法，本节课的难点是发现正比例函数的性质，通过教师的引导，启发调动学生的积极性，让学生在课堂上多活动（画图）、多观察（图像），主动参与到整个教学活动中来，最后发现其性质。
学法指导：教师引导学生学会观察、归纳的学习方法。　　
五、教学过程：
（一）温故知新，引入课题
温故：正比例函数的图像是什么？
答：正比例函数图像是经过原点（0，0）和点(1,k)的一条直线
（二）： 知新：
在两个直角坐标系内，分别画出下列每组函数的图像：
① y=2x y=x y=x ② y=－2x y=－x y=－x
引导学生观察图像，看看每组直线分布的特征？
观察图像，思考问题：
1、 图像经过的象限与k的取值有何联系？不够明确。图像经过的象限与k的取值（特别是符号）有何联系？
2、 对其中的某一个正比例函数图像(例如y=2x)，当x增大时，函数值y怎样变化？x减小呢？是不是要提出减小？请斟酌。
3、 你从中得出什么规律？
第一个问题：图像经过的象限与k的取值有何联系？
估计生：发现第一组的三条直线都经过第一象限和第三象限；而第二组的三条直线都经过第二和第四象限。
师：从比例系数来看呢，函数的比例系数和他们的图像分布有什么联系?用词前后宜一致
估计生：第一组k>0，而第二组k<0。
师：很好，谁能把他们联系一下？
估计生：当k＞0时，函数图像经过第一、三象限；当k＜0时，函数图像经过第二、四象限。
师：那么是不是对于所有的正比例函数的图像都有：当k＞0时，函数图像经过第一、三象限；当k＜0时，函数图像经过第二、四象限呢？【电脑演示：任意正比例函数的图像，当在一、三象限运动时，它的解析式中的k的值无论怎样变化都是大于零的，反之，图像在二、四象限运动时，k的值都小于零的。】
下面由老师来证明这个性质：（由观察猜想到逻辑证明）
当k＞0时，函数图像经过第一、三象限；当k＜0时，函数图像经过第二、四象限。
（板书）证明：这个证明是书上要求的吗？如果书上没有要求，你也不要求。下面第二个问题同。当k>0时，若x>0，则kx>0，即y>0 ∴点(x,y)在第一象限
若x<0，则kx<0，即y<0 ∴点(x,y)在第三象限
当x=0时，则kx=0，即y=0 ∴点(x,y)即原点。
即函数图像上所有的点（原点除外）都在一、三象限内，所以图像经过一、三象限。同理，当k<0时，亦可证明函数图像经过二、四象限。
我们看到：当k＞0时，函数图像的走向很像汉字笔画里的“提”，当k＜0时，走向是“捺”。这样更形象，容易记忆。
投影打出正比例函数的性质：当k＞0时，函数图像经过第一、三象限；当k＜0时，函数图像经过第二、四象限。
师：现在我们做个小练习，由正比例函数解析式（根据k的正负），来判断其函数图像的走向。
y=－x y=x y= x y=－x
y=（a2＋1）x (其中a是常数) y=（－a2－1）x (其中a是常数)
鼓励学生踊跃抢答。
反过来，由函数图象所在的象限，请你说出一个满足条件的正比例函数解析式。
好，我们来看下一个问题，（电脑重现第二问题：2、对其中的某一个正比例函数图像，当x增大时，函数值y怎样变化？x减小呢？）如果一定想讲减少，建议放在练习里讲。
继续观察刚才的函数图像，看看当自变量发生变化时，函数值是怎样变化的。我们以y=2x为例,【几何画板演示：x取……-3、-2、-1、0、1、2、3……，观察对应的函数值y的变化……，发现当x在逐渐增大时，y的值也在增大；反之，亦成立！画板中用 表示x在增大，用 表示y在增大。图像的走向是不是很像汉字里的提呢，（提）在从左向右的同时，也从下到上的走势，（图像函数值）由小到大的变化。】学生在自己的小方格本上观察有些困难，通过教师的电脑动态演示，使图像动起来，看起来更直观，便于发现正比例函数图像的性质。
再看正比例函数的比例系数k小于零时的情况（以y=－2x为例），当自变量x逐渐增大时，函数值y反而减小，反之，当自变量x逐渐减小时，函数值y却在变大。【几何画板演示，同上。】我们把它很形象地比作汉字里捺的走向，捺从上到下，函数值从大到小。
即：当k＞0时，自变量x逐渐增大时，函数值y也在逐渐增大；（即“提”的走向）当k＜0时，自变量x逐渐增大时，函数值y反而减小。(即“捺”的走向)
下面由老师来证明这个性质：（由观察猜想到逻辑证明）
（口述）证明：这个证明是不是书上要求的？当k>0时，若x1>x2，则有kx1>kx2，即y1>y2
若x1<x2 ，则有kx1<kx2，即y1<y2
即当k>0时，自变量x逐渐增大时，函数值y也在逐渐增大。同理，当k<0时，亦可证明y随x的增大而减小。
师：小练习：由函数解析式，请你说出它的变化情况：
y=3x y=－x y=x y=－ y=（a2＋1）x (其中a是常数)
y=（－a2－1）x (其中a是常数)
鼓励学生踊跃抢答。
第三个问题：你从中得出什么规律？
归纳总结（由学生回答）正比例函数y=kx(k≠0)的性质：
① 当k＞0时，函数图像经过第一、三象限；自变量x逐渐增大时，函数值y也在逐渐增大；（也就是“提”的走向）
② 当k＞0时，函数图像经过第二、四象限；自变量x逐渐增大时，函数值y反而减小。（也就是“捺”的走向）
归纳为一句话，正比例函数图象的性质归根结底看k的符号。
即： k＞0 提 （一、三，增大） ；
k＜0 捺 （二、四，减小）
（三）应用
1、、正比例函数的解析式是 ，它的图像一定经过 。
2、y=－的图像经过第 象限。
3、已知ab ＜0，则函数y= x的图象经过 象限。
4、已知正比例函数y=(2a+1)x，若y的值随x的增大而减小，求a的取值范围。
5、当m为何值时，y=mxm2-3是正比例函数，且y随x的增大而增大。
思考题：
① 已知正比例函数y=(m+1)xm2+1,那么它的图象经过哪些象限。
② 分别说明下列各正比例函数，当m为何值时，y随x的增大而增大，或y随x的增大而减小？
a、y=(m2+1)x b、y=m2x c、y=(m+1)x
（四）小结
这节课让我们知道了……

名称

解析式

图像
图像分布
函数变化情况
k.>0（提）
k<0
（捺）
k>0（提）
k<0（捺）
正比例函数
y=kx
(k≠0)
是经过原点（0,0）和（1，k）的一条直线。
一、三象限
二、四
象限
y随着的x增大而增大
y随着x的增大而减小

以表格形式小结，可以整理知识点，形成网络．有利于学生的记忆和内化，让学生理清知识脉络。

（五） 作业
思考题

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