高数一公式-自己的笔记.doc

第一章 极限连续

五种基本初等函数：（缺少定义域）
1．幂函数 2．指数函数
3．对数函数
4．三角函数
5．反三角函数
一、函数的极限：f(x)在x0处极限存在的充分必要条件是f(x)在点x0处的左极限与右极限都存在且相等，此时三者值相同。是否有极限与在x0处有无定义无关。
两个重要极限公式:

二、无穷小量：零可以作为无穷小量的唯一的数。无穷小之商不一定无穷小。
无穷小量比较：设

三、函数连续的三要素
1〉f(x)在x0处有定义；2〉时f(x)有极限；3〉极限值等于该点的函数值。
如果三要素之一不满足即为函数的间断点。

介值定理：设f(x)在[a,b]上连续，f(a)≠f(b),则对于任意介于f(a)与f(b)之间的值c，必定存在一点&使得f(&)=c。
零点定理：设f(x)在[a,b]上连续，f(a)·f(b)<0,则必定存在一点&使f(&)=0。
常用来判定方程f(x)=0根的存在与根的范围。
第二章 一元函数微分学

一、导数
概念：
性质：函数y=f(x)在点x0处可导的充分必要条件是该点处的左右导数都存在且相等。
函数可导性与连续性的关系：可导必定连续，连续不一定可导。
导数定义计算方法：

基本初等函数的导数公式：

导数的四则运算法则：

反函数求导法则：

参数方程求导：

对数求导法：

二、微分
微分的充分必要条件：可导。即可导必可微。
微分中值定理：
1〉 罗尔中值定理：

罗尔中值定理几何意义：连续曲线除端点外的切线平行于X轴。
2〉拉格朗日中值定理：

拉格朗日中值定理几何意义：连续曲线除端点外有切线平行于AB弦。
洛必达法则：对于未定型极限适用

三、导数的应用
1．求切线方程： 求法线方程：
2．函数的增减性判断：
3．函数的极值：（函数导数不存在的点也可能是函数的极值点：如y=IxI在x=0时。）
1〉极值的必要条件：

2〉 极值的第一充分条件：

3〉极值的第二充分条件：

4．函数的最大、最小值：
极大(小)值是某点领域内局部性质，最大(小)值是函数在[a,b]上整体性质。
最大小值求法：
1〉求出f(x)所有(可能的极值点)驻点,导数不存在的点x1,x2….xk。
2〉求出上述各点及x=a,x=b时的函数值,进行比较其中最大的为函数[a,b]上最大值,最小为最小值。
5. 曲线的凹凸性
在区间(a,b)内曲线上点的切线位于曲线弧的下方,则称曲线(a,b)内为上凹(或凹弧),切线位于上方,则称为下凹的(或称凸弧).

连续曲线上凹与下凹的分界点称为曲线弧的拐点.
求拐点的方法:求出二阶导数等于零的点与不存在的点,判断该点两侧的二阶导数是否异号,如异号则该点为曲线弧的拐点,如同号则不是拐点.
6. 曲线的渐进线
若点M沿曲线y=f(x)无限远离原点时,与某条直线L之间的距离无限接近于零,则称L为曲线的渐进线。若直线L与X轴平行,则称L为曲线的水平渐近线;与X轴垂直,则称L为曲线的铅直渐近线。
渐进线的求法:
第三章 一元函数积分学

一、不定积分
原函数：
不定积分：
几何意义：平行于切线的一族积分曲线。
原函数存在原理：f(x)在某区间上连续，则函数f(x)在该区间上的原函数一定存在。
性质：

不定积分基本公式：

二、求积分的方法
1．积分第一换元法

2．积分第二换元法：
解决如：

3．分部积分公式
三、定积分
几何意义：面积值。但有正负，大于0为面积，小于0为面积的负值。
定积分估值定理：如果f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值分别为M和m，则

定积分中值定理：如果f(x)在闭区间[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点使

牛顿=莱布尼茨公式：
定积分的对称性：
无穷区间上的广义积分：
说明：设a>0,当p>1时，广义积分收敛，当时，广义积分发散。
四、定积分的应用1．求平面图形的面积 2．求旋转体体积

第四章 空间解析几何

一、平面方程
1．平面的点法式方程：过点M（x0,y0,z0）,以n={A,B,C}为法向量的平面方程为
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0
2．平面的一般式方程：Ax+By+Cz+D=0
两个平面间的关系：
设有平面л1： A1x+B1y+C1z+D1=0; л2： A2x+B2y+C2z+D2=0
平面л1、л2相互垂直的充分必要条件是：A1A2+B1B2+C1C2=0
平行的充分必要条件是：
重合的充分必要条件是：
二、直线方程
1．直线的标准式方程：过点M0(x0,y0,z0)且平行于向量s={m,n,p}的直线方程

2．直线的一般式方程：A1x+B1y+C1z+D1=0
A2x+B2y+C2z+D2=0
1〉两条直线间关系：
设有两条直线L1：；L2：
直线L1、L2平行的充分必要条件是：
直线L1、L2垂直的充分必要条件是：m1 m2 +n1 n2 +p1p2 =0
2〉直线L与平面л之间的关系
L：；л：Ax+By+Cz+D=0
直线L与平面л垂直的充分必要条件：
直线L与平面л平行的充分必要条件：Am+Bn+Cp=0
直线L落在平面л上的充分必要条件：Am+Bn+Cp=0
Ax0+By0+Cz0+D0=0
三、简单的二次曲面
曲面方程：如果F(x,y,z)=0为二次方程，则它表示的曲面称为二次曲面。
1． 柱面方程：F(x,y)=0方程表示母线平行于Oz轴的轴面，称之为柱面方程。
方程x2+y2-a2=0表示母线平行Oz轴的圆柱面方程。
同理，F(y,z)=0, F(x,z)=0表示柱面，它们的母线分别平行于Ox轴及Oy轴。
2． 球面方程：(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 表示球心在(a,b,c)半径为R的球面方程。
3． 椭球面方程：表示中心在原点的椭球面。
4． 锥面方程：表示顶点在原点，Oz轴为对称轴的正锥面。
5． 旋转抛物面方程：如果L为yOz坐标平面上的抛物线,则f(,z)=0
第五章 多元函数微积分学

一、 求二元函数的定义域
记住常用初等函数的定义域。
二、 偏导数与全微分

三、 二元函数的极值
极值存在的必要条件：

极值的充分条件：

二元函数的条件极值：

四、 二重积分
1． 直角坐标下的二重积分的计算
选择积分次序及交换积分顺序原则：
如先对y积分，作平行于y轴的直线与积分区域D相交，沿y轴正方向看入口线y1(x)，出口线y2(x)，
积分区域：积分下限y1(x)≤y≤积分上限y2(x)；
再对x积分，积分区域在X轴上作投影，投影最小值a，最大值b，
积分区域：积分下限a≤x≤积分上限b
2． 极坐标下的二重积分的计算

3． 二重积分的应用
1〉几何运用：

2〉物理运用：
设有平面薄片D，其上点（x,y）处的密度为f(x,y)，则质量
第六章 无穷级数

一、级数的收敛：如果级数的和极限存在，则称级数收敛。
性质：级数收敛的必要条件：
推论：
注意：
常用标准级数（可直接引用）：

二、正项级数：
正项级数收敛的判别方法：
1．比较判别法：

2．比值判别法：

3．极限形式比较法：

判定正项级数收敛性的方法选择：
1．
2．用比值判别法，特别含有n!的情形；
3．比较判别法。
三、任意项级数
任意项级数：如果中各项可以是正数、负数或零，则称为任意项级数。
交错级数：形式如的级数称为交错级数。
莱布尼茨定理：

莱布尼茨级数为收敛级数（可作公式）：
四、绝对收敛与条件收敛
若收敛，则必定收敛，此时称绝对收敛。
若收敛，而发散，则称条件收敛。
判定步骤：1〉先判定收敛性，如收敛则可知绝对收敛；
2〉如发散，再考察收敛性，如收敛则为条件收敛。
五、幂级数
形如的级数称为的幂级数。
存在一个正数R当时,绝对收敛,则R称为收敛半径，（-R,R）称为收敛区间。
收敛半径的求法，定理：

标准展开形式：

第七章 常微分方程

一、可分离变量微分方程
形式如的方程为可分离变量的微分方程。
求解方程通解的一般步骤：
1． 分离变量，将方程变形使等式一端只含y的微分，系数为y的函数，另一端只含x的微分，系数为x的函数。
2． 两端分别积分可得方程通解。
如果求特解，只需将初始条件代入通解，定出常数C即可。
例1：微分方程的通解为：
分离变量：；两端积分：
例2：已知
分离变量：
两端积分：

二、一阶线形微分方程
形式如称为一阶线性微分方程。
求解公式：
三、求解二阶线形常系数齐次方程
求通解
1〉求解特征方程：
2〉
三、求解二阶线形常系数非齐次方程的解
1〉求线形齐次方程的通解Y；
2〉再求一个特解，特解设为：
a不为特征根k=1，a为单特征根k=1，a为双特征根k=2。