分数阶两时滞广义Logistic方程解的分析.pdf

分数阶两时滞广义 Logistic 方程解的分析 杨晓婷1,袁利国1,2,旷菊红3(1.华南农业大学 数学系,广州 510642;2.安徽大学 数学科学学院,合肥 230601;3.五邑大学 数学与计算科学学院,江门 529020)摘 要:利用 Banach 压缩映像原理及范数不等式技巧证明分数阶两时滞广义 Logistic 方程解的存在唯一性以及解的导函数是属于 L1可积的,并利用改进的 Adams-Bashforth-Moulton 预估校正算法实现该方程的数值求解.关键词:分数阶导数;时滞;存在唯一性;广义 Logistic 方程 中图分类号:O178;O175 文献标识码:A 文章编号:1672-5298(2023)02-0001-07 Analysis of Solutions of Fractional-order Generalized Logistic Equation with Two Delays YANG Xiaoting1,YUAN Liguo1,2,KUANG Juhong3(1.Department of Mathematics,South China Agricultural University,Guangzhou 510642,China;2.School of Mathematical Sciences,Anhui University,Hefei 230601,China;3.School of Mathematics and Computational Science,Wuyi University,Jiangmen 529020,China)Abstract:By using Banach contraction mapping principle and norm inequality technique,the existence and uniqueness of the solution of fractional-order generalized logistic equation with two delays were proved,and the derivative of the solution is L1 integrable function.The improved Adams-Bashforth-Moulton predictor-corrector algorithm was used to realize the numerical solution of the equation.Key words:fractional-order derivative;delay;existence and uniqueness;generalized logistic equation 0 引言 分数阶微分方程是描述系统记忆和遗传特性的一个强有力工具,在生物系统中时滞也普遍存在.由于分数阶时滞微分方程的精确解很难求得,故研究其解的存在唯一性及相应数值解具有重要意义.近年来各种分数阶时滞(或不含时滞)微分方程解的研究吸引了学者的关注,如解的存在唯一性、解的稳定性、数值解及级数解等19.文2研究分数阶单时滞广义 Logistic 方程解的存在唯一性及数值解.文3分析无时滞的分数阶 Logistic 方程的解.文4给出分数阶两时滞 Logistic 方程解的存在唯一性.文5研究分数阶Logistic 方程的幂级数解.文9研究分数阶单时滞 Logistic 系统的稳定性.文10给出分数阶单时滞Logistic 方程的数值解.文11分析分数阶单时滞 Logistic 系统的混沌.文12提出整数阶两时滞广义Logistic 模型,并分析其 Hopf 分岔和混沌现象.1 相关定义 分数阶两时滞广义 Logistic 方程为 2120()()()(),0,(),0,D x tx tabx tcx ttx txt(1)其中D是 Caputo 分数阶导数算子,01,a c为正常数,b,12,为正的时滞.分数阶导数的定义有多种形式,本文采用Caputo分数阶导数定义.收稿日期:2022-05-12 基金项目:国家自然科学基金资助项目(11901438);广东省质量工程项目(华南农教202169 号);五邑大学质量工程项目(JX2021018)作者简介:杨晓婷,女,硕士研究生.主要研究方向:分数阶时滞微分方程 通信作者:袁利国,男,博士,副教授.主要研究方向:混沌与分岔、分数阶微分方程 第36卷 第2期 湖南理工学院学报(自然科学版)Vol.36 No.22023 年 6 月 Journal of Hunan Institute of Science and Technology(Natural Sciences)Jun.20232 湖南理工学院学报(自然科学版)第 36 卷 定义113 阶Riemann-Liouville分数阶积分算子定义为 11()()()d,0,()xaI fxxtf tt 其中x和a分别是积分上下限.定义213 阶Caputo分数阶导数定义为 11d()()()d,0,()dnnxnaD f xxtf ttnt 其中n是整数,1,()nn 为Gamma函数.记0,0,()ITTNC I是I上具有范数|Supe(|)Nttxx t的所有连续函数构成的集合.10,LT是I上具有范数10|e()|dTNtxx tt的所有可积函数构成的集合.分数阶导数的长时间记忆性能很好刻画一些生物现象.当1时,方程(1)退化为文12中的整数阶模型.本文研究分数阶两时滞广义Logistic方程(1)的解的存在唯一性、解的导函数的1L可积性以及利用改进的Adams-Bashforth-Moulton预估校正算法与Matlab软件实现其数值解.方程(1)右端的非线性项比经典的分数阶Logistic方程更复杂,分析过程参考文24的方法,但证明过程中范数不等式技巧有很大区别且难度更大.2 解的存在唯一性 为了证明方程(1)解的存在唯一性,需要用到以下引理.引理(Banach压缩映像原理)14 假设K是Banach空间 E 中的非空闭子集,:F KK是压缩算子,即对任意的,x yK,有|,0,1,FxFya xya 则存在唯一的*xK,使得*.Fxx 对于初值问题(1)定义0():()0,1,(),0.C Ixx ttI x txt 定理 初值问题(1)存在唯一解1()(),0,.x tC IxLT 证明 基于分数阶微积分性质及文24的启发,方程(1)可写为 1212d()()()()(),d()Ix tax tbx t x tcx t x tt(2)对此方程的两边同时作用积分算子I,得 2012()()()()().x txIax tbx t x tcx t x t(3)定义算子2012()()()()()()Fx txIax tbx t x tcx t x t,则 11100()()e|()()|e|()()|d|e|()|()()|d()()ttNtNtNttstsFx tFy tax sy ssbx sx sy ss 1122112200()()|e|()|()()|de|()|d()()(ttNtNttstsby sx sy sscx sx syss 112200|()|()()e|()()|d(|)e|()()|d()()ttNtNttstscy sx sy ssabcx sy ss 11112200()()|e|()()|d2 e()()d.(|()|)ttNtNttstsbx sy sscx sy ss 记 11120110()()e|()()|d,e|()()|d,()()ttNtNttstsAx sy ssAx sy ss 第 2 期 杨晓婷,等:分数阶两时滞广义 Logistic 方程解的分析 3 13220()e|()()|d,()tNttsAx sy ss 可得 11()100()()e()()dee()()d()(|)|ttNtN t sNststsAx sy ssx sy ss 1100()|ed|ed()()ttN t sNhtshxysxyh10()11|ed()|.()NhNhxyNhxyNN 12101()e()()d()tNttsAx sy ss 111111101()()e|()()|de|()()|d.()()NtNtttstsx sy ssx sy ss 由于10s,则10s,那么10()x sx,故11110()e|()()|d0.()Nttsx sy ss 从而 111112110|()()e()()de()()d()()|ttNtNtttsAx sy ssxy 1111()()1100|()()ee()()d|ed()()ttN tNN tttxyxy 11111100()eee|ed|ed()|.()|(|NNtNNhNhNhhxyhxyNhxyNN 2211322220()()e|()()|de|()()|d.()()tNtNttstsAx sy ssx sy ss 由于0s2,则20s,那么20()x sx,故21220()e|()()|d0.()Nttsx sy ss 则 221132222|()()e()()de()()d(|)ttNtNttstsAx sy ssx sy ss 2211()2200()()e()()dee|()()|(|d)()ttNtN tNttxyxy 22211()()200()|ed|ed()()ttN hN tthxyxyh 2210()ee|ed()|.()NNNhNhxyNhxyNN 故 121231e|()()|(|)|2(|e2 e)|,NNNtFx tFy tabc Ab Ac AabcbcxyN 由范数定义,有121|(|e2 e)|.NNFxFyabcbcxyN 当N充分大时,总可以使得121(|e2 e)1NNabcbcN,因此算子F是压缩的,由引理可知方程(1)有唯一解.由式(2)与(3)可知 2012()()()()()()()x txIax tbx t x tcx t x t 1111100100()()()()d()d()()d()()()tttststsxax ssbx x ssbx s x ss 221122020()()()d()()d.()()ttstscx x sscx s xss 4 湖南理工学院学报(自然科学版)第 36 卷 记 111111203100()()()()d,()d,()()d,()()()tttststsDax ss Dbx x ss Dbx s x ss 22112240520()()()d,()()d,()()ttstsDcx x ss Dcx s xss 则35124dddddd(),ddddddDDDDDx ttttttt又 2111000d(1)()()d()()d,d()()()ttDtsaaax ssx ttsx sst 1122111000201100d(1)()()d()()()()d,d()()()()bxbxbxDtsbxx ssxtttsx sst 12130111d(1)()()()d()()d()()tDbxtsbx s x ssxtt 111111()()()d()()()d,()()ttbbtsx s x sstsx s x ss 2223222111000402200d(1)()()d()()()()d,d()()()()cxcxcxDtscxx ssxtttsx sst 2222150222d(1)()()d()()d()()()tDcxtscx s x ssxtt 221212222()()()d()()()()d,()()ttcctsxs xsstsx s x sx ss 那么可得 123111000000d()()()d()()dd()()()taxbxcxbxx tattsx sstsx sst 21211010()()d()()()d()()tcxbtsx sstsx s x ss 1211212()()()d()()d()()(ttbctsx s x sstsxs xss 21222()()()()d,()tctsx s x sx ss 则 23110000|e()|e|()()ed|()()tNtNtNtaxbxcxax tttsx ss 122110000|()()ed|()()ed|()()NtNtbxcxtsx sstsx ss 111111|()()()ed|()()()ed|()()ttNtNtbbtsxs x sstsx s x ss 221212222|()()ed|()()()()ed|,()()()ttNtNtcctsxs xsstsx s x sx ss 于是 2323120000000|e|(1)ed|()()tNtNtaxbxcxaxbxcxtss2320000|(1)eed|()tN t sNsaxbxcxss 232()000101|(1)()eed()|()tNsN t saxbxcxNsNsN 2323232000000000110|1|(1)()ed()|,()tNsaxbxcxaxbxcxaxbxcxNsNsNNN 第 2 期 杨晓婷,等:分数阶两时滞广义 Logistic 方程解的分析 5 11()00|()ed|()()eed|()()ttNtNsN t saatsx sstsx ss10|()ed()tN t saxtss 101|()ed(),()tNaxNNN 1111()0000|()()ed|()()eed|()()NtNsN t sbxbxtsx sstsx ss11()00|()ed()N t sb xxtss 111100|ed|ed()()ttNNttb xb xxx 1110000|()ed()|()ed(),()()ttNNb xb xxNNxNNNN 222211()0000|()()ed|()()eed|()()NtNsN t scxcxtsx sstsx ss22100|()ed()N t scxxtss 22211000|()ed()|()ed()()()ttNNtcxcxxNNxNNNN 22100|()ed(),()tNcxxNNN 1111()11|()()()ed|()()()eed|()()ttNtNsN t sbbtsx s x sstsx sx ss 11()1|()|()|ed()tN t sbxtsx ss 111()10|1|()ed|()ed(),()()ttN t sNbbxtssxNNN 11111110|()()()ed|()()()eed|()()ttN tNtNbbtsx s x sstxx 11()1()11100|()|()|ed|()ed()()ttN tN tbbxtxxt 1110|e1|()ed(),()NtNhbxNhNhN 22121222|()()()ed|()()eed|()()ttN t sNtNscctsx s x sstsx sx ss 212()2|()|)e)(|d(tN t scxtsx ss 221()101|()ed|()ed(),()()ttN t sNccxtssxNNN 21222|()()()()ed|()tNtctsx s x sx ss21()2202|()()()()eed|()tNN tctxxx 21()2202|()|()()|ed()tN tcxtxx 2221()120022 e1|()ed|()ed(),()()NttN tNhccxtxNhNhN 因此 2321000000|e()|()ed()()tNtNaxbxcxab xcxN txNNNN 12122110000|e2 e|()ed()|()ed()()()NNttNNbb xbccxcxNNxNNNN2321000000|()ed()()Naxbxcxab xcxxNNNN6 湖南理工学院学报(自然科学版)第 36 卷 122110000|e2 e|()ed()|()ed()()()NNNNbb xbccxcxNNxNNNN 1223000|e2 e|,NNaxbxcxabcbcxNN 故1223000|e2 e|NNaxbxcxabcbcxxNN,即 12123000|e2 e|1,NNaxbxcxabcbcxNN 导函数是有界的,再根据文3,4的方法,从而有10,.xLT 注(1)当12t时,有221200()()()()x tabx tcx tabxcxx t;(2)当12t 时,有221210()()()()().x tabx tcx tabx tcxx t 3 数值解 Diethelm等15提出Caputo定义下分数阶微分方程的Adams-Bashforth-Moulton预估校正数值算法,Bhalekar等16将其扩展到分数阶时滞微分方程.本文利用此预估校正算法15,16,求解分数阶两时滞Logistic方程 212021()(),0,()()0,(),D x txabx tcxttTtx txt (4)的数值解.当12时,方程(4)退化为单时滞情形,文10给出Matlab求解程序.因此不妨假设12,设定网格点2211:,1,1,1,0,1,nTtnh nkkkkN,其中12,k k和N是正整数,且 120221112;,1,1,1,)0;(hjThxtxjkkkkNkk 121122()()()();,0,1,.()()hjhhj khjhhj kx txjhk hxtx txjhk hx tjN 设2211()(,1,(,1,1,0,1,),)hjjx tx tjkkkkn 对式(4)两边同时作用积分算子得 112101120()1()()()(d).)(ntnnhx txtxabxcx(5)用()hnx t来近似()nx t,可得校正表达式 21011112()()()(2)()hnhnnnhx txx tabx tcx t 122,10(),(2)()()nj nhjj kj kjhax tabx tcx t(6)其中 1111,1()(1),0,(2)()2(1),1,1,1.j nnnnjanjnjnjjnjn(7)用预估项1()Phnxt代替式(6)右边的1(),hnxt即得数值解2211(,1,1,),(hjx tjkkkk 1,0,1,),.n其中 210,1120()()()()(nPhnj nhjjjjhx txbx tabx tcx t 1220,10()(),()nj nhjj kj kjhxbx tabx tcxt 第 2 期 杨晓婷,等:分数阶两时滞广义 Logistic 方程解的分析 7 ,1(1)().j nhbnjnj 根据式(5)(7),应用Matlab软件求解方程(4)的数值解,程序见http:/ 得到方程(4)的数值解,如图1所示.取10.6,21.5,0.5,得到方程(4)的数值解,如图2所示.图 1 120.9,0.6,2时的数值解 图 2 120.5,0.6,1.5时的数值解 4 结束语 连续或离散Logistic方程不仅在生物学中有重要应用,其混沌性质在图像加密中也有广泛应用.对经典Logistic方程(或映射)及其各种推广方程的研究一直是热点问题,如分数阶(或离散分数阶、各类广义、单时滞、两时滞)Logisitc方程等.本文分析了分数阶两时滞广义Logistic方程,证明了其解的存在唯一性以及解的导函数属于1L,并利用改进的Adams-Bashforth-Moulton预估校正算法求得其数值解.这些研究增加了Logistic方程类型,同时给出了解的存在唯一性的严格理论分析,并为分数阶两时滞方程的数值求解提供了程序代码.该程序也可用于求解其他两时滞分数阶方程,或推广应用到求解更多时滞的分数阶方程情形.参考文献:1 Rida S Z,Farghaly A A,Azoz S A,et al.Global Stability of a delayed fractional-order SEI epidemic model with logistic growthJ.Applied Mathematics&Information Sciences,2021,15(1):112.2 袁利国.分数阶时滞广义 Logistic 方程解的研究J.中山大学学报(自然科学版),2014,53(2):4448.3 El-Sayed A M A,El-Mesiry A E M,El-Saka H A A.On the fractional-order logistic equationJ.Applied Mathematics Letters,2007,20:817823.4 El-Sayed A M A,El-Saka H A A,El-Maghrabi E M.On the fractional-order logistic equation with two different delaysJ.Zeitschrift fur Naturforschung A,2011,66(3-4):223227.5 Area I,Nieto J J.Power series solution of the fractional logistic equationJ.Physica A,2021,573:125947.1125947.9.6 霍 冉,王晓丽,吴国荣.一类分数阶时滞微分方程解的存在唯一性J.内蒙古农业大学学报(自然科学版),2014,35(5):167169.7 刘丽琼,钟守铭,索 宇.线性分数阶多时滞系统的解的存在唯一性J.西南民族大学学报(自然科学版),2011,37(5):719721.8 李 帅,张志信,蒋 威.分数阶时滞微分方程边值问题解的存在性与唯一性J.工程数学学报,2021,38(5):700708.9 Pan F,X Cui,Xue D.Stability analysis of a fractional-order delay Logistic model with feedback controlC/2020 Chinese Control And Decision Conference,Washington:IEEE Press,2020:38713875.10 Yuan L G,Yang Q G,Zeng C B.Chaos detection and parameter identification in fractional-order chaotic systems with delayJ.Nonlinear Dynamics,2013,73:439448.11 Wang D P,Yu J B.Chaos in the fractional order Logistic delay systemJ.Journal of Electronic Science and Technology of China,2008,6(3):289293.12 李顺异,熊 梅,唐兴芸.两时滞广义 Logistic 模型的 Hopf 分支与混沌J.纯粹数学与应用数学,2021,37(3):294305.13 Podlubny I.Fractional differential equations:An introduction to fractional derivatives,fractional differential equations,to methods of their solution and some of theirapplicationsM.New York:Academic Press,1998.14 时 宝,张德存,盖明久.微分方程理论及其应用M.北京:国防工业出版社,2005.15 Diethelm K,Ford N J,Freed A D.A predictor-corrector approach for the numerical solution of fractional differential equationsJ.Nonlinear Dynamics,2002,29:322.16 Bhalekar S,Daftardar-Gejji V.A predictor-corrector scheme for solving nonlinear delay differential equations of fractional orderJ.Journal of Fractional Calculus and Applications,2011,1(5):19.