选修一《抛物线》考点复习与同步训练(含答案解析).docx

【思维导图】抛物线
【常见考点】定义
性质《3.3 抛物线》考点复习
平面内与一个定点F和一条定直线1（点F不在直线1上）的距离相等的 点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线1叫做抛物 线的准线
标准
/=2px
/= • 2px
? = 2py
7= • 2py

p的几何意义:
焦点卢到准线/的距g（P>0）

方程

\|y|
\ F /
y f
图形

未

5。.。）
对称轴
X轴
><轴
焦点
£。）
信。］
同

参心率

1

准线
方程
2
2
P
^ 2
P
^2
范围
jr>0 , yeR
x<Q , yeR
y>Q, xe R
y<0 , xeR
开口
方向
向右
向左
向上
向下
焦半径
|叫f $
\Pf\ =-活+ $
1必5$
1羽=5$
设是过抛物线/ = 2次夕>0）焦点卢的弦，若A（xlty^, 8（为，此），处弦48的倾斜角.则

该抛物线X2 =-2py(p>0)经过点(6,-5),则36 = 10p,解得p =—，故桥形对应的抛物Q
线的焦点到准线的距离为P=飞~.故选I)3.抛物线C:y2 =2px(p>0)的焦点为F ,点A(6,y°)是C上一点，|人尸|=2〃，则〃=
()4B. 3C. 2D. 1
【答案】A
【解析】根据抛物线焦半径公式可得：|AF| = 6 + g = 2〃所以p = 4本题正确选项：A考点三直线与抛物线的位置关系
【例3】已知直线y = k(x + 2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A、B两点,F%C的焦点, 若 | E4| = 2 FB，则 k=()A. -B. —C. -D.
3333
【答案】D
[解析】将 y=k (x+2)代入 y2=8x,得 k2x2+ (4k-8) x+4k、0・Q
设交点的横坐标分别为Xa, Xb,则Xa+Xb二尸-4,①Xa • Xb=4.
又|FA|=Xa+2, |FB|=xb+2, |FA|=2|FB|,888
.•.2xb+4=Xa+2.「.Xa=2xb+2.②将②代入①得 xB=—-2, xA=— -4+2=— -2.
3k3k3k/ g 16、Q
故 Xa • Xb二—t-2 -—^-2 二4.解之得 1?二一.而 k>0, Ak=，满足△ >0.故选 D.
[3/八 3好 J93
【一隅三反】1.已知直线y = hc-l与抛物线r=8y相切，则双曲线x2 -k2y2 = 1的离心率为()
A. V5B. V3C. V2D.吏2
【答案】B\y = kx-\
【解析】由仁。，得疽_8丘+ 8 = 0，jr =8y
・.・直线与抛物线相切，...△ = 64尸—32 = 0,尸=上，2
2・•・双曲线方程为X2-—= 1,
2可得。=1, C、= \/3，
所以离心率e = — = y]3 ,故选B.
a若直线2x-y + c = Q是抛物线x2=4y的一条切线，则・
【答案】-4[2x-y + c = 09
【解析】联立直线和抛物线得到（ 2 ；nJ—8工一4。= 0»左=。》。= -4.故寥=4y
答案为-4.
2. “直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（）条件.
A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要
【答案】A
【解析】“直线与抛物线相切”能推出“直线与抛物线只有一个公共点”，是充分条件，而“直线与抛物线只有一个公共点”推不出“直线与抛物线相切”，不是必要条件，
如图示：

直线和抛物线的对称轴平行时只有1个交点，但不相切，故选：A.
考点四弦长
【例31（1）设尸为抛物线C:y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30。的直线交C于A，B两点,则

点,则
AB
A•亨
B. 6
C. 12
D. 7^3
(2)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,
过F且倾斜角为30。
的直线交C于A,B两点，。为
坐标原点，则AOAB的面积为()
9
D. 一
4
【答案】(1) C (2) D
【解析】由题意，得F(|,0).又因为k = tan30°=争，故直线AB的方程—：),与抛物线y2=3x联立，得16工2_168乂 + 9 = 0，设A(x[,y[\B(x2,y2),由抛物线定义得,
\AB\ =折 +x2 + p =些+2 = 12,选C.
16 2 (2)由题意可知：直线AB的方程为y = 3§(x — j),代入抛物线的方程可得: 4y2—12j^y_9 = 0,设A(xp B(x2, J2),则所求三角形的面积为3 9
+ 力)一4乂了2 ，故选 D.
"1
直线,的方程然后和抛物线方程联立，再由直线与圆锥曲线的交点弦弦长公式I
【一隅三反】

I
【一隅三反】
. AB — J1 + 6』+ *2) — 4工］花1.己知直线2x + my-S = 0经过抛物线x2=4y的焦点，与抛物线相交于A，3两点，。
为坐标原点，则△Q43的面积为()D. 1

D. 1
C. 4【答案】B
【解析】因为抛物线x2=4y的焦点为(0,1), 所以代入直线方程得m-8 = 0,即m = 8,所以直线方程为 > =一上工+ 1,
4与抛物线方程联立得/ +工—4 = 0 ,
所以弦长\AB \=.il +(--V I 4J
又点。到直线y = --x + l的距离为'
4
14a/17
4宥
16

所以AA如的面积为,号号普=件故选B.
2.抛物线C:y = ax2(a>0)的焦点F是双曲线2y2 -2x2 = 1的一个焦点，过F且倾斜角为60°的直线/交。于则\AB\=()
A. 4^3+2
D. 16
16— 3
【答案】I)
【解析】由抛物线C: y = ax2 (q >0)可知焦点F(0,—),由双曲线2尸-2x2 = 1的上焦点4。
坐标为(0,1),且抛物线的焦点F(0,—)是双曲线2尸—2/ = 1的一个焦点，可得-L = 1, ^a4a得a = ：,得抛物线方程为y = F 由题意得直线/的方程为y = Jlr +1,设A(光，乂)，B
(32)
y = V3x +1 联立<1消，化简得%2 -4a/3x-4 = 0,则有：工］+花=4右，工1尤2 = -4 ,y = —X
〔4所以由弦长公式期=Jl + 必/(而+工2)2_4中2 = Jl + (0)顼4句2_4(t)=16. 故选:D.
3. 已知点A，B是抛物线C： y2=4x±的两点，且线段AB过抛物线C的焦点F ,若AB的中点到y轴的距离为2,贝|J AB=()
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】C
【解析】设双知乂)，6(易,力)，^\\AB\=xi+l + x2+\=xi+x2+2,而A3的中点的 横坐标为丑0. = 2,所以|&B|=4+2 = 6.故选C.
考点五定点定值
【例5】已知抛物线C ：尹=2再(p > 0),过其焦点F作斜率为1的直线交抛物线。于A ,B两点，且线段的中点的纵坐标为4.
(1) 求抛物线C的标准方程；
(2) 若不过原点。且斜率存在的直线/与抛物线。相交于。、E两点,且OD1OE.求 证：直线/过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】(1)=戳；(2) (8,0).
【解析】(1)设A，B两点的坐标分别为(与,以)，(与?，％)，则兄=2p" 晃=2p知 两式相减得(以+ %)(以一%) = 2p(x「乌).
即（小*= = 2〃,又线段的中点的纵坐标为4,直线的斜率为1,.・.8 = 2p,.・.〃 =4.
即抛物线C的标准方程为尸=8x.
(2)设直线/： y = kx+b(b^0)与抛物线C： y2 =8x交于点。(而”]),研花见)，
y = kx + b
、寸=8尤’町+舫=0’、八？灿〉0,
._ 8/?寸犬 b2••涉2=后，皿=亏=在,
h由 ODLOE 得玉易 + 乂力二。，即一=一8, b = —Xk, k
直线为 y = k（x—8）, .•./ 过定点（8,0）.
【一隅三反】如图，已知点F为抛物线C： y2 =2px （p>0）的焦点，过点F的动直线1与抛物线
C交于此N两点，且当直线1的倾斜角为45。时，|枷|=16.

（1）求抛物线C的方程.
（2）试确定在x轴上是否存在点P,使得直线PM, PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1） y2=8x （2）存在唯一的点P（—2,0）,使直线PM, PN关于x轴对称
【解析】（1）当直线1的倾斜角为45。，贝的斜率为1,/./的方程为y =尤一§・
p
y - x
1 y2 = 2px,N（X?, %），则尤1 +尤2 =3〃，
/. \MN =而 +x2 + 〃 = 4p = 16, p = 4 , ..・抛物线C的方程为y2=8x.
（2）假设满足条件的点P存在，设尸（。,0）,由（1）知F（2,0）,①当直线1不与x轴垂直时，设1的方程为了 =比（尤一2）（上主0）,
y~2），得矽J _（4《2+8）x + 4R2 =0,A =(4炉 + 8)2 _4•炉・4k2 = 64k2 +64>0,
玉+易二二检，x/2=4.
..•直线PM, PN关于x轴对称,
,, 八虹入1一2) , k(x? -2)「・ kpM + kpN = 0, kpM —，kpN —・
x}-ax2-a
_2）（工2 _々） +《（易 2）（工］ci^ — k 2工］工2 _（［ + 2）（而 +工2）+ 4a］ — ——— — 0,「・ a = —2 时，此时 F（—2,0）.
②当直线1与x轴垂直时，由抛物线的对称性，易知PM, PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可.
综上，存在唯一的点尸（-2,0）,使直线PM, PN关于x轴对称.
2 2己知抛物线C:y2=2px （p>0）的焦点F和椭圆—+ — = 1的右焦点重合，直线世过点F交抛
43物线于A、B两点.
（1）求抛物线C的方程；⑵若直线占交y轴于点M,且MA = mAF,MB = nBF ,田、n是实数，对于直线乩m+n是否为 定值？
若是，求出m+n的值；否则，说明理由.
【答案】（1） y2=4x； （2） -1
【解析】（1） ...椭圆的右焦点日（1,0）,.・・么=1,〃 = 2,..•抛物线C的方程为尸=4工
（2）由己知得直线1的斜率一定存在，所以设1： y = k（x — l）,/与y轴交于M（0,—比）， 设直线1交抛物线于）,8（冬况），由｛'「而 T）n好尤2 — 2侬2 + 2）工+好=o , 广=4x
2
/.A = 4以 2 + 2)
5. 已知抛物线C：尸土的焦点为F, A（x0, y0）是C上一点，且俱尸| = 2%,则x° =
8
（）
A. 2B. ±2C. 4D. ±4
— 4" = 16(F +1) a 0 而 + 易=2k ,和易=1，又由 MA = mAF,:. (Xj, +k) = m(\-xi
即m=
同理〃 =「M
l-x2
心〃=工+工=…-2心=_]
\-Xx 1-X21 - (Xj + x2) + Xj • x2所以，对任意的直线1, m+ n为定值T.
《3. 3 抛物线》同步练习
【题组一抛物线的定义】已知抛物线）2=4兀上一点P到准线的距离为4,至0直线/：4x-3y + ll=0为勺，则 d}+d2的最小值为（）
A. 3B. 4C. y/5D. J7若抛物线寸=2px（p > 0）上的点A（x°,扼）到其焦点的距离是A到V轴距离的3倍，
则〃等于（）
1 3A. —B. 1C. —D. 2
2 2已知抛物线/=4x±点B （在第一象限）到焦点F距离为5,则点B坐标为（）
A. （1,1）B. （2,3）C. （4,4）D.（4,^3）已知抛物线尸=工上的点心到其焦点的距离为2,则M的横坐标是（）
3 579A. —B. —C. —D.—
2 244若抛物线y2=2px(p>0)上任意一点到焦点的距离恒大于1,则p的取值范围是()
A. p<lB. p>lC. p<2D. p>2若点P为抛物线C:y = 2b上的动点，F为C的焦点，贝IJIPFI的最小值为()
1 11A. 1B. —C. —D.—
2 48
【题组二抛物线的标准方程】已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点气>§是抛物线C上一 点，以点M为圆心的圆与直线x = E交于E, G两点，若sinAMFG =-,则抛物线C的
2 3方程是()
A.寸=工B. y1 = 2xC. y2 = 4xD. y2 = Sx
1. 设斜率为2的直线l过抛物线>2=q尤(［。0)的焦点F,且和y轴交于点A.若△Q4F(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线的方程为()A. y2 = 4xB. y2 = 8xC. y2= ±4xD. y2= ±8x
A. XIB.吏
V6
3 .设抛物线y2=2px (p>0)的焦点为。，准线为/，过焦点的直线分别交抛物线于A, B 两点,分别过A8作/的垂线,垂足为C,D.若\AF =3BF ,且三角形CDF的面积为, 则〃的值为()C.
3 323已知点A(0,2),抛物线C： y2=2px(p>0)的焦点为F,射线与抛物线C交于点
M，与抛物线准线相交于N, ^\MN\ = 45\FM\9则P的值为()A. 4B. 1C. 2D. 3
4. 已知点归(1,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上，则〃 =；点M到抛物线C的焦点的距离是・
5. 己知抛物线。：尸=2px(p>0)的焦点为F ,准线为/.若位于工轴上方的动点A在准AF

AF
=1,则抛物线。的标准方程为
AF线/上，线段A尸与抛物线。相交于点3,且k
BF已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与圆必+ y2—6工一7 = 0相切，则〃的值为.
【题组三直线与抛物线的位置关系】过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线共有()
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条己知过点M (1, 0)的直线AB与抛物线y-2x交于A, B两点，0为坐标原点，若0A, 0B
的斜率之和为1,则直线AB方程为.
1. 直线4kx-4y-k =。与抛物线尸=尤交于两点，若|AB|=4,则弦AB的中点到直线尤+上=0的距离等于・
2设抛物线/ =4%的焦点为F ,过F的直线/交抛物线于两点，过A3的中点M作
3y轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点尸，若pf =一,则直线/的方程为.
2
【题组四弦长】已知为抛物线C:y2 =4x±的不同两点，"为抛物线。的焦点，若AB = 5FB^
则 \AB\=()
2525A. —B. 10C. —D. 6
2 4过抛物线C： y2=4x的焦点尸的直线交抛物线C于人0,乂)、B(x2,y2)两点，且
4尤］+无=—,则弦的长为()
- 3
16108A. —B. 4C. —D.—
3 33过抛物线/ =4x的焦点作直线交抛物线于4(工］,乂)，顼如见)两点，若尤1+尤2=6,
则| AB\的值为()A. 10

A. 10
B. 8
C. 6
D. 4

1. 己知过抛物线y2=4x焦点F的直线/交其于A,B两点，O为坐标原点.若AF = 3,
考点一抛物线的定义
【例1】已知抛物线C:x .若抛物线¥ =16y上一点J。,％)到焦点的距离是该点到工轴距离的3倍，则％=(
=Sy的焦点为F ,。为原点，点尸是抛物线C的准线上的一动点，点A在抛物线。上，且AF =4,则+ P0的最小值为()
A. 4a/2
B. 2^/13
C. 3V13
D. 4^6

【一隅三反】1.已知抛物线C: 丁二工的焦点为F ,火气,％)是C上一点,| AF\=^x0，则气=(
D. 8

1.已知抛物线C: 丁二工的焦点为F ,火气,％)是C上一点,| AF\=^x0，则气=(
D. 8
A. 4
B. 2
C. 1

B. V2C. 1
D. 2已知点M是抛物线J=4y上的一动点，F为抛物线的焦点,
A是圆C:
3 —1)2+(〉—4尸=1上一动点，则|M4| + |"|的最小值为(A. 3
B. 4C. 5
D. 6

考点二 抛物线的标准方程
【例2】设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为点M在。上，MF =5,若以馈为直径的圆过点&建N3,则C的方程为()
A. y2 =4尤或,2= 8工B. ,2=2尤或了2=8工则AAOB的面积为.
2. 过抛物线y2 =4x的焦点F作倾斜角为45。的弦AB,则的弦长为・JT
6过抛物线y2=4x的焦点，作倾斜角为一的直线交抛物线于P、Q两点，。为坐标原点，则左4
POQ的面积为・
【题组五定点定值】已知F为抛物线C:y2=2px(〃>0)的焦点，过F的动直线交抛物线C于A. B两点.当
直线与尤轴垂直时，|AB|=4.
(1) 求抛物线。的方程；
(2) 设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线I相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线24, PM , P3的斜率成等差数列，求点尸的坐标.
1. 已知H是抛物线C： y2=2px(p>0)的焦点，点M(x0,4)在抛物线±, k|MF| = |x0.
(1) 求抛物线C的标准方程；
(2) 若A、3是抛物线C上的两个动点，且OALOB, 0为坐标原点，求证：直线A3过定点.
2. 已知点F是抛物线C: y=2px (p>0)的焦点，点M (x°, 1)在C上,且| MF |二气.
4⑴求p的值；
(2)若直线1经过点Q (3, -1)且与C交于A, B (异于M)两点，证明：直线AM与直线BM的斜率之积为常数.
3. 在直角坐标系XQV中，曲线C： y二才与直线y = Ax+o，S>0)交与M,N两点，
(I )当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；
(II) y轴上是否存在点P,使得当k变动时，总有ZOPM^ZOPN?说明理由.
5已知抛物线C的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点人(1,2)为抛物线C上一点.
(1) 求。的方程；
(2) 若点B(L—2)在C上，过3作。的两弦砰与BQ,若知户•知q=—2,求证:直线PQ过定点.
3. 已知抛物线C； y1 =2px过点A(l,l).
A
M
（1）求抛物线C的方程;
（2）过点P（3,-1）的直线与抛物线C交于M, N两个不同的点（均与点A不重合），设直线
AM, AN的斜率分别为灯,k29求证：的优为定值.
《3.3 抛物线》同步练习答案解析
【题组一抛物线的定义】已知抛物线>2=4兀上一点P到准线的距离为4,至IJ直线/：4x —3y + ll = 0为％，则
d,+d2的最小值为（）A. 3B. 4C. ^5D. J7
【答案】A
【解析】抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点”的距离，所以过焦点F作直线4x — 3y +11 = 0的垂线，
则该点到直线的距离为《+%最小值，如图所示;由 8(1,0),直线4x — 3y + ll = 0,所以d\+d? =

由 8(1,0),直线4x — 3y + ll = 0,所以d\+d? =
4-0 + 11|_
故选A.

1. 若抛物线/= 2px（p > 0）上的点A（x0,V2）到其焦点的距离是A到J轴距离的3倍,则〃等于（
1
A.—
2
B. 1
C.
D. 2

【答案】D【解析】由题意，3x°=x°+f,

【解析】由题意，3x°=x°+f,
・ p
•・ Xo= 一
4
••g = 2
Vp>0, A p-2.故选 D.

2. 己知抛物线/=4x±点、B （在第一象限）到焦点E距离为5,则点B坐标为（）A. （1,1）B.（2,3）C.（4,4）D.（4,73）
【答案】C
【解析】设B（书为）,（月＞0）,因为点B到焦点F距离为5即BF = 5,
根据抛物线定义：BF = x0+^ = x0+l = 5,解得：劣0=4, 代入抛物线方程尸=4们
得为 =4 即8（4,4）故选：C
3. 已知抛物线y2=x±的点M到其焦点的距离为2,则M的横坐标是（）3
A. 一
2

3
A. 一
2
5
B. 一
2
7
C.—
4
9
D. 一
4
【答案】C

【答案】C
【解析】抛物线f焦点以,0）,准线方程为“T
设点M的横坐标为气，根据抛物线的定义，IMF\=xq+^ = 2,:.xq
7 .故选:c
4
5.已知抛物线C： y 的焦点为
8

5.已知抛物线C： y 的焦点为
8
A（x0, y0）是C上一点,且|AF| = 2y0,则工（）
A. 2
B. ±2
C. 4
D. ±4

【答案】
【解析】x2 =8y ,如图,
由抛物线的几何意义，可知AF = Al = 2yQ = yQ + 29所以乂=2, 所以气=±4 ,故选D.
6. 若抛物线y2 = 2px （p>0）上任意一点到焦点的距离恒大于1,则p的取值范围是（）A. p<lB. p>lC. p<2D. p>2
【答案】D
【解析】・.•设p为抛物线的任意一点，则P到焦点的距离等于到准线：x = -2的距离，
2显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值已.
2.・.丑>1,即p>2.
2故选：D.
7. 若点尸为抛物线C:y = 2x2±的动点，F为C的焦点，贝IJIPNI的最小值为（）11
A. 1B. —C. —D.—48
【答案】D
【解析】由y—2x2,得工？ = — y,.・.2p =—,则—――9222 8
由抛物线上所有点中，顶点到焦点距离最小可得，|PF|的最小值为:.故选D.
8
【题组二抛物线的标准方程】已知抛物线C:y2=2px（〃>0）的焦点为F,点心（气,2扼）尤0>，是抛物线C上一
点，以点M为圆心的圆与直线x = 2交于E, G两点，若sinZMFG =-,则抛物线C的23
方程是（）A. y2B. y2 = 2x
C. y1 - 4x
D.
y2 =8x

【答案】C
【解析】作MD上EG,垂足为点D.
由题意得点心
尤。〉4
2J
在抛物线上,
则8 = 2pm得pm =4.①

由抛物线的性质，可知，|川3-勺 因为 sinZMFG = L,所 VX\DM \=^\MF |=i x0+331
所以§入。+*，解得：玉）=p .②.
由①②，解得：x（）= p = —2 （舍去）或x（）= p = 2.
故抛物线C的方程是y2=4x.
故选C.
1. 设斜率为2的直线I过抛物线>2=毅（3。0）的焦点F,且和y轴交于点A.若△Q4F（O为坐标原点）的面积为4,则抛物线的方程为（）
A. y2 = 4x
B. y2 = 8x
C. y2=±4x
D. y2=±8x
【答案】D 【解析】y2=〃尤的焦点是F（-,0）,直线/的方程为y = 2（x —幺），令工=0得
1 4
y = — ,A（0,—）,所以由 ZXQ4尸的面积为4 得，—• — •— = 4,a2 = 64,a = ±8，故选 D.
222 2 4设抛物线y2=2px （p>0）的焦点为F,准线为/,过焦点的直线分别交抛物线于A,B
两点,分别过A8作/的垂线,垂足为C,。.若AF =3 BF ,且三角形CDF的面积为, 则〃的值为（dW
【答案】C【解析】过点B作酗〃/交直线AC于点虬 交尤轴于点N,
设点 A（Wi）、B（x2,y2）,=3阴得也+普35言
即尤| -3x2 = p ①,又因为膺〃出W,
所以
NF _ BF
}_
4

所以阴=*—工2)，所^\OF\ = \ON\ + \NF\ = x2+-(x}-x2) = -^……②,
由①②可解得\ —, x2 =—2」6
8在RtAABM 中，\AB\ = x{+x2 + p = -p9
AM\=xx-x2=-p,

4 )
—p
3 J
所以BM =
2 4V3
=P，3

所以S△CDF

解得P =%P=_E （舍去）,22
故选：C已知点A（0,2）,抛物线C： y2=2px（p〉o）的焦点为尸，射线〃与抛物线。交于点
M，与抛物线准线相交于N, ^\MN\ = >j5\FM\,则P的值为（）A. 4B. 1C. 2D. 3
【答案】C
【解析】依题意F点的坐标为（贝，0）,设M在准线上的射影为K2
由抛物线的定义知|MFh|MK|,MN 5
0-24则 |KN|： |KM|=2： 1,g p

则 |KN|： |KM|=2： 1,g p
-=2得质2,选C.
P

；点M到抛物线C的焦
2. 巳知点M(l,2)在抛物线C:y2=2px(p>0)上，则〃=点的距离是
【答案】22
【解析】点"(1,2)代入抛物线方程得：22=2pxl,解得：p=2； 抛物线方程为：y2=4x，准线方程为：Q-1,点M到焦点的距离等于点M到准线的距离：
1 — ( —1) = 2故答案为2, 2
6.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F ,准线为/.若位于工轴上方的动点A在准\AF\
线/上，线段与抛物线C相交于点6,且品 - AF=1，则抛物线C的标准方程为\BF\
【答案】y2=2x7T
【解析】如图所示，设ZAFO = a(0<a<-), 过点B作BBf±l于点由抛物线的定义知，BF = BB' , FC =p, ZABBf = ZAFO = a；

BB' BF 在RtAAB'8中，cosa ==, BF = ABcosa ,AB AB
从而 AF = BF + AB = AB (1 + cos a)；
AB (1 + COS6Z)-AF =19所以

-AF =19所以
- AF =19
AB cos a即"so
cos a

即"so
cos a
-AF =1,所以 AF =
cos a
在 RtAAFC 中,
cos a =
CF
AF
p
AF
,p= AF coscr,

所以 p -—-―cos a -1 , cos a所以抛物线C的标准方程为尸=2厂 故答案为寸=2x.
4. 已知抛物线y2=2px(〃>0)的准线与圆x2 + y2-6x-J = 0相切，则〃的值为.
【答案】2；
【解析】抛物线y」2px (p>0)的准线方程为x=-*因为抛物线y2=2px (p>0)的准线与圆(x - 3) 2+y2=16相切，
所以3+芝=4，解得p-2.
故答案为2
【题组三直线与抛物线的位置关系】过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点，这样的直线共有()
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
【答案】C
【解析】通过图形可知满足题目要求的直线只能画出3条已知过点M (1, 0)的直线AB与抛物线y』2x交于A, B两点，0为坐标原点，若0A, 0B
的斜率之和为1,则直线AB方程为・
【答案】2x+y-2=0
【解析】依题意可设直线AB的方程为：x=ty+l,代入y2=2x得y2-2ty-2 = 0,设 A (xi, yD, B 3, y2),则-2, yi+y2=2t,
,7 y. y7 222( y. + y7)4?_1所以—= 一 + — = =" = _2，，-2t = 1 ,解得'=__ ,
尤1工2 乂 力 乂力一 22..•直线AB的方程为：x二—Ly+1,即2x+y-2=0.故答案为2x+y-2=0・
2直线4kx-4y-k =。与抛物线,2=尤交于人,8两点，若|AB|=4,则弦A3的中点到直 线工+上=0的距离等于・
29
【答案】一
4 【解析】如图，直线4kx-4y-k = 0过定点（；，0）,4
而抛物线的焦点F为（：,0）, ..・弦AB的中点到准线x = ~的距离为41 AB|= 2 ,2
1 1 9 则弦AB的中点到直线尤+ ― = 0的距离等于2 + -=—.
2 4 49
故答案为：—.
4y

1. 设抛物线/ =4%的焦点为F ,过F的直线/交抛物线于两点，过A3的中点M作y轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点尸，若"尸|=邑，则直线/的方程为
2
【答案】sj2x-y-y/2=0
【解析】 。

• .•抛物线方程为=4x,..・抛物线焦点为^（1,0）,准线为/：］ = —1,
设人（茶,乂）,研入2况）,因为P在第一象限，所以直线A3的斜率k>Q,
设直线AB方程为y = R（x—l）,代入抛物线方程消去儿 得好《?一（2必+4）伯+号=0,
2 好+4t..JCj + %2 =?为尤2 = I，
・.・过的中点M作准线的垂线与抛物线交于点P, 设p点的坐标为（入0，乂）），可得yo=!（yi + V2），..・Y =灯而一1）见=灯易一1），
乂 +力=化（尤1 +易）一 2人=S

A.
25
T
B. 10
D. 6
1『12）
得到％=,,.5=尸，可得尸2心， \（| ¥4~ 3
PF =二，.• j 1 H—-=— , 解之得 k2 = 2，
2k2） k2 2
所以k = e直线方程为y = J3（］ —1），即J公—y —扼=0,
,故答案为JIx—y 一很=0.
【题组四弦长】
1. 已知A,B为抛物线C:/=4x±的不同两点，。为抛物线。的焦点，若AB = 5FB^
则 \AB\=()

【答案】C
【解析】设A（玉，乂）,8（工2，力），则人8 =（尤2—尤1，，2一乂），又 F（1,O）, A FB = （x2-l，3；2） , A x2-x）=5j:2-5,力一乂=5力，
C. y1 = 4尤或 >2 = 16x
D. y2 = 2x 或 y2 = 16x
【一隅三反】抛物线y = ax2的焦点是直线x + y-1 = 0与坐标轴交点，则抛物线准线方程是（）
1A・ x = —B. x =—1
411
C. y =——D. y = _l4
1. 位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可以近似地看成抛物线，该桥的高度为5秫，跨径为12秫，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的
距离为（）18
D. —m5
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
2. 物线C:;/ =2双（〃>0）的焦点为F ,点^（巧允）是C上一点，泌尸| =2p,则〃=（考点三直线与抛物线的位置关系
【例3】已知直线y = #3 + 2）（妃>0）与抛物线C:/=8x相交于A、B两点,F为C的焦点, 若|冽=2”8|,则 k=（）A. -B. —C. -D.
2 333
【一隅三反】1.已知直线y = kx-l与抛物线/=8y相切，则双曲线x2 -k2y2 = 1的离心率为（）
x = 5 _ 4x9 •[乂 = 一4力
yl = 4易1
X)— ， jc, — 4 • • ")=4(5-")~ 4
25
| AB |= X] + *2 + 2 =・
故选C.
2.过抛物线C： y2=4x的焦点F的直线交抛物线C于火叫，乂）、8（知力）两点，且
4
工］+尤2=—,则弦AB的长为（
- 3
16
A.—
3
【答案】C
B. 4
10
C.—
3
【解析】抛物线的焦点弦公式为:
x}+x2 + p ,
10
由抛物线方程可得：〃 =2,则弦A8的长为m+w + P = —+ 2 = —.本题选择C选项.
3.过抛物线/ =4%的焦点作直线交抛物线于A3，y）, B（x2,y2）两点，若x}+x2 = 6,A. 10

A. 10
B. 8
C. 6
D. 4

【答案】B
【解析】根据过抛物线焦点的弦长公式有|储|=*+花+〃 = 6 + 2 = 8.故选B.
3. 巳知过抛物线y2=4x焦点F的直线/交其于48两点，O为坐标原点.若AF = 3, 则AAO6的面积为
【答案】*
【解析】设直线AB的倾斜角为9 （0<9<Ji）,・「|AF|=3,.•・点A到准线1：

・「|AF|=3,.•・点A到准线1：
x= - 1的距离为3,
]7 F5
...2+3吹。=3,即 cosO.-, ^Jsine=__•.・BF = 2+ BF cos ( n - 0 )
・・・BF ==一1 + cosO 2
.*• AAOB 的面积为 S = —x OF x AB xsinO = —xlx故答案为：巫.
2过抛物线y2 =4x的焦点H作倾斜角为45。的弦AB,则的弦长为・
【答案】8
【解析】这是一个求过抛物线的焦点弦的长度的问题，可以先求出过抛物线的焦点的弦所在 直线的方程，然后再将直线方程与抛物线方程联立，并结合韦达定理，即可求得结果.由于 抛物线的焦点是F（l,0）,所以直线方程是y = x-l,联立消y得户_6工+1 = 0,所以 AB\=xi +x2 + p = 6+2 = S9 故答案应填8.
7T6过抛物线y」4x的焦点，作倾斜角为一的直线交抛物线于P、Q两点，0为坐标原点，则左
4POQ的面积为・
【答案】2扼
【解析】设P（hJ，Q（x2,y2）,则S = -\OF\\y[-y2\9过抛物线y-4x的焦点（1, 0）, 倾斜角为生的直线为X-y-l=o,即x=l+y,代入y2=4x得：y2=4（l + y），即y2-4y-4 = 0, 「・ M + 力=4, 乂，2 = —4，...仅1 一 力| = J（V1 +力）2 — 4乂力=716 + 16 = 4也「• S = ：|O 耶 f 1 = 9 应=2 扼
【题组五定点定值】1.己知"为抛物线C:y2 =2px（p>0）的焦点，过g的动直线交抛物线C于A，3两点.当 直线与尤轴垂直时，|人8|=4.
（1）求抛物线。的方程；
（2）设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线I相交于点M，抛物线C上存在点P使得直 线Q4, PM , 的斜率成等差数列，求点尸的坐标.
【答案】（1） y2=4x； （2） F（l,±2）
【解析】（1）因为F（5,在抛物线方程y2=2px中，令x =匚,可得y = ±P.
于是当直线与x轴垂直时，I AB|=2〃 = 4,解得〃 = 2.
所以抛物线的方程为寸=我.
（2）因为抛物线y2=4x的准线方程为x = —1,所以M（—1,—2）.
设直线43的方程为y = x — l,y2 = 4%
联立厂 消去x,得y2-4y-4 = 0.
y = x-l设 A（m , 乂），B（x2 , y2）,则 乂+力=4, 乂力=一4・ 若点尸（式0，%）满足条件，则2kpM =kpA』kpB，
即 2尸。+2 = %一乂 + %-力 毛 +1 x0 -x1 x0 -x2222
因为点P, A，3均在抛物线上