高数一公式-自己的笔记.doc

第一章 极限连续五种基本初等函数：（缺少定义域）1幂函数 2指数函数3对数函数 4三角函数5反三角函数一、函数的极限：f(x)在x0处极限存在的充分必要条件是f(x)在点x0处的左极限与右极限都存在且相等，此时三者值相同。是否有极限与在x0处有无定义无关。 两个重要极限公式: 二、无穷小量：零可以作为无穷小量的唯一的数。无穷小之商不一定无穷小。 无穷小量比较：设 三、函数连续的三要素 1f(x)在x0处有定义；2时f(x)有极限；3极限值等于该点的函数值。 如果三要素之一不满足即为函数的间断点。 介值定理：设f(x)在a,b上连续，f(a)f(b),则对于任意介于f(a)与f(b)之间的值c，必定存在一点&使得f(&)=c。 零点定理：设f(x)在a,b上连续，f(a)f(b)0,当p1时，广义积分收敛，当时，广义积分发散。四、定积分的应用1求平面图形的面积 2求旋转体体积 第四章 空间解析几何一、平面方程1平面的点法式方程：过点M（x0,y0,z0）,以n=A,B,C为法向量的平面方程为 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=02平面的一般式方程：Ax+By+Cz+D=0 两个平面间的关系： 设有平面1： A1x+B1y+C1z+D1=0; 2： A2x+B2y+C2z+D2=0 平面1、2相互垂直的充分必要条件是：A1A2+B1B2+C1C2=0 平行的充分必要条件是： 重合的充分必要条件是：二、直线方程1直线的标准式方程：过点M0(x0,y0,z0)且平行于向量s=m,n,p的直线方程 2直线的一般式方程：A1x+B1y+C1z+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2=0 1两条直线间关系： 设有两条直线L1：；L2： 直线L1、L2平行的充分必要条件是： 直线L1、L2垂直的充分必要条件是：m1 m2 +n1 n2 +p1p2 =0 2直线L与平面之间的关系 L：；：Ax+By+Cz+D=0 直线L与平面垂直的充分必要条件： 直线L与平面平行的充分必要条件：Am+Bn+Cp=0 直线L落在平面上的充分必要条件：Am+Bn+Cp=0 Ax0+By0+Cz0+D0=0三、简单的二次曲面 曲面方程：如果F(x,y,z)=0为二次方程，则它表示的曲面称为二次曲面。1 柱面方程：F(x,y)=0方程表示母线平行于Oz轴的轴面，称之为柱面方程。 方程x2+y2-a2=0表示母线平行Oz轴的圆柱面方程。 同理，F(y,z)=0, F(x,z)=0表示柱面，它们的母线分别平行于Ox轴及Oy轴。2 球面方程：(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 表示球心在(a,b,c)半径为R的球面方程。 3 椭球面方程：表示中心在原点的椭球面。4 锥面方程：表示顶点在原点，Oz轴为对称轴的正锥面。5 旋转抛物面方程：如果L为yOz坐标平面上的抛物线,则f(,z)=0第五章 多元函数微积分学一、 求二元函数的定义域记住常用初等函数的定义域。二、 偏导数与全微分 三、 二元函数的极值极值存在的必要条件：极值的充分条件：二元函数的条件极值：四、 二重积分1 直角坐标下的二重积分的计算选择积分次序及交换积分顺序原则：如先对y积分，作平行于y轴的直线与积分区域D相交，沿y轴正方向看入口线y1(x)，出口线y2(x)， 积分区域：积分下限y1(x)y积分上限y2(x)；再对x积分，积分区域在X轴上作投影，投影最小值a，最大值b， 积分区域：积分下限ax积分上限b2 极坐标下的二重积分的计算 3 二重积分的应用 1几何运用： 2物理运用： 设有平面薄片D，其上点（x,y）处的密度为f(x,y)，则质量第六章 无穷级数一、级数的收敛：如果级数的和极限存在，则称级数收敛。 性质：级数收敛的必要条件：推论：注意：常用标准级数（可直接引用）： 二、正项级数： 正项级数收敛的判别方法： 1比较判别法： 2比值判别法： 3极限形式比较法： 判定正项级数收敛性的方法选择： 1 2用比值判别法，特别含有n!的情形； 3比较判别法。三、任意项级数任意项级数：如果中各项可以是正数、负数或零，则称为任意项级数。交错级数：形式如的级数称为交错级数。莱布尼茨定理：莱布尼茨级数为收敛级数（可作公式）：四、绝对收敛与条件收敛若收敛，则必定收敛，此时称绝对收敛。若收敛，而发散，则称条件收敛。判定步骤：1先判定收敛性，如收敛则可知绝对收敛； 2如发散，再考察收敛性，如收敛则为条件收敛。五、幂级数 形如的级数称为的幂级数。 存在一个正数R当时,绝对收敛,则R称为收敛半径，（-R,R）称为收敛区间。收敛半径的求法，定理： 标准展开形式： 第七章 常微分方程一、可分离变量微分方程形式如的方程为可分离变量的微分方程。求解方程通解的一般步骤：1 分离变量，将方程变形使等式一端只含y的微分，系数为y的函数，另一端只含x的微分，系数为x的函数。2 两端分别积分可得方程通解。如果求特解，只需将初始条件代入通解，定出常数C即可。例1：微分方程的通解为：分离变量：；两端积分：例2：已知分离变量：两端积分：二、一阶线形微分方程形式如称为一阶线性微分方程。求解公式：三、求解二阶线形常系数齐次方程求通解1求解特征方程：2三、求解二阶线形常系数非齐次方程的解1求线形齐次方程的通解Y；2再求一个特解，特解设为： a不为特征根k=1，a为单特征根k=1，a为双特征根k=2。