矩阵的秩 学年论文.doc

学号：20095034022

学年论文（本科）

学 院 数学与信息科学学院
专 业 信息与计算科学
年 级 2009级
姓 名 张晓函
论文题目 矩阵的秩
指导教师 彭玉成 职称 讲师
成 绩

2009年5月25日

学年论文成绩评定表
评 语

成 绩：

指导教师(签名):

200 年 月 日

学院意见：

学院院长(签名):

200 年 月 日

目 录

摘 要 ……………………………………………………………………………1
关键词 ………………………………………………………………………………1
Abstract ……………………………………………………………………………1
Keywords …………………………………………………………………………1
引言 ………………………………………………………………………………1
1预备知识 ………………………………………………………………………1
2矩阵的秩的性质 ……………………………………………………………2
3矩阵秩的计算 ……………………………………………………4
4矩阵秩的应用 …………………………………………………………8
5结束语 …………………………………………………………………………9
参考文献 …………………………………………………………………………9

7

矩阵的秩
学生姓名：张晓函 学号：20095034048
数学与信息科学学院 信息与计算科学系
指导教师：彭玉成 职称：讲师
摘要：本文是关于求一个数字矩阵的秩的方法的初步探究.归纳总结了求矩阵秩的常用方法.
关键词：矩阵；初等变换；子式；极大线性无关组

Matrix rank
Abstract: This article is about for a digital matrix rank of the preliminary inquiry method. Summarizes the commonly used method of matrix rank
Keywords: matrix,elementary transformation, son,great linearly independent groups
前言
矩阵是贯穿线性代数的一块重要内容．而对矩阵秩的探究是我们学习矩阵的一个重要部分.也是我们判断线性方程组解的情形的重要手段．下面就来具体讨论、探究数字矩阵秩的求解方法.
1．预备知识
定义1.1：矩阵A中不为零的子式的最高阶数称为A的秩.记作
定义1.2：矩阵的行秩就是矩阵行向量的秩；矩阵的列秩就是矩阵列向量的秩.
定义1.3：在一个矩阵中任意选定行和列，位于这些选定的行和列的交点上的个元素按原来的次序所组成级行列式，称为的一个级子式.
定义1.4：向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.
2.矩阵的秩的性质
1）现在我们来研究矩阵的秩具有哪些性质，从而利用这些性质求矩阵的秩。
性质2.1 矩阵的行秩与列秩相等．
证 设所讨论的矩阵为，
而的行秩，列秩．为了证明，我们先来证明．
以代表矩阵行向量组，无妨设是它的一个极大线性无关组．因为是线性无关的，所以方程

只有零解，也就是说，齐次线性方程组

只有零解．则这个方程组的系数矩阵

的行秩．因之在它的行向量中可以找到个线性无关的，譬如说，向量组
，，…，
线性无关．那么在这些向量上添加几个分量后所得的向量组
，，…，
也线性无关．它们正好是矩阵的个列向量，有它们线性无关性可知矩阵的列秩至少是，也就是说．
用同样的方法可证．这样，我们就证明了行秩与列秩相等．
性质2.2 初等行（列）变换不改变矩阵的秩
证 矩阵的初等行变换是把行向量组变成一个与之等价的向量组，而我们知道，等价的向量组都有相同的秩．因此，初等变换不改变举证的秩．同样的，初等列变换也不改变举证的秩．
定理2.1一矩阵的秩是的充分必要条件是矩阵中有一个级子式不为零，同时所有
级子式全为零．

3. 矩阵的秩的计算
3.1方法一 初等变换
分析：由性质2可知，矩阵经初等变换后，其秩不变．因此，可用初等变换求矩阵的秩．
用初等变换求矩阵的秩，级可一用初等行变换，也可用初等列变换，也可交替进行把替个矩阵化为阶梯行矩阵．由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行（列）数的个数，所以化得的阶梯形矩阵中非零行（列）数就是矩阵的秩．
3.1.1 已知
，求．
解：对矩阵进行初等行变换化阶梯形

因为非零行的个数为3，故．
注：此方法使用方便，不需要计算行列是，也不需要考察向量组的相关性，因此，是求秩最常用的方法．
3.2 方法二：计算子式法
分析：由定义1，矩阵的秩就是矩阵中不等于零的子式的最高阶数．根据这一定义，要求矩阵的秩，需计算行列式的各阶子式．从阶数最高的子式开始，一直找到不等于零的子是中阶数最大色一个子式．则这个子式的阶数就是矩阵的秩．
3.2.1 设
，求．
解：因为只有4行，所以的每4阶子式都取遍的4行；又因为有5列，所以每次取出4列按原来的顺序组成的4阶子是共有个，它们是

所以的所有4阶子式都等于零，在考虑的3阶子式，有一个3阶子式

所以由定理1可知，．
3.3 方法三：综合法
综合使用初等变换和计算子式法秋菊在的秩的方法称为综合法．先对矩阵施行初等变换，将其化为比较简单的形式(不必为阶梯形)，然后用计算的子式的方法求出．
3.3.1 求下列矩阵的秩
解：

显然的所有4阶子式均为零，中有一个3阶子式不为零，故．
3.4 方法四：求极大线性无关组法
因为秩的行秩的列秩，而由定义3可知，向量组的极大线性无关组所函向量的个数．所以，求矩阵的秩可转化为求的行向量或列向量的极大线性无关组所含向量的个数．
3.4.1 求下列矩阵的秩．
解 设的5个列向量依次为

由于对应分量不成比例，故线性无关．
而， ， ．故是的列向量的极大线性无关组，所以秩．
4 矩阵的秩的应用
矩阵的秩的应用很广泛，但由于目前所学知识的有限，现只讨论矩阵的秩在
齐次线性方程组中的应用．
1.1.1求解齐次线性方程组
解 对系数矩阵进行初等行变换

得到同解的方程组的系数矩阵为，则有
， ，
故此方程组有两个自由未知量，选主元所在的未知量为独立未知量．即为独立未知量，为自由未知量．得到同解方程组

取和得基础解系为
，
于是 的一般解为 （其中为任意实数）
5结束语
通过对该部分知识的研究和总结，我对矩阵的求秩问题有了更深刻的认识．激发了我对矩阵这部分知识的学习兴趣，同时我也认识到随着对知识的深入学习，在不久的将来，矩阵的秩将运用到更广泛的领域．
参考文献
[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2003.
[2]张学元．线性代数能力试题题解．华中理工大学出版社[M]．2003．
[3]俞正光．线性代数与空间解析几何学习指导：典型例题精析．北京:科学出版社[M]．2003