部分习题及其解答.doc

本教材习题和参考答案及部分习题解答

第四章

已知物体内一点的六个应力分量为：
，，，，，
试求法线方向余弦为，，的微分面上的总应力、正应力和剪应力。
解：应力矢量的三个分量为
，，
总应力。
正应力。
剪应力。

过某点有两个面，它们的法向单位矢量分别为和，在这两个面上的应力矢量分别为和，试证。
证：利用应力张量的对称性，可得
。证毕。

某点的应力张量为

且已知经过该点的某一平面上的应力矢量为零，求及该平面的单位法向矢量。
解：设要求的单位法向矢量为，则按题意有

即
，， (a)
上面第二式的两倍减去第一式和第三式，得

上式有两个解：或。若，则代入式(a)中的三个式子，可得，这是不可能的。所以必有。将代入式(a)，利用，可求得
。

基础的悬臂伸出部分具有三角柱体形状，见图，下部受均匀压力作用，斜面自由，试验证应力分量

，
满足平衡方程，并根据面力边界条件确定常数、和。
解：将题中的应力分量代入平衡方程，可知它们满足平衡方程。
在的边界上，有边界条件
，
所给的应力分量自动满足上面的第二个条件。将的表达式代入上面的第一个条件，得
(1)
在上斜面上，有，所以斜面上的应力分量可以简化成
，，
， (2)
斜面上的外法向方向余弦为
，， (3)
将式(2)和(3)代入边界条件，得
(4)
联立求解(1)和(4)，得
，，

图表示一三角形水坝，已求得应力分量为
，，，
，
和分别是坝身和水的比重。求常数、、、，使上述应力分量满足边界条件。
解：在的边界上，有边界条件
，
将题中的应力分量代入上面两式，可解得：，。
在左侧的斜面上，，外法向方向余弦为
，，
把应力分量和上面得到的有关结果代入边界条件，可解得：，。

物体的表面由确定，沿物体表面作用着与其外法向一致的分布载荷，试写出其边界条件。
解：物体表面上任意一点的外法向单位矢量为
或
按题意，边界条件为

因此
即
上式的指标形式为
。

如图所示，半径为的球体，一半沉浸在密度为的液体内，试写出该球的全部边界条件。

解：球面的外法向单位矢量为
或
当时，有边界条件
即 或 。
当时，球面上的压力为，其中为重力加速度，边界条件为
即 或 。

物体的应力状态为，其中为矢径的函数。(1)证明物体所受的体积力是有势力，即存在一个函数，使；(2)写出物体表面上的面力表达式。
解：(1)应力场必须满足平衡方程，所以

所以，只要令，就有。
(2)表面上的面力为
或 。
已知六个应力分量中的，求应力张量的不变量并导出主应力公式。
解：应力张量的三个不变量为：，，。
特征方程是

上式的三个根即三个主应力为和

已知三个主应力为、和，在主坐标系中取正八面体，它的每个面都为正三角形，其法向单位矢量为
，，
求八面体各个面上的正应力和剪应力。
解：，
，，
。

某点的应力分量为，，求：
(1)过此点法向为的面上的正应力和剪应力；
(2)主方向、主应力、最大剪应力及其方向。
解：(1)，
。
正应力为。
剪应力为。
由此可知，是主应力，是和其对应的主方向。
(2)用表示主应力，则

所以，三个主应力是，。由上面的结论可知，和对应的主方向是，又因为是重根，所以和垂直的任何方向都是主方向。

第五章

把线性各向同性弹性体的应变用应力表示为，试写出柔度系数张量的具体表达式。
解：
橡皮立方块放在同样大小的铁盒内，在上面用铁盖封闭，铁盖上受均布压力作用，如图所示。设铁盒和铁盖可以作为刚体看待，而且橡皮与铁盒之间无摩擦力。试求铁盒内侧面所受的压力、橡皮块的体积应变和橡皮中的最大剪应力。

解：取压力的方向为的方向，和其垂直的两个相互垂直的方向为、的方向。按题意有

证明：对线性各向同性的弹性体来说，应力主方向与应变主方向是一致的。非各向同性体是否具有这样的性质试举例说明。
解：对各向同性材料，设是应力的主方向，是相应的主应力，则
(1)
各向同性的胡克定律是

将上式代入式(1)，得，即

由此可知，也是应变的主方向。类似地可证，应变主方向也是应力主方向。因此，应力主方向和应变主方向一致。
下面假定材料性质具有一个对称面。设所取的坐标系是应变主坐标系，且材料性质关于平面对称。因为，所以从式得

若应变主坐标系也是应力主坐标系，则，即

上式只能在特殊的应变状态下才能成立。总之，对各向异性材料，应力主方向和应变主方向不一定相同。

对各向同性材料，试写出应力不变量和应变不变量之间的关系。
解：由式可得主应力和主应变之间的关系
(1)
……

第六章

为什么同时以应力、应变和位移15个量作未知函数求解时，应变协调方程是自动满足的
解：因为应变和位移满足几何方程，所以应变协调方程自动满足。

设

其中、、、为调和函数，问常数为何值时，上述的为无体力弹性力学的位移场。
解：
同理。
由上面两式及和是调和函数可得

(1)
因、、、为调和函数，所以
(2)
将式(1)、(2)代入无体力的Lamé-Navier方程，得

上式成立的条件是

即
。

已知弹性体的应力场为
，，，，。
(1) 求此弹性力学问题的体力场；
(2) 本题所给应力分量是否为弹性力学问题的应力场。
解：

证明下述Betti互易公式
，
其中、、和、、分别为同一弹性体上的两组面力、体力和位移。
证：

如果体积力为零，试验证下述(Papkovich-Neuber)位移满足平衡方程

其中，。
证：无体力的Lamé-Navier方程为

又，所以Lamé-Navier方程可以写成

……

设有受纯弯的等截面直杆，取杆的形心轴为轴，弯矩所在的主平面为平面。试证下述位移分量是该问题的解

。
提示：在杆的端面上，按圣维南原理，已知面力的边界条件可以放松为
，，
其中是杆的横截面。
证：容易验证所给的位移分量满足无体力时的Lamé-Navier方程。用所给的位移可以求出应变，然后用胡克定律可以求出应力：
，其它应力分量为零。 (a)
上述应力分量满足杆侧面无面力的边界条件。杆端面的边界条件为
，，，
式(a)表示的应力分量满足上述端面条件。所以，所给的位移分量是受纯弯直杆的解。

图表示一矩形板，一对边均匀受拉，另一对边均匀受压，求应力和位移。

解：显然板中的应力状态是均匀的。容易验证下述应力分量
，，
满足平衡方程、协调方程和边界条件，即是本问题的解。由胡克定律可求得应变为

利用题的结果，可求得位移为

弹性半空间，比重为，边界上作用有均布压力，设在处，求位移和应力。
解：由问题的对称性，可以假设
，
把上述位移分量代入Lamé-Navier方程，可以发现有两个自动满足，余下的一个变成

解之得

其中的、是待定常数。由已知条件得

所以

应力分量为
，，。
在边界上的边界条件为：，，。前两个条件自动满足，最后一个成为
即
所以最后得
，；
，，。

设一等截面杆受轴向拉力作用，杆的横截面积为，求应力分量和位移分量。设轴和杆的轴线重合，原点取在杆长的一半处；并设在原点处，，且
。
答案：

当体力为零时，应力分量为
，，
，，
，
式中，。试检查它们是否可能发生。
解：

图所示的矩形截面长杆偏心受压，压力为，偏心距为，杆的横截面积为，求应力分量。
解：根据杆的受力特点，假设
，
其中、是待定的常数。
………

长方形板，厚度为，两对边分别受均布的弯矩和作用，如图所示。验证应力分量
，，
是否是该问题的弹性力学空间问题的解答。

解：所给应力分量满足无体力的平衡方程和协调(Beltrami-Michell)方程，也满足板面上无面力的边界条件。板边上的边界条件可以放松为
，，，
容易验证应力分量满足上述条件。同样可以说明应力分量满足板边、、上的边界条件。所以，所给的应力分量是所提空间问题的解答。