电磁场与电磁波课后习题及答案二章习题解答.doc

二章习题解答
2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为，式中阴极板位于，阳极板位于，极间电压为。如果、、横截面，求：（1）和区域内的总电荷量；（2）和区域内的总电荷量。
解 （1）
（2）
2.2 一个体密度为的质子束，通过的电压加速后形成等速的质子束，质子束内的电荷均匀分布，束直径为，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。
解 质子的质量、电量。由

得
故

2.3 一个半径为的球体内均匀分布总电荷量为的电荷，球体以匀角速度绕一个直径旋转，求球内的电流密度。
解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为轴。设球内任一点的位置矢量为，且与轴的夹角为，则点的线速度为

球内的电荷体密度为

故
2.4 一个半径为的导体球带总电荷量为，同样以匀角速度绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。
解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为轴。设球面上任一点的位置矢量为，且与轴的夹角为，则点的线速度为

球面的上电荷面密度为

故
2.5 两点电荷位于轴上处，位于轴上处，求处的电场强度。
解 电荷在处产生的电场为

电荷在处产生的电场为

故处的电场为

2.6 一个半圆环上均匀分布线电荷，求垂直于圆平面的轴线上处的电场强度，设半圆环的半径也为，如题2.6 图所示。
解 半圆环上的电荷元在轴线上处的电场强度为

题 2.6图

在半圆环上对上式积分，得到轴线上处的电场强度为

2.7 三根长度均为，均匀带电荷密度分别为、和地线电荷构成等边三角形。设，计算三角形中心处的电场强度。
解 建立题2.7图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为

题2.7图

则

故等边三角形中心处的电场强度为

2.8 －点电荷位于处，另－点电荷位于处，空间有没有电场强度的点？
解 电荷在处产生的电场为

电荷在处产生的电场为

处的电场则为。令，则有

由上式两端对应分量相等，可得到
①
②
③
当或时，将式②或式③代入式①，得。所以，当或时无解；
当且时，由式①，有

解得

但不合题意，故仅在处电场强度。
2．9 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为。证明：垂直于平面的轴上处的电场强度中，有一半是有平面上半径为的圆内的电荷产生的。
解 半径为、电荷线密度为的带电细圆环在轴上处的电场强度为

题2.10图

故整个导电带电面在轴上处的电场强度为

而半径为的圆内的电荷产生在轴上处的电场强度为

2.10 一个半径为的导体球带电荷量为，当球体以均匀角速度绕一个直径旋转，如题2.10图所示。求球心处的磁感应强度。
解 球面上的电荷面密度为

当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量点处的电流面密度为

将球面划分为无数个宽度为的细圆环，则球面上任一个宽度为细圆环的电流为
细圆环的半径为，圆环平面到球心的距离，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为

故整个球面电流在球心处产生的磁场为
2.11 两个半径为、同轴的相同线圈，各有匝，相互隔开距离为，如题2.11图所示。电流以相同的方向流过这两个线圈。
（1）求这两个线圈中心点处的磁感应强度；
（2）证明：在中点处等于零；
（3）求出与之间的关系，使中点处也等于零。
解 （1）由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度
得到两个线圈中心点处的磁感应强度为
（2）两线圈的电流在其轴线上处的磁感应强度为

题2.11图

所以
故在中点处，有

（3）

令 ，有
即
故解得

题 2.12图

2.12 一条扁平的直导体带，宽为，中心线与轴重合，通过的电流为。证明在第一象限内的磁感应强度为 ， 式中、和如题2.12图所示。
解 将导体带划分为无数个宽度为的细条带，每一细条带的电流。由安培环路定理，可得位于处的细条带的电流在点处的磁场为

则

所以

2.13 如题2.13图所示，有一个电矩为的电偶极子，位于坐标原点上，另一个电矩为的电偶极子，位于矢径为的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为

题 2.13图

式中，，是两个平面和间的夹角。并问两个偶极子在怎样的相对取向下这个力值最大？
解 电偶极子在矢径为的点上产生的电场为

所以与之间的相互作用能为

因为，，则

又因为是两个平面和间的夹角，所以有

另一方面，利用矢量恒等式可得

因此
于是得到 ()
故两偶极子之间的相互作用力为
()
()
由上式可见，当时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。
2.14 两平行无限长直线电流和，相距为，求每根导线单位长度受到的安培力。
解 无限长直线电流产生的磁场为
直线电流每单位长度受到的安培力为
式中是由电流指向电流的单位矢量。
同理可得，直线电流每单位长度受到的安培力为
2.15 一根通电流的无限长直导线和一个通电流的圆环在同一平面上，圆心与导线的距离为，如题2.15图所示。证明：两电流间相互作用的安培力为

题2.15图

这里是圆环在直线最接近圆环的点所张的角。
解 无限长直线电流产生的磁场为

圆环上的电流元受到的安培力为

由题2.15图可知

所以

2.16 证明在不均匀的电场中，某一电偶极子绕坐标原点所受到的力矩为。
解 如题2.16图所示，设，则电偶极子绕坐标原点所受到的力矩为

题2.16 图

当时，有

故得到