分数傅里叶余弦-拉普拉斯混合加权卷积及其应用.pdf

第41卷 第8期2023年8月河 南 科 学HENAN SCIENCEVol.41 No.8Aug.2023收稿日期：2023-05-30基金项目：国家自然科学基金项目（62261055，61861044）；陕西省自然科学基金项目（2022JM-400，2023-JC-YB-085）；2022年国家级大学生创新创业训练计划项目（202210719050）作者简介：袁莎（2001-），女，硕士研究生，主要从事信号处理理论与方法的研究工作通信作者：冯强（1975-），男，教授，博士，主要从事傅里叶分析、分数域信号处理理论与方法的研究工作文章编号：1004-3918（2023）08-1159-08分数傅里叶余弦-拉普拉斯混合加权卷积及其应用袁莎，向仪，冯强（延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安716000）摘要：由于不同的卷积运算具有不同的性质,在实际应用中可以对不同的复杂应用场景进行建模，因此，进一步研究分数域卷积运算及其性质，对揭示非平稳信号分析和处理的内在规律,具有重要的理论意义和实际应用价值.首先定义了两类分数傅里叶余弦-拉普拉斯混合加权卷积运算，推导了相应的卷积定理；其次研究了混合加权卷积运算性质，最后将所得卷积运算应用于卷积积分方程组，给出了相应的显式解.关键词：分数傅里叶余弦变换；拉普拉斯变换；卷积定理；卷积积分方程中图分类号：O 174.2文献标识码：AFractional Fourier Cosine-Laplace Mixed WeightedConvolution and Its ApplicationsYUAN Sha，XIANG Yi，FENG Qiang（School of Mathematics and Computer Science，Yan an University，Yan an 716000，Shaanxi China）Abstract：Because different convolution operations have different properties，they can be used to model differentcomplex application scenarios in practical applications.Therefore，further study of fractional convolution operationand its properties has important theoretical significance and practical application value to reveal the internal law ofnon-stationary signal analysis and processing.Firstly，two classes of fractional Fourier cosine-Laplace mixedweighted convolution are defined based on the existing fractional Fourier-Laplace weighted convolution，and thecorresponding convolution theorem is derived.Secondly，the properties of mixed weighted convolution are studied.Finally，based on these kind of convolution，solution of the system of convolution integral equations is studied，andthe explicit solutions are obtained.Keywords：fractionalFouriercosinetransform；Laplacetransform；convolutiontheorem；convolutionintegralequation分数傅里叶变换（Fractional Fourier Transform，FRFT）作为经典傅里叶变换的广义形式，在应用数学、光学系统、图像处理等方面有着重要的作用1-5.分数傅里叶余弦变换（Fractional Fourier Cosine Transform，FRCT）与分数傅里叶正弦变换（Fractional Fourier Sine Transform，FRST）继承了分数阶傅里叶变换的优良性质，同时在算法上具有较低的计算复杂度，作为傅里叶余弦变换和傅里叶正弦变换的广义形式，在信号处理中同样起着重要的作用6-9.卷积是一种积分运算，经典的卷积定理可理解为，时域的卷积等价于频域的乘积，在模式识别、应用数学、信号处理中有着重要的作用10-12，拉普拉斯变换（Laplace Transforms，LT）是在求解边值问题和卷积积分方程时常用的有力工具之一13.由于不同的卷积具有不同的性质，近年来，许多学者致力于对卷积的研第41卷 第期河 南 科 学2023年8月究，Bui和Nguyen14给出了几类新型傅里叶广义卷积，并利用所构造的卷积研究了相应的卷积积分方程.Thao和Tuan15-16提出了傅里叶余弦拉普拉斯广义卷积和傅里叶正弦拉普拉斯广义卷积，并证明了一个闭形式的积分方程解的存在性.Feng等8-9提出了分数余弦卷积和分数正弦卷积，并讨论了乘性滤波器和广义卷积积分方程，提出了一种在时域内通过分数余弦和正弦卷积实现乘性滤波器的实用方法，并得到了卷积型积分方程的显式求解方法.此外，Feng和Yuan17在分数域上扩展了傅里叶拉普拉斯卷积，提出了分数域傅里叶拉普拉斯卷积，丰富了卷积理论及其应用.Xiang等18提出几类加权分数傅里叶正余弦-拉普拉斯加权卷积及卷积定理，将推导的卷积应用于卷积积分方程，得到了相应的显式解.从现有的研究成果来看，分数域加权卷积运算与相应的加权卷积定理及其应用有待进一步的研究.本文在现有文献的基础上研究了分数傅里叶正余弦-拉普拉斯混合加权卷积运算及其应用.首先，利用经典卷积、拉普拉斯变换以及分数傅里叶余弦变换性质，给出了分数傅里叶余弦-拉普拉斯混合加权卷积运算，并推导出相应的卷积定理；其次研究了混合加权卷积的运算关系；最后，利用混合加权卷积运算，研究了一类卷积类积分方程的解，并得到了卷积积分方程组的显式解.1预备知识分数傅里叶变换（FRFT）19-20定义如下(Ff)(u)=-+f(t)K(t,u)e-jutcscdt，（1）其中K(t,u)=Aejt2+u22cot，kp，(t-u)，2kp，(t+u)，(2k-1)p，kZ，A=1-jcot2p,=p2，当t0时，(t)=0，且满足R(t)dt=1.分数傅里叶逆变换定义为f(t)=-+(Ff)(u)K-(t,u)du.（2）作为分数傅里叶变换的广义形式，分数傅里叶余弦变换（FRCT）与分数傅里叶正弦变换（FRST）21分别定义如下(Fcf)(u)=20+f(t)K(t,u)cos(cscut)dt，（3）(Fsf)(u)=2ej-p20+f(t)K(t,u)sin(cscut)dt，（4）其中=p2.相应的逆变换分别定义为f(t)=20+Fc(u)K-(t,u)cos(cscut)du，（5）f(t)=-2e-j(+p2)0+FsK-(t,u)sin(cscut)du.（6）FRCT卷积运算8定义如下(f c,g)(t)=Ae-jt22cot0+f(u)g(|t-u)+g(t+u)du，（7）其中A=1-jcot2p,f(t)=f(t)e-jt22cot,g(t)=g(t)e-jt22cot.相应的卷积定理为-1160引用格式：袁莎，向仪，冯强.分数傅里叶余弦-拉普拉斯混合加权卷积及其应用 J.河南科学，2023，41（8）：1159-1166.Fc(f c,g)(u)=e-ju22cot(Fcf)(u)(Fcg)(u).（8）FRCT-FRST卷积运算8定义为(f c,s,g)(t)=Ae-jt22cot0+f(u)g(t+u)-sign(t-u)g(|t-u)du，（9）其中A=1-jcot2p,f(t)=f(t)e-jt22cot,g(t)=g(t)e-jt22cot.相应的卷积定理为Fc(f c,s,g)(u)=e-j-p2e-ju22cot(Fsf)(u)(Fsg)(u).（10）经典的Laplace变换22的定义如(Lf)(u)=L()f(t)(u)=12p0+f(t)e-utdt，（11）其逆变换23为f(t)=12pc-jc+j(Lf)(u)e-utdu.（12）与Laplace变换相关的卷积运算22为(f Lg)(u)=0tf(t-t)g(t)dt，（13）相应的卷积定理可以表述为L(f Lg)(u)=(Lf)(u)(Lg)(u).（14）近年来与分数傅里叶余弦变换以及拉普拉斯变换相关的加权卷积运算的研究引起了学者的关注，文献 18 分别定义了一类分数傅里叶余弦-拉普拉斯加权卷积运算与分数傅里叶正弦-拉普拉斯加权卷积运算为(f,c,lg)(t)=|csc(2p)32e-jt22cot0+0+(I1+I2+I3+I4)ej22cotf()g()dd，（15）(f,s,lg)(t)=|csc(2p)32e-jpe-jt22cot0+0+(-I1-I2+I3+I4)ej22cotf()g()dd，（16）其中I1(,t;)=+(+)2+(+t)csc+12,I2(,t;)=+(+)2+(+t)csc-12,I3(,t;)=+(+)2+(-t)csc+12,I4(,t;)=+(+)2+(-t)csc-12.其中=e-ucos u，R+为参数，则相应的分数傅里叶正余弦-拉普拉斯加权卷积定理为Fc(f,c,lg)(t)(u)=e-ucos u(Fcf)(u)(Lg)(u)，（17）Fs(f,s,lg)(t)(u)=e-ucos u(Fsf)(u)(Lg)(u).（18）-1161第41卷 第期河 南 科 学2023年8月2混合加权卷积及其卷积定理本节将给出两类分数傅里叶余弦-拉普拉斯混合加权卷积，并推导出相应的卷积定理.定义1设f(t),g(t)L1(R+)，分数傅里叶余弦-拉普拉斯混合加权卷积运算定义为(f,c,lg)(t)=|csc(2p)32e-jt22cot0+0+(S1+S2+S3+S4)ej22cotf()g()dd.（19）定义2设f(t),g(t)L1(R+)，分数傅里叶正弦-拉普拉斯混合加权卷积运算定义为(f,s,lg)(t)=|csc(2p)32e-jpe-jt22cot0+0+(-S1-S2+S3+S4)ej22cotf()g()dd，（20）其中S1(,t;)=+(+)2+(+t+1)csc2,S2(,t;)=+(+)2+(+t-1)csc2,S3(,t;)=+(+)2+(-t+1)csc2,S4(,t;)=+(+)2+(-t-1)csc2，且=e-ucos(cscu)为混合加权函数，R+为参数.定理1设f(t),g(t)L1(R+)，则有(f,c,lg)(t)L1(R+)，=e-ucos(cscu)为混合权函数，Fcf,Lg分别表示f(t),g(t)的FRCT、LT，则分数傅里叶余弦-拉普拉斯混合加权卷积定理为Fc(f,c,lg)(u)=e-ucos(cscu)(Fcf)(u)(Lg)(u).（21）证明：由式（19）可得0+|(f,c,lg)(t)dt|csc(2p)32|f()|g()dddt=|csc(2p)320+0+0+|(S1+S2+S3+|S4)dt|f()|g()dd,（22）其中0+|S1+S4dt=0+|+(+)2+(+t+1)csc2dt+0+|+(+)2+(-t-1)csc2dt-+|+(+)2+t2dtp.（23）同理可得0+|S2+S3dtp.（24）由式（22）、式（23）和式（24）可得0+|（(f,c,lg)(t)dt2p0+|f()d0+|g()d=fL1(R+)gL1(R+).因此(f,c,lg)(t)L1(R+)，下证式（21），由定义1可知-1162F-ce-ucos(cscu)(Fcf)(u)(Lg)(u)(t)=20+e-ucos(cscu)(Fcf)(u)(Lg)(u)K-(t,u)cos(csctu)du=40+e-ucos(cscu)0+f()K(,u)cos(cscu)d(Lg)(u)K-(t,u)cos(csctu)du=4AA-e-jt22cot0+e-ucos(cscu)f()e-j22cot0+cos(cscu)cos(csctu)(Lg)(u)du d=212pAA-e-jt22cot0+f()e-j22cot(0+g()0+()cos()(+t)ucsc+cos()(-t)ucsc)cos(cscu)e-u(+)du d d,由积分0+e-u(+)cos udu=+(+)2+2，可得F-ce-ucos(cscu)(Fcf)(u)(Lg)(u)(t)=|csc(2p)32e-jt22cotR2+(S1+S2+S3+S4)ej22cotf()g()dd.定理1证毕.定理2设f(t)，g(t)L1(R+)，则有(f,s,lg)(t)L1(R+)，=e-ucos(cscu)为混合权函数，Fsf，Lg分别表示f(t)，g(t)的FRST、LT，则分数傅里叶正弦-拉普拉斯混合加权卷积定理为Fs(f,s,lg)(u)=e-ucos(cscu)(Fsf)(u)(Lg)(u).（25）证明：定理2证明与定理1证明类似.定理3设f(t)，g(t)，h(t)L1(R+)，混合加权卷积,c,l，,s,l满足下列运算规律（i）f c,(g,c,lh)=g c,(f,c,lh)；（ii）f c,s,(g,s,lh)=g c,s,(f,s,lh).证明：首先证明式（i），由式（8）与式（21）可知Fcf c,(g,c,lh)=e-ju22cot(Fcf)(u)Fc(g,c,lh)=e-ju22cot(Fcf)(u)e-ucos u(Fcg)(u)(Lg)(u)=FcgFc(f,c,l1h).因此f c,(g,c,lh)=g c,(f,c,lh)，式（ii）的证明与式（i）的证明类似，定理3证毕.3混合加权卷积在卷积积分方程组的应用卷积积分方程应用非常广泛，在辐射能量传播、轴震动关系，特别是在解决工程力学和数字信号处理等问题时，会经常遇到形如式（26）方程组f(t)+0+g(x)1(,x)dx=p(t),g(t)+0+f(x)2(,x)dx=q(t).（26）其中：1，1，p1，1，t1，q1L1(R+)；f,gL1(R+)的未知函数；且1(,x)=0+0+M1(,t)()()dd,2(,x)=0+0+M2(,t)()t()dd,M1(,t)=A|csc(2p)32(S1+S2+S3+S4)e-j2t2-22cot,M2(,t)=A|csc(2p)32(I1+I2+I3+I4).（27）引用格式：袁莎，向仪，冯强.分数傅里叶余弦-拉普拉斯混合加权卷积及其应用 J.河南科学，2023，41（8）：1159-1166.-1163第41卷 第期河 南 科 学2023年8月f(t)=f(t)ejt22cot,g(t)=g(t)ejt22cot,(t)=(t)ejt22cot,t(t)=t(t)ejt22cot,(t)=(t)ejt22cot,(t)=(t)ejt22cot,A=1-jcot2p,(t)=(|t-x)+1(t+x),(t)=1(|t-x)+(t+x).下面将利用所得卷积研究卷积积分方程组式（26），并给出相应的显式.定理4假设e-ju22cotFc(,c,l)c,(,c,l1t)(u)1（28）成立，则方程组式（26）存在唯一解 f(t)=p(t)-(,c,l)c,q(t)+(pc,)(t)-c,(,c,l)c,q(t),g(t)=q(t)-(1,c,lt)c,p(t)+(qc,)(t)-c,(,c,lt)c,p(t),其中L1(R+)，且满足(Fc)(u)=Fc(,c,l)c,(,c,lt)(u)1-e-ju22cotFc(,c,l)c,(,c,lt)(u).（29）证明由式（27）以及定义1，方程组式（26）可改写为f(t)+(g,c,l)c,(t)=p(t),g(t)+(g,c,lt)c,(t)=q(t).（30）对式（30）两边施行FRCT可得(Fcf)(u)+e-ju22cote-ucos(cscu)(Fcg)(u)(Fc)(u)(L)(u)=(Fcp)(u),(Fcg)(u)+e-ju22cote-ucos u(Fcf)(u)(Fc)(u)(Lt)(u)=(Fcq1)(u).（31）由于(Fcp)(u)-e-ju22cotFc(,c,l)(u)(Fcq)(u)=(Fcp)(u)-Fc(,c,l)c,q(u).根据Wiener-Levi s定理24及式（28）、式（29）可得(Fcf)(u)=(Fcp)(u)-Fc(,c,l)c,q(u)1-e-ju22cotFc(,c,l)c,(,c,lt(u)=(Fcp)(u)-Fc(,c,l)c,q(u)1+e-ju22cot(Fc)(u)=(Fcp)(u)-Fc(,c,l)c,q(u)+Fc(pc,)(u)-Fc(1c,(1,c,l1)c,q1)(u),-1164利用逆FRCT可得f(t)=p(t)-(,c,l)c,q(t)+(pc,)(t)-c,(,c,l)c,q(t).（32）同理，由于(Fcq)(u)-e-ju22cotFc(,c,lt)(u)(Fcp)(u)=(Fcq)(u)-Fc(,c,lt)c,p(u)，可得(Fcg)(u)=(Fcq)(u)-Fc(,c,lt)c,p(u)1-e-ju22cotFc(,c,l)c,(,c,lt)(u)=(Fcq)(u)-Fc(,c,lt)c,p(u)+Fc(qc,)(u)-Fcc,(,c,l)c,p(u).利用逆FRCT可得g(t)=q(t)-(,c,l)c,p(t)+(qc,)(t)-c,(,c,l)c,p(t)，（33）定理4得证.4结语本文在现有分数傅里叶正余弦-拉普拉斯卷积的基础上，首先给出了分数傅里叶余弦-拉普拉斯混合加权卷积运算，研究了所得混合加权卷积运算的基本性质.利用分数傅里叶变换、拉普拉斯变换以及定义的卷积运算推导出了相应的卷积定理.最后利用提出的混合加权卷积，分数傅里叶余弦变换、拉普拉斯变换，讨论了一类卷积类积分方程组的解，给出了相应方程的显式解.参考文献：1 KAMALAKKANNAN R，ROOPKUMAR R.Multidimensional fractional Fourier transform and generalized fractional convolution J.Integral Transforms and Special Function，2019，31（2）：152-165.2 WANG J，SUN S F，ZHANG H H，et al.Holographic femtosecond laser parallel processing method based on the fractional Fouriertransform J.Optics and 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