世南中学九年级(上)数学竞赛试题(含答案)-.doc

数学竞赛试卷
一、选择题:（每题５分，共３０分）
1．将正偶数按下表排成5列

第一列
第二列
第三列
第四列
第五列
第一行

2
4
6
8
第二行
1 6
1 4
1 2
1 0

第三行

1 8
2 O
22
24
第四行
……
……
2 8
2 6

……

则2 00８应该排在 ( )
A．第2 5 1行，第5列 B．第2 5 0行，第3列
C．第5 0 0行，第2列 D．第5 0 1行，第1列
２．如图，在一个棱长为6cm的正方体上摆放另一个正方体，使得上面正方体的四个顶点恰好均落在下面正方体的四条棱上，则上面正方体体积的可能值有（　　）
第２题图
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
３．轮船在河流中逆流而上，下午５时，船长发现轮船上的一橡皮艇失落水中，船长马上命令掉转船头寻找，经过了一个小时追上了顺流而下的橡皮艇。如果轮船在整个过程中的动力不变，那么据此判断，轮船失落橡皮艇的时间为（　　）
A．下午１点 B．下午２点 C．下午３点 D．下午４点
４．某同学用牙膏纸盒制作一个如图所示的笔筒，笔筒的筒底为长4.5厘米，宽3．4厘米
的矩形。则该笔筒最多能放半径为0．4厘米的圆柱形铅笔 ( ）
A．20支 B.2l支 C．2 4支 D．2 5支
　　　　第４题图
５．对于直角坐标平面内的任意两点Ａ（x1,y1）,B(x2,y2)，定义它们之间的一种“距离”：
∣∣ＡＢ∣∣＝∣x2-x1∣+∣y2-y1∣，给出下列三个命题：
① 若点Ｃ在线段ＡＢ上，则∣∣ＡＣ∣∣＋∣∣ＣＢ∣∣＝∣∣ＡＢ∣∣
② 在⊿ＡＢＣ中，若∠Ｃ＝９０°，则∣∣ＡＣ∣∣2＋∣∣ＣＢ∣∣2＝∣∣ＡＢ∣∣2
③ 在⊿ＡＢＣ中，∣∣ＡＣ∣∣＋∣∣ＣＢ∣∣﹥∣∣ＡＢ∣∣
其中真命题的个数为（　　）
Ａ．０个　　　Ｂ．１个　　　Ｃ．２个　　　Ｄ．３个
６．已知一元二次方程ax2＋bx＋c=0两根为x1 、x2 ，x2+x1 =-,x2.x1 =.如果抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点（1，2），若abc＝4，且a≥b≥c，则|a|＋|b|＋|c|的最小值为（　　）。
Ａ．５　　　Ｂ．６　　Ｃ．７　　　Ｄ．８
二、填空题（每题５分，共３５分）
８．有一块半径为Ｒ的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ＡＢＣＤ的形状，它的下底ＡＢ是圆Ｏ的直径，且底ＣＤ的端点在圆周上，试写出梯形周长y和腰长x的函数关系式__________.
９．在⊿ＡＢＣ中，ＡＢ＝１５，ＡＣ＝１３，ＢＣ边上的高ＡＤ＝１２，能完全覆盖⊿ＡＢＣ的圆的半径Ｒ的最小值为____________.

P
O
B
A
C

Ｆ
Ｈ
Ｅ
Ｂ
Ｄ
Ｃ
Ａ
Ｇ
10．如图，李华晚上在路灯下散步．已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP= , 若李华在点A朝着影子的方向以v1匀速行走，则他影子的顶端在地面上移动的速度v2为____________.

11．如图，延长四边形ＡＢＣＤ的四边分别至Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ，使ＡＢ＝nＢＥ，ＢＣ＝nＣＦ，ＣＤ＝nＤＧ，ＤＡ＝nＡＨ(n﹥0)，则四边形ＥＦＧＨ与四边形ＡＢＣＤ的面积之比为____________(用含n的代数式表示)．
12．已知中，是其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求与之间的关系为____________．

三．解答题（１４题１２分，１５题１３分，１６题１４分，１７题１６分，共５５分）
14．（1２分）有１０个不同的球，其中有２个红球，３个白球，５个黄球。若取得１个红球得５分；取得１个白球得２分；１个黄球得１分。今从中取出５个球，求使总分大于１０分且小于１５分的取法有多少中？

16. （1４分）对于某一自变量为x的函数，若当x=x0时，其函数值也为x0，则称点(x0，x0)为此函数的不动点．现有函数y=，
(1)若y=有不动点(4，4)，(一4，-4)，求a，b．
(2)若函数y=的图像上有两个关于原点对称的不动点，求实数a，b应满足的条件．
(3)已知a=4时，函数y=仍有两个关于原点对称的不动点，则此时函数y=
的图像与函数y= 的图像有什么关系?与函数y= 的图像又有什么关系?

17．（1６分）
(1)如图，直线AB交x轴于点A(2，0)，交抛物线y＝ax2于点B(1，)，点C到△OAB各顶点的距离相等，直线AC交y轴于点D。当x＞0时，在直线OC和抛物线y＝ax2上是否分别存在点P和点Q，使四边形DOPQ为特殊的梯形？若存在，求点P、Q的坐标；若不存在，说明理由。
(2)：在(1)题中，抛物线的解析式和点D的坐标不变(如图)。当x＞0时，在直线y＝kx(0＜k＜1)和这条抛物线上，是否分别存在点P和点Q，使四边形DOPQ为以OD为底的等腰梯形。若存在，求点P、Q的坐标；若不存在，说明理由。
((2)图)
D
O
x
y
(第(1)题图)
A
B
C
D
O
x
y

参考答案

一、选择题1-6：ADDBBB
二、填空题7：0≤x≤３0° 8：y=-x2/R+2x+4R 9：７.５ 10：
11：(n2+2n+2)：n 12： 或
或，为小于的任意锐角或．
13：S(n,m)=n+2m-2

14：设取红球、白球、黄球分别为x, y, z个,０≤x≤２，０≤y≤３，０≤z≤５
则１０﹤５x＋２y＋z﹤１５，x＋ y＋z＝５，分类：
① 当x＝０时，y不存在
② 当x＝１时，１﹤y﹤６，取y＝２，３
③ 当x＝２时，－３﹤y﹤２，取y＝０，１
取法总数为１１０种
15：⑴如下图，△ABC与△是相似的（相似比为），但它们并不全等，显然它们之中有五对元素是对应相等的。

⑵容易知道，要构造的两个三角形必不是等腰三角形，同时它们应是相似的。
设小△ABC的三边长分别为a、b、c，且不妨设a＜b＜c，由小△ABC到大△的相似比为k，则k＞1。
∵　△的三边长分别为ka、kb、kc，且a＜ka＜kb＜kc
∴　在△ABC中，与△中两边对应相等的两条边只可能是b与c
∵　b＜c＜kc
∴　在△中，与b、c对应相等的两条边只可能是ka、kb
∴　
∴　由a到b、由b到c应具有相同的放大系数（用高中的数学语言来讲，a、b、c成公比为k的等比数列），这个系数恰为△ABC与△的相似比k。
下面考虑相似比k所受到的限制：
∵　△ABC的三边长分别为，且a＞0，k＞1
∴　
解之得　　1＜k＜　（注：≈1.168）
因此构造反例时，只要先选取一个正数a作为△ABC最小边的长，再设定一个1～1.168之间的放大系数k，从而写出另外两条边的长。然后在△ABC的基础上，以前面的放大系数k为相似比，再写出另一个△的三边长。通过这种方法，可以构造出大量符合题意的反例。
16：(1)由题意，得解得
(2)令=x，得3x+a=x2+bx(x≠-b)
即 x2+(b—3)x-a=O．
设方程的两根为x1，x2，则两个不动点(x1，x2)，(x2，x2)，由于它们关于原点对称，所以x1+x2=0，
∴，解得，
又因为x≠-b，即 x≠-3，所以以a≠9，
因此a，b满足条件a>0且a≠9，b=3．
(3)由(2)知b=3，此时函数为y=，
即y=3-．
∴ 函数y=的图像可由y=-的图像向上平移3个单位得到．
又函数y=-的图像可由函数y=-的图像向左平移3个单位得到，
所以函数y=的图像可由函数y=-的图像向左平移3个单位，再向上平移3个单位得到．
A
B
C
D
O
x
y
E
17：如图(1) AB:y=- x+2 3
Y= 3 X2
E(1,0) C(1, 3 /3) OC: Y= 3/3 x
AC:Y= Y= 3/3 x +2 3 /2
OD=2 3 / 3当
OD PQ 时 ,(1)DQ=OP时,四边形DOPQ为等腰梯形如图(1)
A
B
C
D
O
x
y
E
由题意得,三角形OCD为等边三角形,所以Q是AD与抛物线的交点
- 3 /3 x+2 3 /3 = 3 x2
Q(2/3,4 3 /9),P(2/3,2 3 /9)
(2)∠ODQ=900时,四边形DOPQ为直角梯形如图(2)√
Q(√6 /3,2√3 /3)P(√6 /3, √2 /3)
当DQ//OP时
(1) OD=PQ P(2,2√3 /3)
(2) ∠OPQ=900时 P(3/2, √3 /2)
所以P1(2/3,2√3 /9),Q1(2/3,4√3 /9),P2(2,2√3 /3),Q2（ 1,√3）,P3(√6 /3, √2 /3) Q4(√6 /3,2√3 /3), P4(3/2, √3 /2),Q4(1, √3 )
(2)
Q(√3(-K+√K2+8)/6, √3(K2-K√K2+8+4)/6)
P(√3(-K+√K2+8)/6, √3(-K2+K√K2+8)/6)

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