电磁场与电磁波试题及答案111..doc

1. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。
非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为，(3分)（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。
2. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件。
时变场的一般边界条件 、、、。 (或矢量式、、、)
3. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。
矢量位；动态矢量位或。库仑规范与洛仑兹规范的作用都是限制的散度，从而使的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。
4. 简述穿过闭合曲面的通量及其物理定义 
 是矢量A穿过闭合曲面S的通量或发散量。若Ф> 0，流出S面的通量大于流入的通量，即通量由S面内向外扩散，说明S面内有正源若Ф< 0，则流入S面的通量大于流出的通量，即通量向S面内汇集，说明S面内有负源。若Ф=0，则流入S面的通量等于流出的通量，说明S面内无源。
5. 简述亥姆霍兹定理并举例说明。
亥姆霍兹定理研究一个矢量场，必须研究它的散度和旋度，才能确定该矢量场的性质。 例静电场 有源
无旋
6. 试写出一般电流连续性方程的积分与微分形式 ，恒定电流的呢？
一般电流；
恒定电流
7. 电偶极子在匀强电场中会受作怎样的运动？在非匀强电场中呢？
电偶极子在匀强电场中受一个力矩作用，发生转动；非匀强电场中，不仅受一个
力矩作用，发生转动，还要受力的作用，使 电偶极子中心 发生平动，移向电场强的方向。
8. 试写出静电场基本方程的积分与微分形式 。
积分形式 ，
微分形式
9. 试写出静电场基本方程的微分形式，并说明其物理意义。
静电场基本方程微分形式 ，说明激发静电场的源是空间电荷的分布（或是激发静电场的源是是电荷的分布）。
10. 试说明导体处于静电平衡时特性。
导体处于静电平衡时特性有
①导体内 ；
②导体是等位体（导体表面是等位面）；
③导体内无电荷，电荷分布在导体的表面(孤立导体，曲率)；
④导体表面附近电场强度垂直于表面，且 。
11. 试写出两种介质分界面静电场的边界条件。
在界面上D的法向量连续 或（）；E的切向分量连续或（）
12. 试写出1为理想导体，二为理想介质分界面静电场的边界条件。
在界面上D的法向量 或（）；
E的切向分量或（）
13. 试写出电位函数表示的两种介质分界面静电场的边界条件。
电位函数表示的两种介质分界面静电场的边界条件为，
14. 试推导静电场的泊松方程。
由     ，其中  ，
为常数
     泊松方程
15. 简述唯一性定理，并说明其物理意义
对于某一空间区域V，边界面为s，φ满足
，
给定 （对导体给定q）
则解是唯一的。只要满足唯一性定理中的条件，解是唯一的，可以用能想到的最简便的方法求解（直接求解法、镜像法、分离变量法……），还可以由经验先写出试探解，只要满足给定的边界条件，也是唯一解。不满足唯一性定理中的条件无解或有多解。

16. 试写出恒定电场的边界条件。
恒定电场的边界条件为 ，，
17. 分离变量法的基本步骤有哪些?
具体步骤是1、先假定待求的位函数由两个或三个各自仅含有一个坐标变量的乘积所组成。2、把假定的函数代入拉氏方程，使原来的偏微分方程转换为两个或三个常微分方程。解这些方程，并利用给定的边界条件决定其中待定常数和函数后，最终即可解得待求的位函数。
18. 叙述什么是镜像法？其关键和理论依据各是什么？
镜像法是用等效的镜像电荷代替原来场问题的边界，其关键是确定镜像电荷的大小和位置，理论依据是唯一性定理。
19. 试写出真空中恒定磁场的基本方程的积分与微分形式，并说明其物理意义。
真空中恒定磁场的基本方程的积分与微分形式分别为
’
说明恒定磁场是一个无散有旋场，电流是激发恒定磁场的源。
20. 试写出恒定磁场的边界条件，并说明其物理意义。
恒定磁场的边界条件为:,，说明磁场在不同的边界条件下磁场强度的切向分量是不连续的，但是磁感应强强度的法向分量是连续。
21. 由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。
点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程
和
由得

据散度定理，上式即为

利用球对称性，得

故得点电荷的电场表示式

由于，可取，则得

即得泊松方程

22. 写出在空气和的理想磁介质之间分界面上的边界条件。
空气和理想导体分界面的边界条件为

根据电磁对偶原理，采用以下对偶形式

即可得到空气和理想磁介质分界面上的边界条件

式中，Jms为表面磁流密度。
23. 写出麦克斯韦方程组（在静止媒质中）的积分形式与微分形式。

24. 　试写媒质1为理想介质2为理想导体分界面时变场的边界条件。
边界条件为
　或　　
　　　或 　　
　  或 　 　
　　　或　  

25. 试写出理想介质在无源区的麦克斯韦方程组的复数形式。

26. 试写出波的极化方式的分类，并说明它们各自有什么样的特点。
波的极化方式的分为圆极化，直线极化，椭圆极化三种。
圆极化的特点，且的相位差为，
直线极化的特点的相位差为相位相差，
椭圆极化的特点，且的相位差为或，
27. 能流密度矢量（坡印廷矢量）是怎样定义的？坡印廷定理是怎样描述的？

能流密度矢量（坡印廷矢量）定义为单位时间内穿过与能量流动方向垂直的单位截面的能量。坡印廷定理的表达式为或　，反映了电磁场中能量的守恒和转换关系。
28. 试简要说明导电媒质中的电磁波具有什么样的性质？（设媒质无限大）
导电媒质中的电磁波性质有电场和磁场垂直；振幅沿传播方向衰减 ；电场和磁场不同相；以平面波形式传播。
29. 写出非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式，并简要说明其物理意义。
非限定情况下麦克斯韦方程组的微分形式为（表明了电磁场和它们的源之间的全部关系除了真实电流外，变化的电场（位移电流）也是磁场的源；除电荷外，变化的磁场也是电场的源。
30. 写出时变电磁场在1为理想导体与2为理想介质分界面时的边界条件
时变场的一般边界条件 、、、。 (写成矢量式、、、一样给5分)
31. 写出矢量位、动态矢量位与动态标量位的表达式,并简要说明库仑规范与洛仑兹规范的意义。
矢量位；动态矢量位或。库仑规范与洛仑兹规范的作用都是限制的散度，从而使的取值具有唯一性；库仑规范用在静态场，洛仑兹规范用在时变场。
32. 描述天线特性的参数有哪些？
描述天线的特性能数有辐射场强、方向性及它的辐射功率和效率。
33. 天线辐射的远区场有什么特点？
天线的远区场的电场与磁场都是与1/r成正比，并且它们同相，它们在空间相互垂直，其比值即为媒质的本征阻抗，有能量向外辐射。
1. 真空中有一导体球A， 内有两个介质为空气的球形空腔B和C。 其中心处分别放 置点电荷和， 试求空间的电场分布。
对于A球内除B、C 空腔以外的地区，由导体的性质可知其内场强为零。 对 A球 之外， 由于在A 球表面均匀分布  的电荷， 所以 A 球以外区域 
  （方向均沿球的径向）
 对于 A内的B、C空腔内，由于导体的屏蔽作用则
   (为B内的点到B 球心的距离)
     (为C内的点到C球心的距离)
2. 如图所示， 有一线密度 的无限大电流薄片置于平面上，周围媒质为空气。试求场中各点的磁感应强度。

根据安培环路定律, 在面电流两侧作一对称的环路。则

 由                     

3.  图示空气中有两根半径均为a，其轴线间距离为 d 的平行长直圆柱导体，设它们单位长度上所带的电荷 量分别为和 ， 若忽略端部的边缘效应，试求
(1) 圆柱导体外任意点p 的电场强度的电位的表达式 ；
(2) 圆柱导体面上的电荷面密度与值。

 以y轴为电位参考点，则

4. 已知真空中二均匀平面波的电场强度分别为: 和求合 成波电场强度的瞬时表示式及极化方式。

得       
   合成波为右旋圆极化波。 

5. 长直导线中载有电流，其近旁有一矩形线框，尺寸与相互 位置如图所示。设时，线框与直导线共面时，线框以均匀角速度 绕平行于直导线的对称轴旋转，求线框中的感应电动势。
长直载流导线产生的磁场强度

 时刻穿过线框的磁通

感应电动势

 参考方向时为顺时针方向。   
6. 无源的真空中，已知时变电磁场磁场强度的瞬时矢量为

  试求(1) 的值 ; (2) 电场强度瞬时矢量和复矢量(即相量)。
（1) 

由   
得     
  故得 

(2)   

7. 已知求
(1) 穿过面积 在方向的总电流
(2) 在上述面积中心处电流密度的模；
(3) 在上述面上的平均值 。
(1)

(2)  面积中心 ,    , 

(3)  的平均值

8. 已知， 今将边长为的方形线框放置在坐标原点处，如图，当此线框的法线分别沿、 和方向时，求框中的感应电动势。
(1) 线框的法线沿时由

得 

(2)  线 框 的 法 线 沿 时

线框的法线沿时

9. 无源真空中，已知时变电磁场的磁场强度  为； , 其中、为常数，求位 移电流密度 。
因为 
 由

得 

10. 图示极板面积为S、间距为 d的平行板空气电容器内，平行地放入一块面积为S、厚度为a、介电常数为的介质板。 设左右两极板上的电荷量分别为与 。若忽略端部的边缘效应，试求
(1) 此电容器内电位移与电场强度的分布；
(2) 电容器的电容及储存的静电能量。
解1） 
，
  2)

11. 在自由空间传播的均匀平面波的电场强度复矢量为

求（1）平面波的传播方向；
（2）频率；
（3）波的极化方式；
（4）磁场强度；
（5）电磁波的平均坡印廷矢量。
解（1）平面波的传播方向为＋ｚ方向
（2）频率为　
（3）波的极化方式因为，故为左旋圆极化．
（4）磁场强度

（5）平均功率坡印廷矢量

12. 如图 所示，长直导线中载有电流 ，一 矩形导线框位于其近旁，其两边与直线平行并且共面，求导线框中的感应电动势。
解载流导线产生的磁场强度的大小为

 穿过线框的磁通量

 线框中的感应电动势

 参考方向为顺时针方向。
13. 空气中传播的均匀平面波电场为，已知电磁波沿ｚ轴传播，频率为f。求
(1)磁场；
(2)波长；
(3)能流密度和平均能流密度；
(4)能量密度。
解
（1）

（2）
（3）

（4）
13. 平行板电容器的长、宽分别为和，极板间距离为。电容器的一半厚度()用介电常数为的电介质填充，
（1）板上外加电压，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；
（2）若已知板上的自由电荷总量为，求此时极板间电压和束缚电荷；
（3）求电容器的电容量。
（1） 设介质中的电场为，空气中的电场为。由，有

又由于

由以上两式解得

故下极板的自由电荷面密度为

上极板的自由电荷面密度为

电介质中的极化强度

故下表面上的束缚电荷面密度为

上表面上的束缚电荷面密度为

（2）由

得到

故

（3）电容器的电容为

14. 频率为的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿（）方向传播，介质的特性参数为、，。设电场沿方向，即；当，时，电场等于其振幅值  。试求
（1） 和；
（2） 波的传播速度；
（3） 平均波印廷矢量。
解以余弦形式写出电场强度表示式

把数据代入

则

（2）波的传播速度

（3）平均坡印廷矢量为

15. 两点电荷位于轴上处，位于轴上处，求处的电场强度。
解 电荷在处产生的电场为

电荷在处产生的电场为

故处的电场为

16. 一个半径为的导体球带电荷量为，当球体以均匀角速度绕一个直径旋转，求球心处的磁感应强度。
解 球面上的电荷面密度为

当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量点处的电流面密度为

将球面划分为无数个宽度为的细圆环，则球面上任一个宽度为细圆环的电流为

细圆环的半径为，圆环平面到球心的距离，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为

故整个球面电流在球心处产生的磁场为

17. 半径为的球体中充满密度的体电荷，已知电位移分布为

其中为常数，试求电荷密度。
解 由，有

故在区域

在区域

18. 一个半径为薄导体球壳内表面涂覆了一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为为的体电荷，球壳上又另充有电荷量。已知球内部的电场为，设球内介质为真空。计算（1） 球内的电荷分布；（2）球壳外表面的电荷面密度。
解 （1） 由高斯定理的微分形式可求得球内的电荷体密度为

（2）球体内的总电量为

球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷，而且在球壳外表面上还要感应电荷，所以球壳外表面上的总电荷为2，故球壳外表面上的电荷面密度为

19. 中心位于原点，边长为的电介质立方体的极化强度矢量为
。
（1）计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；（2）证明总的束缚电荷为零。
解 （1）

同理

（2）
20. 一个半径为的介质球，介电常数为，球内的极化强度，其中为一常数。（1） 计算束缚电荷体密度和面密度；（2） 计算自由电荷密度；（3）计算球内、外的电场和电位分布。
解 （1）介质球内的束缚电荷体密度为

在的球面上，束缚电荷面密度为

（2）由于，所以

即

由此可得到介质球内的自由电荷体密度为

总的自由电荷量

（3）介质球内、外的电场强度分别为

介质球内、外的电位分别为

21. 如图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零，上边盖板的电位为，求槽内的电位函数。

解 根据题意，电位满足的边界条件为
①
②
③
根据条件①和②，电位的通解应取为

由条件③，有

两边同乘以，并从0到对积分，得到

故得到槽内的电位分布

22. 如题（）图所示，在的下半空间是介电常数为的介质，上半空间为空气，距离介质平面距为处有一点电荷。求（1）和的两个半空间内的电位；（2）介质表面上的极化电荷密度，并证明表面上极化电荷总电量等于镜像电荷。

解 （1）在点电荷的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。根据镜像法可知，镜像电荷分布为（如题图（）、（）所示）
，位于
， 位于
上半空间内的电位由点电荷和镜像电荷共同产生，即

下半空间内的电位由点电荷和镜像电荷共同产生，即

（2）由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为

极化电荷总电量为

23. 一个半径为的导体球带有电荷量为，在球体外距离球心为处有一个点电荷。（1）求点电荷与导体球之间的静电力；（2）证明当与同号，且

成立时，表现为吸引力。

解 （1）导体球上除带有电荷量之外，点电荷还要在导体球上感应出等量异号的两种不同电荷。根据镜像法，像电荷和的大小和位置分别为（如题图所示）
，
，
导体球自身所带的电荷则与位于球心的点电荷等效。故点电荷受到的静电力为

（2）当与同号，且表现为吸引力，即时，则应有

由此可得出

24. 如题5.8所示图，无限长直线电流垂直于磁导率分别为和的两种磁介质的分界面，试求（1）两种磁介质中的磁感应强度和；（2）磁化电流分布。
解 （1）由安培环路定理，可得

所以得到

（2）磁介质在的磁化强度

则磁化电流体密度

在处，具有奇异性，所以在磁介质中处存在磁化线电流。以轴为中心、为半径作一个圆形回路，由安培环路定理，有

故得到

在磁介质的表面上，磁化电流面密度为

25. 一根半径为a的长圆柱形介质棒放入均匀磁场中与z轴平行。设棒以角速度绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。
解 介质棒内距轴线距离为r处的感应电场为

故介质棒内的极化强度为

极化电荷体密度为

极化电荷面密度为

则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为

26. 已知在空气中，求和。
(提示将E代入直角坐标中的波方程，可求得。)
解 电场E应满足波动方程

将已知的代入方程，得

式中

故得

则

由

得

将上式对时间t积分，得

28. 在自由空间中，已知电场，试求磁场强度。

解 以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式

这是一个沿+z方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为。与之相伴的磁场为

29. 均匀平面波的磁场强度H的振幅为，以相位常数30rad/m在空气中沿方向传播。当t=0和z=0时，若H的取向为，试写出E和H的表示式，并求出波的频率和波长。
解 以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式

与之相伴的电场为

由得波长和频率分别为

则磁场和电场分别为

30. 海水的电导率，相对介电常数。求频率为10kHz、100kHz、1MHz、10MHz、100MHz、1GHz的电磁波在海水中的波长、衰减系数和波阻抗。
解 先判定海水在各频率下的属性

可见，当时，满足，海水可视为良导体。此时

f=10kHz时

f=100kHz时

f=1MHz时

f=10MHz时

当f=100MHz以上时，不再满足，海水属一般有损耗媒质。此时，

f=100MHz时

f=1GHz时

30