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二次函数及其图象
一、选择题(每小题7分，共35分)
1．(2014·上海)如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是( C )
A．y＝x2－1 B．y＝x2＋1
C．y＝(x－1)2 D．y＝(x＋1)2
2．(2013·苏州)已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根是( B )
A．x1＝1，x2＝－1 B．x1＝1，x2＝2
C．x1＝1，x2＝0 D．x1＝1，x2＝3
解析：∵二次函数的解析式是y＝x2－3x＋m(m为常数)，∴该抛物线的对称轴是：x＝.又∵二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1，0)，∴根据抛物线的对称性质知，该抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(2，0)，∴关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的两实数根分别是：x1＝1，x2＝2.故选B
3．(2013·陕西)已知两点A(－5，y1)，B(3，y2)均在抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)上，点C(x0，y0)是该抛物线的顶点，若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是( B )
A．x0＞－5 B．x0＞－1
C．－5＜x0＜－1 D．－2＜x0＜3
解析：由点C(x0，y0)是该抛物线的顶点，且y1＞y2≥y0，所以y0为函数的最小值，即得出抛物线的开口向上，因为y1＞y2≥y0，所以得出点A，B可能在对称轴的两侧或者是在对称轴的左侧，当在对称轴的左侧时，y随x的增大而减小，因此x0＞3，当在对称轴的两侧时，点B距离对称轴的距离小于点A到对称轴的距离，即得x0－(－5)＞3－x0，解得x0＞－1，综上所得x0＞－1，故选B
4．(2014·泰安)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表：
x
－1
0
1
3
y
－1
3
5
3
下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的一个根；④当－1＜x＜3时，ax2＋(b－1)x＋c＞0.其中正确的个数为( B )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
解析：由图表中数据可得出：x＝1时，y＝5值最大，所以二次函数y＝ax2＋bx＋c开口向下，a＜0；又x＝0时，y＝3，所以c＝3＞0，所以ac＜0，故①正确；∵二次函数y＝ax2＋bx＋c开口向下，且对称轴为x＝＝1.5，∴当x＞1.5时，y的值随x值的增大而减小，故②错误；∵x＝3时，y＝3，∴9a＋3b＋c＝3，∵c＝3，∴9a＋3b＋3＝3，∴9a＋3b＝0，∴3是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的一个根，故③正确；∵x＝－1时，ax2＋bx＋c＝－1，∴x＝－1时，ax2＋(b－1)x＋c＝0，∵x＝3时，ax2＋(b－1)x＋c＝0，且函数有最大值，∴当－1＜x＜3时，ax2＋(b－1)x＋c＞0，故④正确．故选B
5．(2014·东营)若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为( D )
A．0 B．0或2
C．2或－2 D．0，2或－2
二、填空题(每小题7分，共28分)
6．(2014·长沙)抛物线y＝3(x－2)2＋5的顶点坐标为__(2，5)__．
7．(2012·苏州)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在二次函数y＝(x－1)2＋1的图象上，若x1＞x2＞1，则y1__＞__y2.(填“＞”“＜”或“＝”)
8．如图，以扇形OAB的顶点O为原点，半径OB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，点B的坐标为(2，0)，若抛物线y＝x2＋k与扇形OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是__－2＜k＜__．
解析：由图可知，∠AOB＝45°，∴直线OA的解析式为y＝x，联立消掉y得，x2－2x＋2k＝0，Δ＝(－2)2－4×1×2k＝0，即k＝时，抛物线与OA有一个交点，此交点的横坐标为1，∵点B的坐标为(2，0)，∴OA＝2，∴点A的坐标为(，)，∴交点在线段AO上；当抛物线经过点B(2，0)时，×4＋k＝0，解得k＝－2，∴要使抛物线y＝x2＋k与扇形OAB的边界总有两个公共点，实数k的取值范围是－2＜k＜，故答案为：－2＜k＜
9．(2014·河南)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点．若点A的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴为直线x＝2.则线段AB的长为__8__．
三、解答题(共37分)
10．(12分)(2014·孝感)已知关于x的方程x2－(2k－3)x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
(1)求k的取值范围；
(2)试说明x1＜0，x2＜0；
(3)若抛物线y＝x2－(2k－3)x＋k2＋1与x轴交于A，B两点，点A，点B到原点的距离分别为OA，OB，且OA＋OB＝2OA·OB－3，求k的值．
解：(1)由题意可知：Δ＝[－(2k－3)]2－4(k2＋1)＞0，即－12k＋5＞0，∴k＜
(2)∵∴x1＜0，x2＜0
(3)依题意，不妨设A(x1，0)，B(x2，0)．∴OA＋OB＝|x1|＋|x2|＝－(x1＋x2)＝－(2k－3)，OA·OB＝|－x1||x2|＝x1x2＝k2＋1，∵OA＋OB＝2OA·OB－3，∴－(2k－3)＝2(k2＋1)－3，解得k1＝1，k2＝－2.∵k＜，∴k＝－2
11．(12分)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋3的图象过x轴上点A(1，0)和点B，且与y轴交于点C，顶点为P.
(1)求此二次函数的解析式及点P的坐标；
(2)过点C且平行于x轴的直线与二次函数的图象交于点D，过点D且垂直于x轴的直线交直线CB与点M，求△BMD的面积．
解：(1)二次函数的解析式为：y＝x2－4x＋3，P点坐标为(2，－1) (2)S△BMD＝2
12．(13分)(2014·安徽)若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
(1)请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
(2)已知关于x的二次函数y1＝2x2－4mx＋2m2＋1，和y2＝ax2＋bx＋5，其中y1的图象经过点A(1，1)，若y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求当0≤x≤3时，y2的最大值．
解：(1)本题是开放题，答案不唯一，符合题意即可，如：y1＝2x2，y2＝x2
(2)∵函数y1的图象经过点A(1，1)，则2－4m＋2m2＋1＝1，解得m＝1.∴y1＝2x2－4x＋3＝2(x－1)2＋1.∵y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，∴可设y1＋y2＝k(x－1)2＋1(k＞0)，则y2＝k(x－1)2＋1－y1＝(k－2)(x－1)2.由题可知函数y2的图象经过点(0，5)，则(k－2)×12＝5.∴k－2＝5.∴y2＝5(x－1)2＝5x2－10x＋5.当0≤x≤3时，根据y2的函数图象可知，y2的最大值＝5×(3－1)2＝20
2015年名师预测
1．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y轴的直线，若点P(4，0)在抛物线上，则4a－2b＋c的值__0__．
2．如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c过点A(1，0)，C(0，－3)．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，求点P的坐标．
解：(1)二次函数的解析式为：y＝x2＋2x－3
(2)点P的坐标为(－4，5)或(2，5)
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