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第一章《有理数》知识点
有理数的分类

分数：有限小数，无限循环小数，百分数。特别的，不是有理数。
一、基本概念
1、正数与负数
①表示大小 ②在实际中表示意义相反的量：上升5米记为5； -8则表示下降8米。
③带“-”号的数并不都是负数，如-a可以是正数、负数或0.
④0既不是正数也不是负数。0是整数，也是自然数。
例.某圆形零件的直径要求是（30±0.1mm），下表中6个已生产出来的零件圆孔直径的检测结果：（以30mm为标准）
序号
1
2
3
4
5
6
误差mm
+0.08
-0.06
+0.14
-0,04
-0.09
-0.2
(1) 哪些为不合格产品？
(2) 哪些零件的误差最小？

2、数轴
(1)三要素：原点、正方向、单位长度;
(2)数轴上的点与有理数：①数轴上的点与有理数一一对应 ②右边的数＞左边的数;
(3)数轴上任意两点a,b间的距离为：.
例1：数轴上的两点A、B分别表示－6和－3，那么A、B两点间的距离是 （ ）
A、－6+(－3) B、－6－(－3) C、|－6+(－3)| D、|－3－(－6)|
例2数轴上表示整数的点称为整点某数轴的单位长度为1cm，若在数轴上随意画出一条长2005cm长的线段AB，则线段AB盖住的的整点有（ ）个
A、2003或2004 B、2004或2005； C、2005或2006； D、2006或2007
3、相反数
①只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，0的相反数是0 ②a的相反数-a
③a与b互为相反数：a+b=0 ④a-b的相反数是：-a+b或b-a
⑤a+b的相反数是：-a-b ⑥求一个数的相反数方法：在这个数的前面加“-”号.
⑦在数轴上，表示相反数的两个点位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。
例：（- 2）2004+（- 2）2005=

4、绝对值
①一般地，数轴上表示数a的点与原点距离，表示成｜a｜。
几何意义：从数轴上看，一个实数的绝对值是表示这个数的点离开原点距离。
a （a≥0） 绝对值是它本身的数是非负数（正数和0）
②｜a｜= -a （a≤0） 绝对值是它相反的数是非正数（负数和0）
其它简单变形：｜a+b｜=a+b,则a+b 为正数
例 若｜-2a｜=-2a,则a 为：
③|a|是重要的非负数，即|a|≥0;注意：|a|·|b|=|a·b|；

例1：若ab≠0,则的取值不可能是（     ）
A   0   B    1    C  2     D   -2
例2：如果有理数a,b满足∣ab－2∣+(1－b)2=0，试求
的值。

5、倒数
①乘积是1的两个数叫作互为倒数。 ②a的倒数是（a≠0）
③a与b互为倒数 ab=1 ④正数的倒数还是正数，负数的倒数还是负数，0没有倒数。
6、等价变形
(1)自然数：0和正整数; (2)a>0，a是正数；a>0，a是负数
(3)
(4)
7、本身
①倒数是它本身的数是±1 ②绝对值是它本身的数是非负数（正数和0）
③平方等于它本身的数是0，1 ④立方等于经本身的数是±1，0
⑤偶数次幂等于本身的数是0、1 ⑥奇数次幂等于本身的数是±1，0
⑦相反数是它本身的数是0
8、数之最
①最小的正整数是1 ②最大的负整数是-1 ③绝对值最小的数是0
④平方最小的数是0 ⑤最小的非负数是0 ⑥最大的非正数0
⑦没有最大和最小的有理数 ⑧没有最大的正数和最小的负数
9、乘方
①求几个相同因数的积的运算叫做乘方 ②底数、指数、幂
10、科学记数法
①把一个绝对值大于10的数表示成（其中1≤｜a｜＜10，n为正整数）
②指数n与原数的整数位数之间的关系。(n=原数的整数位数-1)
例：在数－5.745，－5.75，－5.738，－5.805，－5.794，－5.845这6个数中精确到十分位得－5.8的数共有（ ）
A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
11、近似数与有效数字
①准确数、近似数、精确度
精确到万位
②精确度 精确到0.001
保留三个有效数字
③近似数的最后一位是什么位，这个数就精确到哪位。
④如何求较大数的近似数，有两种方法，一种用单位，一种用科学记数法
例1：3.4030×105保留两个有效数字是 ，精确到千位是 。
例2.．数a四舍五入后的近似值为3.1, 则a的取值范围是( )
(A) 3.05≤a＜3.15 　　　 (B) 3.14≤a＜3.15
(C) 3.144≤a≤3.149 　　　(D) 3.0≤a≤3.2
二、有理数的运算
1、运算种类有哪些？ 运算
2、运算法则（先确定符号，再确定绝对值）；
(1)有理数加法法则：
①同号两数相加，取相同的符号,并把绝对值相加.
②绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
互为相反数的两个数相加得0.
③一个数同0相加，仍得这个数
(2)有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数。用公式表示为： a-b=a+(-b)
(3) 有理数乘法法则：
①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数与0相乘，积仍为0
②几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个数时，积为负数；当负因数有偶数个数时，积为正数。并把其绝对值相乘。
例：（-10）×〔-5〕×（-0.1）×（-6)=积为正数，而（-4）×（-7）× (-25）=积为负数
(4) 有理数除法法则：
法则一、除以一个不等于0的数等于乘以这个数的倒数。（注意：0没有倒数）
公式：a÷b=a×1/b
法则二、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。（0除以任何一个非0的数，都得0） 公式：a÷b=a×1/b（b≠0)
(5) 有理数乘方法则：
①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；
②正数的任何次幂都是正数； ③0的任何正整数次幂都是0
3、简便运算
除法利用分配率的前提是可以转化为（a+b）c的形式，一般除法不能利用分配率.
(1) （2）
（3） （4） （5）- 19 ×6
4、混合运算顺序
①三级（乘方）二级（乘除）一级（加减）；
②同一级运算应从左到右进行；
③有括号的先做括号内的运算；
④能简便运算的应尽量简便运算。

第一章分类知识点
一．绝对值专项练习
遇见绝对值，一般要用到讨论法，3种情况：正号，负号，0.
1.若|-x|=10，则x=
2.化简|x-10|， 化简|x-1|-|x-3|
3．若ab<0，则( )
A.a<0,b<0 B a>0,b<0 C a<0,b>0 D ab<0
4. 已知1<x<2,试确定 的值。

5. 小知识点汇总： 
    若,则x=a,y=b ；       若,则x=a,y=b；      
若|x-a|+|y-b|=0，则x=a,y=b
练习：若3|x-2|+|y+3|=0，则的值是多少?
6.若x>0x，y<0，求的值。

7.绝对值最小问题
(1)｜a｜：数轴上表示数a的点与原点的距离；数轴上任意两点a,b间的距离为：.
(2) 的最小值； -3的最小值？

(3)x取值多少时，有最小值？

(4) )x取值多少时，有最小值？

(5) x取值多少时，有最小值？

结论：的最小值？
当n为奇数时, 时原式有最小值；
当n为偶数时, 时原式有最小值.

二．新运算题专项练习
1. 规定a﹡b=5a+2b-1,则(-4)﹡6的值为               。

2.对于任意非零有理数a、b，定义运算如下：
求的值。

3．规定a﹡b=ab,则(-2)﹡6﹡2的值为

4．按图所示程序进行计算,并把各次结果填入表内：

三．规律题专项练习
1.观察下面一列数的规律并填空：0，3，8，15，24，_______.

2.1+(-2)+3+(-4)+5+(-6)+7+(-8)+……+2005=___________

3.(-1)+(-1)2+(-1)3+……+(-1)2005=__________________；
A、-2005 B、2005 C、-1 D、1
4. 已知a=25,b= -3,则a99+b100的末位数字是              
5..（1+3+5+7+……+2005）-（2+4+6+8+……+2004）=________
6、观察下面的数（式）的排列规律，写出它后面的数（式）：
①－1，3，－9，27， ， ，…。
② 2+＝22×,3+=32×,4+=42×, ,….
7.议一议,观察下面一列数，探求其规律：
-1，，-，，-，……
1) 填出第7，8，9三个数； ， ， .
2) 第2008个数是什么？如果这一列数无限排列下去，与哪个数越来越接近？

8、有四个数：3，4，－6，10，将每个数只用一次进行加减乘除混合运算（可含有括号），使其结果等于24，请写出两个这样的运算式子

9、观察下面的数（式）的排列规律，写出它后面的数（式）：
①－1，3，－9，27， ， ，…。
② 2+＝22×,3+=32×,4+=42×, ,….
10.让我们做一个数字游戏：
第一步：取一个自然数n1=2 ，计算n12+1得a1；
第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22+1得a2；
第三步：算出a2的各位数字之和得n3，再计算n32＋1得a3；…………
依此类推，则a2008=_______________．
11.按如图所示的模式，在第四个正方形内填入的数字。
-1 -2 -1 -3 -1 -4 -1 -5
73
136
34

-4 -3 -5 -4 -6 -5 -7 -6
12、观察数表：

根据其中的规律，在数表中的方框内填入适当的数.
四．经典题型讲解
1．在数轴上，A点和B点所表示的数分别为－2和1，若使A点表示的数是B点表示的数的3倍，应把A点 （ ）
A.向左移动5个单位 B.向右移动5个单位
C.向右移动4个单位 D.向左移动1个单位或向右移动5个单位

2.小明的家、学校、书店依次坐落在一条东西走向的大街上，家在学校东面500米处，书店在学校西面200米处，小明从学校向东走了150米，又向东走了-350米，你能说出小明现在的位置吗？

3．已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，m的绝对值为2，求 -cd+m的值。

4.在数轴上，老师不小心把一滴墨水滴在画好的数轴上，如图所示，试根据图中标出的数值判断被墨水盖住的整数，并把它写出来。

5.一个病人每天下午需要测量血压，下表为病人周一到周五收缩压的变化情况，该病人上周日的收缩压为160单位．问：
(1)本周哪一天与上周日相比血压最高?哪一天最低?
(2)病人周五的血压是上升了还是下降了?
星 期
一
二
三
四
五
收缩压的变化(与前一天相比较)
＋30
－20
＋17
＋18
－20

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