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第4 6卷2期2 0 2 3年6月 辽宁师范大学学报(自然科学版)J o u r n a l o fL i a o n i n gN o r m a lU n i v e r s i t y(N a t u r a lS c i e n c eE d i t i o n)V o l.4 6 N o.2J u n.2 0 2 3 收稿日期:2 0 2 3-0 1-1 5基金项目:国家自然科学基金资助青年项目(1 2 0 0 1 2 5 6)作者简介:苗利军(1 9 8 4-),女,黑龙江依安人,辽宁师范大学讲师,博士.E-m a i l:m i a o l j 1 2m a i l s.j l u.e d u.c n 文章编号:1 0 0 0-1 7 3 5(2 0 2 3)0 2-0 1 5 1-0 7 D O I:1 0.1 1 6 7 9/l s x b l k 2 0 2 3 0 2 0 1 5 1耗散型耦合随机非线性薛定谔方程的性质研究苗利军,黄驿为(辽宁师范大学 数学学院,辽宁 大连 1 1 6 0 2 9)摘 要:随机偏微分方程作为描述受随机环境影响的复杂系统的数学模型,在力学、化学、生物学及经济金融学等领域中得到了广泛的应用.关于随机偏微分方程性质的研究是国内外专家学者关注的热点之一.耗散型耦合随机非线性薛定谔方程是一类特殊的随机偏微分方程,在等离子物理和耗散量子场论中具有重要作用.提出了该方程具有随机共形多辛几何结构,给出了耗散型耦合随机非线性薛定谔方程的随机共形多辛守恒律,以及电荷的平均演化规律和能量演化规律.关键词:耗散型耦合随机非线性薛定谔方程;电荷的平均演化规律;能量演化规律中图分类号:O 2 1 1.9 文献标识码:A耗散型耦合非线性薛定谔方程作为一类特殊的偏微分方程,可用于描述许多自然现象的物理过程,并在很多不同领域都有应用,例如:凝聚态物理、生物建模和非线性光学等1.对于确定的带线性耗散项的耦合非线性薛定谔方程,傅浩1提出了方程的多辛形式和共形守恒律.近年来,受随机噪声影响的耦合非线性薛定谔方程的研究已逐渐受到学者们的关注.H o n g等人2研究了耦合随机非线性薛定谔方程的随机多辛几何结构,并给出了电荷和能量等物理性质.基于上述文章的结果,本论文将给出由加性噪声驱动的耗散型耦合随机非线性薛定谔方程的随机共形多辛守恒律,以及电荷的平均演化规律和能量演化规律.1 耗散型耦合随机非线性薛定谔方程 考虑以下加性噪声驱动的耗散型耦合随机非线性薛定谔方程 i du+udt+(u2+v2)udt+ia udt=idW,i dv+vdt+(v2+u2)vdt+ia vdt=idW,0tT,x,(1)这里u,v为两个复振幅,和分别表示群速度色散、自相位调制参数和交叉调制系数,耗散系数a0,为噪声尺度,复值W i e n e r过程W(t)是定义在给定的赋-域流的概率空间(,F,Ftt0,P)上的Q-W i e n e r过程,并且W有如下K a r h u n e n-L o v e展开W(t,x)=k=0Q bk(x)k(t)=k=0kbk(x)k(t),其中,Q为L2=L2(0,1)上的线性正定算子,且与算子可交换,满足Q bk=kbk,bkk1是齐次算子的特征向量,k=1k+i2k,且ikk1,i=1,2为一族独立同分布的实值标准布朗运动.1 5 2 辽宁师范大学学报(自然科学版)第4 6卷对于耗散型耦合随机非线性薛定谔方程(1),设u=r1+is1,v=r2+is2,定义空时白噪声=dWdt,=1+i2,且r1,s1,r2,s2,1=dW1dt和2=dW2dt均为实值随机过程,记p1=r1x,q1=s1x,p2=r2x,q2=s2x,z=(r1,s1,r2,s2,p1,q1,p2,q2)T,上述方程可以转化为如下形式Kdtz+Lxzdt=-a K zdt+S0(z)dt+S1(z)dW1+S2(z)dW2,(2)其中,K=J0 0 00J0 00 0 0 00 0 0 0,L=0 0-I00 00-II0000I00,其中,J=01-1 0,I=1 00 1,S0(z)=4(r21+s21)2+(r22+s22)2+2(r21+s21)(r22+s22)+12(p21+q21+p22+q22),S1(z)=-(s1+s2),S2(z)=(r1+r2),“”表示方程在S t r a t o n o v i c h型随机积分意义下成立.类似文献3 中定理3.1的证明,得到以下定理.定理1.1 方程(2)满足随机共形多辛守恒律dt(t,x)+x(t,x)dt=-2a(t,x)dt,(3)即x1x0(t1,x)dx-x1x0(t0,x)dx+t1t0(t,x1)dt-t1t0(t,x0)dt=-x1x0t1t02a(t,x)dtdx,其中,=12dzKdz和=12dzLdz是由反对称矩阵K和L定义的微分2-形式.注1 如果a=0,0,随机共形多辛守恒律(3)为随机多辛守恒律2dt(t,x)+x(t,x)dt=0.注2 如果=0,a0,随机共形多辛守恒律(3)为共形多辛守恒律1dt(t,x)+x(t,x)dt=-2a(t,x)dt.注3 对于方程(1),当a=0,=0时,确定的耦合非线性薛定谔方程满足多辛守恒律4-5t(t,x)+x(t,x)=0.命题1.1 对任意a0,下面的等式成立:dt(e2a t(t,x)+x(e2a t(t,x)dt=0.证 式(3)两边同时乘以e2a t有e2a tdt(t,x)+e2a tx(t,x)dt=-2ae2a t(t,x)dt,则e2a tdt(t,x)+2ae2a t(t,x)dt+e2a tx(t,x)dt=0,从而dt(e2a t(t,x)+x(e2a t(t,x)dt=0.2 电荷的平均演化规律 本节给出耗散型耦合随机非线性薛定谔方程(1)的电荷的平均演化规律.由于耗散项和噪声项第2期苗利军等:耗散型耦合随机非线性薛定谔方程的性质研究1 5 3 的影响,方程(1)不再具有经典电荷的守恒定律,但是具有衰减的指数型演化规律.定理2.1 耗散型耦合随机非线性薛定谔方程(1)具有电荷的平均演化规律 Eu2L2=e-2a tEu02L2+2Et0e-2a(t-s)k=1kbk2(x)dxds,Ev2L2=e-2a tEv02L2+2Et0e-2a(t-s)k=1kbk2(x)dxds,a.s.(4)证 为了研究耗散型耦合随机非线性薛定谔方程(1)的电荷平均演化规律,将I t 公式应用于函数(t,u)=e2a tu2dx,得到t=2ae2a tu2dx,D(u)()=2 e2a tR e(u-dx),D2(u)(,)=2 e2a tR e(-dx),其中,D,D2是沿方向和(,)的一阶和二阶F r c h e t导数,u-是函数u的共轭函数.从I t 公式中看出,有 d(t,u)=D(t)+D(u)()+12D2(u)(,)=D(t)+D(u)(du)+12D2(u)(du,du)=2ae2a tu2dtdx+2 e2a tR e(u-(du)dx)+e2a tR e(du)(du)dx),(5)其中,2 e2a tR e(u-(du)dx)=2 e2a tR e(u-(i u+i(u2+v2)u-a u)dt+dWdx)=2 e2a tR e(i u u-+i(u2+v2)u2-a u2)dt+u-dW)dx)=2 e2a tR e(-a u2dt+u-dW)dx)=-2ae2a tu2dtdx+2 e2a tR e(u-dWdx)和e2a tR e(du)(du)dx)=e2a tR e(-i u-i(u2+v2)u-a u)dt+dW (i u+i(u2+v2)u-a u)dt+dWdx)=e2a tR e(dW)(dW)dx)=e2a t2(dW)(dW)dx,代入式(5)整理得 d(t,u)=2ae2a tu2dtdx-2ae2a tu2dtdx+2 e2a tR e(u-dx)dW+e2a t2(dW)(dW)dx=1 5 4 辽宁师范大学学报(自然科学版)第4 6卷2 e2a tR e(u-dx)dW+e2a t2(dW)(dW)dx=2e2a tR e(u-dx)dW+e2a t2k=1kb2k(x)dtdx,即(t,u)=(0,u(0)+2t0e2a sR e(u-dx)dW+2t0e2a sk=1kb2k(x)dxds,两边同时取数学期望得E(t,u)=E(0,u(0)+2Et0e2a sk=1kb2k(x)dxds,由(t,u)=e2a tu2dx,Ee2a tu2dx=Eu02dx+2Et0e2a sk=1kb2k(x)dxds,两边同时乘以e-2a t得Eu2L2=e-2a tEu02L2+2Et0e-2a(t-s)k=1kb2k(x)dxds.类似地,有Ev2L2=e-2a tEv02L2+2Et0e-2a(t-s)k=1kb2k(x)dxds.证明完毕.3 能量演化规律 本节介绍耗散型耦合随机非线性薛定谔方程解的能量演化规律,定义哈密尔顿量H(u,v)=4(u4+v4)-2(u2+v2)+2u2v2dx.定理3.1 耗散型耦合随机非线性薛定谔方程(1)具有下面的能量演化规律H(u,v)=e-4a tH(u0,v0)-a t0R ee-4a(t-s)(u2+v2)dxds+t0I me-4a(t-s)(u2u-+v2v-)dWdx+t0I me-4a(t-s)(v2u-+u2v-)dWdx+t0I m(u-+v-)dWdx+(+)22k=1t0e-4a(t-s)u2kbk(x)2+v2kbk(x)2dxds+2k=1t0e-4a(t-s)(R e(u-kbk(x)2+(R e(v-kbk(x)2dxds+22k=1t0e-4a(t-s)R e(u-v-kbk(x)2)dxds-2k=1t0e-4a(t-s)(kbk(x)2dxds,a.s.证 为了获得耗散型耦合随机非线性薛定谔方程(1)的能量演化规律,对H(u,v)应用I t 公式,得到DuH(u,v)()=R e(u2+v2)u-dx-u-dx),DvH(u,v)()=R e(v2+u2)v-dx-v-dx),第2期苗利军等:耗散型耦合随机非线性薛定谔方程的性质研究1 5 5 D2u,uH(u,v)(,)=R e(u2+v2)-dx-dx)+2R e(u-)R e(u-)dx,D2v,vH(u,v)(,)=R e(v2+u2)-dx-dx)+2R e(v-)R e(v-)dx,D2u,vH(u,v)(,)=2R e(u-)R e(v-)dx,其中,DuH(u,v)(),D2u,uH(u,v)(,)表示H(u,v)关于u沿方向的一阶导数和H(u,v)关于u,v沿方向(,)的二阶导数,利用I t 公式有dH(u,v)=DuH(u)(du)+DvH(v)(dv)+12D2u,uH(u)(du,du)+D2u,vH(u,v)(du,dv)+12D2v,vH(v)(dv,dv),其中,DuH(u)(du)=R e(u2+v2)u-(du)dx-u-(du)dx).(6)将式子R e(u2+v2)u-(du)dxdx=R e(u2+v2)u-(i u+i(u2+v2)u-a u)dt+dWdx=R e(u2+v2)(-a u2dt+u-dW)dx=R e(-a u4dt+u2u-dW-au2v2dt+u2u-dW)dx,和-R eu-(du)dx=-R eu-(i u+i(u2+v2)u-a u)dt+dWdx=-R e(-au2dt+u-(dW)dx,代入式(6)整理可得DuH(u)(du)=R e(-a u4dt+u2u-dW-au2v2dt+u2u-dW)dx+R e(a u2dt-u-(dW)dx.同理,得DvH(v)(dv)=R e(-a v4dt+v2v-dW-au2v2dt+v2v-dW)dx+R e(a v2dt-v-(dW)dx,其中,12D2u,uH(u)(du,du)=12R e(u2+v2)(du)(du)dx-2R edududx+R e(u-du)R e(u-du)dx.(7)将式子12R e(u2+v2)(du)(du)dx=22R e(u2+v2)(dW)(dW)dx=1 5 6 辽宁师范大学学报(自然科学版)第4 6卷22R e u2(dW)(dW)dx+22R ev2(dW)(dW)dx,-2R e(du)(du)dx=-22R e(dW)dWdx,以及 R e(u-(du)R e(u-(du)dx=R e(u-(i u+i(u2+v2)u-a u)dt+dW)2dx=2R e(u-dW)R e(u-dW)dx,代入(7)整理可得12D2u,uH(u)(du,du)=22R e u2(dW)(dW)dx+22R ev2(dW)(dW)dx-22R e(dW)dWdx+2R e(u-dW)R e(u-dW)dx.同理可得,12D2v,vH(v)(dv,dv)=22R e v2(dW)(dW)dx+22R eu2(dW)(dW)dx-22R e(dW)dWdx+2R e(v-dW)R e(v-dW)dx,以及 D2u,vH(u,v)(du,dv)=2R e(u-(du)R e(v-(dv)dx=2R e(u-dW)R e(v-dW)dx=22R e(u-dW)R e(v-dW)dx.综上可得,dH(u,v)=R e-a(u4+v4)dt+a(u2+v2)dt-2au2v2dtdx+R e(u2u-+v2v-)dW+(v2u-+u2v-)dW-(u-(dW)+v-(dW)dx+22R e(u2(dW)(dW)+v2(dW)(dW)dx+22R e(u2(dW)(dW)+v2(dW)(dW)dx+2R e(u-dW)R e(u-dW)+R e(v-dW)R e(v-dW)dx-2R e(dW)dWdx+22R e(u-dW)R e(v-dW)dx=-4a H(u,v)dt-a R e(u2+v2)dxdt+I m(u-+v-)dWdx+I m(u2u-+v2v-)dWdx+I m(v2u-+u2v-)dWdx+(+)22k=1u2kbk(x)2+v2kbk(x)2dxdt+2k=1(R e(u-kbk(x)2+(R e(v-kbk(x)2dxdt+22k=1(u-v-kbk(x)2)dxdt-2k=1(kbk(x)2dxdt.第2期苗利军等:耗散型耦合随机非线性薛定谔方程的性质研究1 5 7 关于变量t取积分,得到H(u,v)=e-4a tH(u0,v0)-a t0R ee-4a(t-s)(u2+v2)dxds+t0I me-4a(t-s)(u2u-+v2v-)dWdx+t0I me-4a(t-s)(v2u-+u2v-)dWdx+t0I m(u-+v-)dWdx+(+)22k=1t0e-4a(t-s)u2kbk(x)2+v2kbk(x)2dxds+2k=1t0e-4a(t-s)(R e(u-kbk(x)2+(R e(v-kbk(x)2dxds+22k=1t0e-4a(t-s)R e(u-v-kbk(x)2)dxds-2k=1t0e-4a(t-s)(kbk(x)2dxds.证明完毕.参考文献:1 傅浩.共形H a m i l t o n系统的若干保结构算法研究D.长沙:国防科技大学,2 0 1 8.2 C HE NC,HON GJ,J IL.Ac o m p a c t s c h e m e f o r c o u p l e d s t o c h a s t i c n o n l i n e a r S c h r d i n g e r e q u a t i o n sJ.C o mm u n i c a t i o n s i nC o m p u-t a t i o n a lP h y s i c s,2 0 1 7,2 1(1):9 3-1 2 5.3 C HE NC,HON GJ,J IL.S t o c h a s t i cc o n f o r m a lm u l t i-s y m p l e c t i cm e t h o df o rd a m p e ds t o c h a s t i cn o n l i n e a rS c h r d i n g e r e q u a t i o n sJ/O L.h t t p s:/d o i.o r g/1 0.4 8 5 5 0/a r X i v.1 8 0 3.1 0 8 8 5,2 0 1 8,3,2 9.4 WAN GT,Z HAN GL,C HE NF.N u m e r i c a l a n a l y s i so f am u l t i-s y m p l e c t i cs c h e m e f o ras t r o n g l ys o u p l e dS c h r d i n g e rs y s t e mJ.A p p l i e dM a t h e m a t i c sa n dC o m p u t a t i o n,2 0 0 8,2 0 3(1):4 1 3-4 3 1.5 KON GL,HON GJ,J IL.C o m p a c ta n de f f i c i e n tc o n s e r v a t i v es c h e m e s f o rc o u p l e dn o n l i n e a rS c h r d i n g e re q u a t i o n sJ.N u m e r i c a lM e t h o d s f o rP a r t i a lD i f f e r e n t i a lE q u a t i o n s,2 0 1 5,3 1(6):1 8 1 4-1 8 4 3.P r o p e r t i e so f c o u p l e dd a m p e ds t o c h a s t i cn o n l i n e a rS c h r d i n g e r e q u a t i o nM I A OL i j u n,H U A N GY i w e i(S c h o o l o fM a t h e m a t i c s,L i a o n i n gN o r m a lU n i v e r s i t y,D a l i a n1 1 6 0 2 9,C h i n a)A b s t r a c t:S t o c h a s t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n,a sam a t h e m a t i c a lm o d e lt od e s c r i b et h ec o m p l e xs y s t e ma f f e c t e db ys t o c h a s t i ce n v i r o n m e n t,h a sb e e nw i d e l yu s e d i nt h e f i e l d so fm e c h a n i c s,c h e m i s-t r y,b i o l o g y,e c o n o m ya n d f i n a n c e.T h e r e s e a r c ho nt h ep r o p e r t i e so f s t o c h a s t i cp a r t i a l d i f f e r e n t i a l e-q u a t i o n s i so n eo f t h eh o t s p o t s i nt h ew o r l d.C o u p l e dd a m p e ds t o c h a s t i cn o n l i n e a rS c h r d i n g e r e q u a-t i o n,a sas p e c i a ls t o c h a s t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nw h i c hp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei np l a s m ap h y s i c sa n dd i s s i p a t i v eq u a n t u mf i e l dt h e o r y.I nt h i sp a p e r,w ep r o p o s et h a t t h ee q u a t i o nh a sas t o-c h a s t i cc o n f o r m a lm u l t i-s y m p l e c t i cg e o m e t r ya n dw ep r o p o s e t h e s t o c h a s t i c c o n f o r m a lm u l t i-s y m p l e c-t i cc o n s e r v a t i o nl a w,t h ec h a r g ea v e r a g ee v o l u t i o nl a w a n dt h ee n e r g ye v o l u t i o nl a w o fc o u p l e dd a m p e ds t o c h a s t i cn o n l i n e a rS c h r d i n g e re q u a t i o n.K e yw o r d s:c o u p l e dd a m p e ds t o c h a s t i cn o n l i n e a rS c h r d i n g e re q u a t i o n;c h a r g ea v e r a g ee v o l u t i o nl a w;e n e r g ye v o l u t i o nl a w