改进序列二次规划算法用于轴对称非球面轮廓度误差评定 (1).pdf

第2 9卷第8期计算机集成制造系统V o l.2 9N o.82023年8月C o m p u t e r I n t e g r a t e dM a n u f a c t u r i n gS y s t e m sA u g.2 0 2 3D O I:1 0.1 3 1 9 6/j.c i m s.2 0 2 3.0 8.0 1 4收稿日期:2 0 2 2-0 4-0 6;修订日期:2 0 2 2-0 6-0 4。R e c e i v e d0 6A p r.2 0 2 2;a c c e p t e d0 4J u n e2 0 2 2.基金项目:国家自然科学基金资助项目(6 2 1 7 1 1 4 2);广东省自然科学基金资助项目(2 0 2 1 A 1 5 1 5 0 1 1 9 0 8)。F o u n d a t i o ni t e m s:P r o j e c ts u p p o r t e db yt h eN a t i o n a lN a t u r a lS c i e n c eF o u n d a t i o n,C h i n a(N o.5 1 6 7 5 2 9 9),a n dt h eG u a n g d o n gP r o v i n c i a lN a t u r a lS c i e n c eF o u n d a t i o n,C h i n a(N o.2 0 2 1 A 1 5 1 5 0 1 1 9 0 8).改进序列二次规划算法用于轴对称非球面轮廓度误差评定卓少木1,2,王 晗1,2+,姚洪辉1,2,张嘉荣1,2(1.广东工业大学 省部共建精密电子制造技术与装备国家重点实验室,广东 广州 5 1 0 0 0 6;2.广东工业大学 广东省微纳加工技术与装备重点实验室,广东 广州 5 1 0 0 0 6)摘 要:为了高效率、高精度的评定轴对称非球面零件,提出一种改进序列二次规划算法并结合非线性方程组牛顿迭代法来评定非球面的轮廓度误差。对于测量仪器检测时存在的设计坐标系与测量坐标系不重合的问题,使用坐标变换矩阵来消除测量坐标系存在的位置误差;针对非球面的特点,构建二元非线性方程组来表示非球面的投影点,并采用牛顿迭代法精准计算投影距离;为解决计算的复杂性,采用改进序列二次规划算法构建误差子问题求解,并利用拟牛顿法求解大规模无约束非线性问题。最后,对多种非球面镜片进行仿真和实验分析,并与最小二乘法和熵函数法对比。结果表明,所设计的算法有效提高了计算轮廓度误差过程中的数据处理效率和精度。关键词:光学非球面;轮廓度误差;序列二次规划;牛顿迭代法;最小区域准则中图分类号:T B 9 2;T P 3 9 1 文献标识码:AI m p r o v e ds e q u e n t i a l q u a d r a t i cp r o g r a mm i n ga l g o r i t h mf o ra x i s y mm e t r i ca s p h e r i cp r o f i l e e r r o r e v a l u a t i o nZHU OS h a o m u1,2,WANG H a n1,2+,Y A O H o n g h u i1,2,ZHANGJ i a r o n g1,2(1.S t a t eK e yL a b o r a t o r yo fP r e c i s i o nE l e c t r o n i cM a n u f a c t u r i n gT e c h n o l o g ya n dE q u i p m e n t,G u a n g d o n gU n i v e r s i t yo fT e c h n o l o g y,G u a n g z h o u5 1 0 0 0 6,C h i n a;2.G u a n g d o n gP r o v i n c i a lK e yL a b o r a t o r yo fM i c r o-N a n oM a n u f a c t u r i n gT e c h n o l o g ya n dE q u i p m e n t,G u a n g d o n gU n i v e r s i t yo fT e c h n o l o g y,G u a n g z h o u5 1 0 0 0 6,C h i n a)A b s t r a c t:T oe v a l u a t e t h ea x i s y mm e t r i ca s p h e r i c a l p a r t se f f i c i e n t l ya n da c c u r a t e l y,a ni m p r o v e ds e q u e n t i a lq u a d r a t i cp r o g r a mm i n ga l g o r i t h ma n dN e w t o n-R a p h s o nm e t h o do f n o n l i n e a r e q u a t i o n sw a sp r o p o s e d t oe v a l u a t e t h ep r o f i l e e r-r o ro fa s p h e r i c a lp a r t s.R e g a r d i n gt h ei s s u et h a tt h e d e s i g n c o o r d i n a t es y s t e m f a i l e dt o c o i n c i d e w i t ht h em e a s u r e m e n t c o o r d i n a t es y s t e mi nt h ed e t e c t i o no fm e a s u r i n g i n s t r u m e n t s,ac o o r d i n a t et r a n s f o r m a t i o nm a t r i xw a su s e dt o e l i m i n a t et h e p o s i t i o n e r r o ri nt h e m e a s u r e m e n tc o o r d i n a t es y s t e m.B i n a r y n o n l i n e a re q u a t i o n w a sc o n s t r u c t e dt or e p r e s e n t t h ep r o j e c t i o np o i n t so fa s p h e r i cs u r f a c eb a s e do ni t sc h a r a c t e r i s t i c sa n dN e w t o n-R a p h s o nm e t h o dw a sa p p l i e dt oa c c u r a t e l yc a l c u l a t e t h ep r o j e c t i o nd i s t a n c e.T h e i m p r o v e ds e q u e n t i a l q u a d r a t i cp r o g r a mm i n ga l g o r i t h m w a sa d o p t e dt oe s t a b l i s he r r o rs u b-p r o b l e ms o l u t i o nt os o l v et h ec o m p u t a t i o n a l i n t r a c t a b i l i t y,a n dQ u a s i-N e w t o nm e t h o dw a sa p p l i e dt os o l v e t h ep r o b l e mo f l a r g e-s c a l eu n c o n s t r a i n e dn o n l i n e a r.T h e s i m u l a t i o na n de x p e r i-m e n t a l a n a l y s i sw e r ep e r f o r m e dw i t hv a r i o u s a s p h e r i c l e n s e sa n dc o m p a r e dw i t ht h em e t h o d so f l e a s t s q u a r ea n de n-t r o p yf u n c t i o n.T h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t ss h o w e dt h a tt h e p r o p o s e d a l g o r i t h m e f f e c t i v e l yi m p r o v e dt h ed a t ap r o c e s s i n ge f f i c i e n c ya n da c c u r a c yw h e nc a l c u l a t i n gt h ep r o f i l ee r r o r.K e y w o r d s:o p t i c a l a s p h e r i c s u r f a c e;p r o f i l e e r r o r;s e q e n t i a l q u a d r a t i cp r o g r a mm i n g;N e w t o n-R a p h s o nm e t h o d;m i n i m u mz o n e第8期卓少木 等:改进序列二次规划算法用于轴对称非球面轮廓度误差评定0 引言非球面镜片由于其优越的光学性能,在光学系统中逐渐取代了传统的球面镜片,被广泛应用于数码相机、光学显微镜、医学成像等光学系统中,而能否对非球面镜片的轮廓度误差进行高效率、高精度的检测和计算,直接关系到产品的质量1-2。对于轮廓度误差的获取通常有两种常用的方法,即最小二乘法和最小区域法,最小二乘法拟合简单,因此大多数光学工程的研究人员和商业软件都采用最小二乘拟合 进 行 误 差 评 估3。但 该 计 算 方 法 与G B/T1 1 8 2和I S O1 1 0 1中轮廓度误差的定义并不一致,会导致轮廓度误差被严重高估,从而使光学元件被误判报废4。轮廓度误差是零件进行设计、制造和检测的关键环节,是数字化检测的主要项目5。近年来,不少学者致力于自由曲面、二次曲面等轮廓度误差评定研究,并取得了一定的成果6-9。文献6 在迭代最近点(I t e r a t i v eC l o s e s tP o i n t,I C P)配准的基础上,附加叶片模型配准区域的公差约束条件,并给出了基于遗传算法的叶片模型约束配准求解方法,结果显示其能有效地减少超差点数;文献7 使用差分进化算法对基于最小区域准则的圆度误差进行评价,实验表明采用差分进化算法可以获得比最小二乘法更精准的误差,相对于遗传算法,其拥有更高的计算效率;文献8 提出利用角度分割法来构建测量点到二次曲面的距离模型,之后利用改进的粒子群算法计算轮廓度误差,最后通过三坐标测量仪获取小型卫星抛物面上的3 6个点,利用上述算法求得轮廓度误差为0.5 4 39mm,与多种算法进行比较,显示求解结果优于其他评价算法;文献9 对获取的数据去除噪声,采用最近点迭代算法分离点云数据中位置误差的旋转量,并又以自适应粒子群算法分离位置误差的平移量,最后对点云进行基准变换后,计算点云与模型之间的偏差,该算法有效地分离了坐标系误差,获得了较为精准的轮廓度误差。上述智能算法非常强大,在大多数情况下可以获得全局最优解,但其计算速度慢,且结果不确定性较大,导致方程的解具有较高的不稳定性,不适合大规模、高精度的轮廓度误差计算。因此,有学者开始考虑利用逼近的方法来求解,如Z HANG等1 0通过内点法将极大值最小问题转化为约束可微优化问题,并采用牛顿法迭代求解约束极小化问题的拉格朗日函数,它为每个约束引入了一个权重因子,当数据点数量很大时,系统会出现数值不稳定现象;谭高山等1 1利用二阶可微的凝聚函数来逼近极大值最小问 题,并 利 用L-B F G S(L i m i t e d B r o y d e n-F l e t c h e r-G o l d f a r b-S h a n n o)对构建的二阶可微函数求解,算法可提供较高的计算精度,但二阶凝聚函数求解复杂,需要花费较多的时间逼近函数值;何改云等1 2和吕北生等1 3通过分割逼近的方法,计算点到求解曲面的距离,最后采用单纯形法来对构建的模型进行求解,该方法虽然操作简单、收敛速度快,但容易陷入局部极小,得不到最优解;HE等1 4提出一种基于小波 分 解 和 序 列 二 次 规 划(S e q u e n t i a lQ u a d r a t i cP r o g r a mm i n g,S Q P)的轮廓度误差计算方法,实现了对自由曲面扫描数据中的关键样本点提取,实验结果表明可以获得较高的精度,但由于采用普通的序列二次规划算法,容易陷入局部线性,耗费计算时间。针对传统的智能算法求解效率低和精度低,现有拟合算法求解时容易导致局部收敛、求解投影距离复杂的问题,本文提出一种快速、有效的非球面轮廓度误差评定方法。针对非球面旋转对称的特点,构建一种简单的投影距离求解方式,并利用改进的序列二次规划算法求解误差模型,实现非球面轮廓度误差的快速、精准计算。1 非球面轮廓度误差的定义非球面轮廓度误差的定义如图1所示,基于最小区域准则拟合得到的理想要素与被测要素的公差带,并将测量点到理论曲面的最大投影距离的两倍作为轮廓度误差,其对于光学元件的生产制造过程具有一定的指导意义。在计算轮廓度误差时,测量点与理论曲面之间存在微小的倾斜和偏移,导致拟合结果相对于标准非球面产生一个位置误差,因此需要将该误差考虑进轮廓度误差求解模型当中,使最终测量点与理想设计曲面对齐。对于轴对称曲面,如球面、非球面等,轮廓度的公差带可以定义为两个同心元件之间的径向间隔,7762计算机集成制造系统第2 9卷若仅考虑对称公差,则等效于最小化从数据点到拟合曲面的两倍最大投影距离1 5,即可以表述为:m i nm a xRTpi-qi=m i nm a x 2di(,tx,ty,tz),iEi|1,2,3,n。(1)式中:pi为测量的数据点;qi为剔除位置误差后的测量点在标准曲面上投影点;变换矩阵RT可由下式计算:RT(,tx,ty,tz)=c o s()-s i n()s i n()-c o s()s i n()tx0c o s()-s i n()tys i n()s i n(a)c o s()c o s()c o s()tz0001;(2)di(,tx,ty,tz)为测量点到非球面的投影距离;和分别为被测曲面绕X轴和Y轴的旋转量;tx、ty和tz分别为被测曲面沿着X轴、Y轴和Z轴的偏移量,由于非球面沿着Z轴旋转对称,沿着Z轴的旋转角无需考虑。从式(1)可以看出,求解非球面轮廓度误差的实质是计算最优投影距离并优化向量X=,tx,ty,tz,使目标函数取得最小值。为获取合适的公差带,需要确定非球面的数学表达式,表达式的选择将影响所求的最小区域范围。目前常用的非球面公式有:样条曲线1 6、切比雪夫多项式1 7、泽尼克多项式1 8等,而本文选取的是应用最广泛的二次曲面叠加高次项系数的形式:f(r)=r2R1+1-(1+k)r2R2+Mm=0a2m+4r2m+4。(3)式中:r=x2+y2为径向距离;a2m+4为高次项系数;R为非球面的曲率半径;k为圆锥常数,当k和高次项系数为0时,曲面则为球面。非球面透镜的最大尺寸Rm a x决定了径向距离r的大小,0 rRm a x。2 改进序列二次规划算法求解轴对称非球面轮廓度误差2.1 点到非球面的距离计算在求解式(1)时,需要计算每一个去除位置偏差的理想点到非球面的投影距离,常用的做法是利用分割逼近的方法求解,如网格逼近、角度逼近等,本文将根据非球面的特点,直接计算投影距离。由于非球面是一个轴对称曲面,其坐标轴可以用r=x2+y2来表示,对于旋转对称的非球面来说,三维投影点的问题可以看作是一个二元方程求解问题。如图2 a所示,通过将笛卡尔坐标系的理想点P(xp,yp,zp)转化为柱坐标系下的P(rp,p,zp),理想点即可用r z-平面和偏转角来表示。而投影点P(r,z)与理想点P位于同一平面上,因此实际在求解时,与无关,只需优化(r,z)两个参数。其中r=x2+y2,=a r c t a nyx。如图2 b所示,投影点Q必定落在非球面方程上,且测量点与投影点的连接线与非球面方程在该点的切线p l垂直,因此对于正交投影点Q(r,z)满足以下关系:F(r,z)=f(r)-z=0,G(r,z)=-1fr(r-rp)-(z-zp)=0。(4)式(4)中的f(r)为式(2)的非球面方程,利用非线性方程组牛顿迭代法,对式(4)进行迭代校正,即:rk+1=rk+F G z-G F zG rF z-F rG z,8762第8期卓少木 等:改进序列二次规划算法用于轴对称非球面轮廓度误差评定zk+1=zk+G F r-F G rG rF z-F rG z。(5)取迭代初始点为垂足点Qb(rb,zb),因为非球面轮廓的几何结构简单,所以总是可以收敛到极小值,通过对式(5)不断迭代求解,直到每一个理想点都满足条件Qk+1-Qk2,其中2一般为1 0-6。再将求得的投影点Q(r,z)转化为笛卡尔坐标系下的Q(x,y,z)。其中x=rc o s(),y=rs i n()。2.2 轮廓度误差计算S Q P算法是求解中小规划约束最优化问题的一类有效算法,其将初始的非线性规划问题拆分为一系列二次规划的子问题,通过对子问题的求解,获得下降方向,下降步长由罚函数决定,循环迭代逼近最优解。一般的S Q P子问题如式(6)所示:m i n1/2hT2f(X)h+f(X)Th。s.t.g(X)Th+g(X)0;c(X)Th+c(X)=0。(6)对于传统的S Q P模型,存在两个缺点:当子问题的系数矩阵是奇异时,二次规划子问题的一致性并不总是成立;当迭代次数足够多时,会出现M a r a t o s效应,因此算法无法收敛到最优值1 9-2 0。考虑式(1)的误差模型并结合式(6),本文在当前迭代点处采用以下二次规划子问题:m i nz+1/2hTB h=(h,z)。s.t.di(X)Th-zG(X)-di(X),iE。(7)式中B是一个黑塞矩阵,可以利用拟牛顿法中的B F G S(B r o y d e n-F l e t c h e r-G o l d f a r b-S h a n n o)算法近似求解,该算法仅需计算函数值和梯度,具有很好的数值稳 定 性 和 很 高 计 算 效 率。h为 搜 索 步 长,d(X)为式(1)中的距离函数,G(X)为最大投影距离的两倍。与一般光滑S Q P方法中的二次子问题不同,因为(0,0)在式(7)中的可行域内,所以该子问题总是会有一个解。虽然上述模型解决了一致性的问题,但当迭代次数多、数据量大时,仍会出现M a r-a t o s效应。因此,在上述子问题求解的h无法被接受时,采用二阶校正的方法:m i nz+1/2(h+h)TB(h+h)=(h,z)。s.t.di(X)Th-zG(X+h)-di(X+h),iE。(8)为保证算法的超线性收敛,当所求解的步长h也无法接受,则在该点执行直线或曲线搜索,直到满足以下条件:G(X+tkh+t2kh)Ck-tkhTB h。(9)式中(0,1/2),h和h为式(7)和式(8)中的解,Ck为G(X)的 加 权 平 均 值。当 求 得 的hh时,令h=0。算法流程如图3所示,详细步骤描述如下:步骤1 给定迭代的初始值X0R;并设定0m i nm a x1,(0,0.5),(0,1),给定初始值C0=G(X0),Q0=1,B0=I,k=0,给定终止条件km a x=1 0 0,=1 0-8。步骤2 求解式(7),得到(hk,zk)及其拉格朗日乘子i,此时如果hk,则结束循环。否则进入S t e p 3;步骤3 计算非单调线性搜索的方向:pk=G(Xk+hk)-Ck+hTkBkhk,如果pk0,则令tk=1,hk=0,转步骤6;否则进入步骤4;步骤4 求解式(8),得到(hk,zk),若hh,则令hk=0;新的搜索方向:pk=G(Xk+hk+hk)-Ck+(hk+hk)TBk(hk+hk),如果pk0,则tk=1,转步骤6;否则进入步骤5;步骤5 利用式(9)执行曲线搜索,其中tk的取值为1,2,搜索完成后,令tk=m;步骤6 更新sk=tkhk+t2kh,Xk+1=Xk+sk,yk=ni=1i(di(Xk+1)-di(Xk);步 骤7 令k(m i n,m a x),更 新Qk+1,Ck+1,Bk+1:Qk+1=kQk+1,Ck+1=(kQkCk+G(Xk)/Qk+1,k=1,yTksk0.2sTkBksk0.8sTkBksksTkBksk-yTksk,e l s e,yk=kyk+(1-k)Bksk。Bk+1=Bk-(BksksTkBk)/(sTkBksk)+(ykyTk)/(sTkyk),k=k+1;返回步骤2。9762计算机集成制造系统第2 9卷3 实验3.1 仿真实验为了评估算法的性能,本文通过表1中的理想非球面系数生成仿真数据,对非球面数据施加一定的误差(如表2),并与文献2 1 的最小二乘法和文献2 2 的熵函数法进行对比。所使用的仿真程序均是由MAT L A BR 2 0 2 0 b编写,并在AMDR 5 8 0 0 H,1 6 G BR AM和3.2GH z的电脑上运行,并且程序的初值均为X0=0,0,0,0,0。表1 镜片的系数非球面系数非球面系数R-1 8.5 8 99 9e8-3.3 7 1 8 9 e-8K1.1 1 43 8 6e1 06.0 2 0 1 3 4 8 e-1 0e4-1.6 6 8 3 6 7 7 e-5e1 2-2.2 4 6 9 3 9 5 e-1 2e61.0 6 8 0 6 5 2 e-7e1 4-4.1 9 1 2 5 9 4 e-1 4表2 仿真参数设置序号旋转角度/()平移距离/mm1(0,0)(1,1,1)2(3,3)(0,0,0)3(3,3)(1,1,1)4(1,1)(3,3,3)表3给出了各算法的求解结果与理论值的差值。当非球面的测量数据中只存在部分位置误差时,各算法都可以对误差精准校正,并不由于存在部分误差时,产生早熟的现象。从表3的计算数据中可以看出,本文的算法对于轮廓度误差的计算至少可以收敛到1 0-1 0mm,具有较高的收敛精度;而熵函数法和最小二乘法在未叠轮廓度误差的情况,收敛精度与本文算法相近,但在第一组中,两种算法的拟合精度都比本文所提出的算法低。0862第8期卓少木 等:改进序列二次规划算法用于轴对称非球面轮廓度误差评定表3 各算法求解结果与理论值的差值求解算法序号旋转误差/()平移误差/mm轮廓度误差/mm最小二乘法1(-1.1 e-0 8,-8.9 e-0 9)(2.5 e-0 9,3.0 e-0 9,3.5 e-1 0)2.1 e-1 02(6.5 e-0 8,4.9 e-0 8)(-1.4 e-0 8,-1.9 e-0 8,8.7 e-1 3)1.2 e-0 93(2.2 e-0 9,1.7 e-0 9)(-3.8 e-1 0,-4.9 e-1 0,9.8 1 e-1 2)2.3 e-1 04(4.1 e-0 9,3.3 e-0 9)(-8.1 e-1 0,-9.9 e-1 0,-3.9 e-1 0)7.7 e-1 1熵函数法1(-2.4 e-0 8,-2.0 e-0 8)(5.6 e-0 9,6.6 e-0 9,7.6 e-1 0)4.7 e-1 02(-1.3 e-9,6.6 e-1 0)(-1.8 e-1 0,-3.3 e-1 0,8.8 e-1 1)2.1 e-1 03(1.2 e-0 8,8.4 e-0 9)(-2.4 e-0 9,-3.4 e-0 9,-3.5 e-1 0)3.3 e-1 04(1.4 e-0 8,1.2 e-0 8)(-2.9 e-0 9,-3.3 e-0 9,-1.3 e-0 9)2.7 e-1 0本文算法1(-3.0 e-1 0,-1.4 e-1 0)(3.6 e-1 1,8.2 e-1 1,5.6 e-1 2)7.6 e-1 22(-3.1 e-0 8,-3.6 e-0 8)(1.1 e-0 8,8.1 e-0 9,-1.5 e-1 0)9.8 e-1 03(1.8 e-0 8,3.2 e-0 8)(-8.8 e-0 9,-4.7 e-0 9,-7.9 e-1 0)5.2 e-1 04(-2.2 e-0 9,1.6 e-0 9)(-4.0 e-1 0,4.8 e-1 0,2.8 e-1 1)3.3 e-1 1 为了进一步验证各个算法的鲁棒性,本文对表1的非球面参数生成1 0 00 0个数据点(如图4 a),并对生成的标准非球面绕X轴旋转3,绕Y轴旋转3,并 沿 着X轴 偏 移0.5 mm,沿 着Y轴 偏 移0.5mm和沿着Z轴偏移0.5mm来模仿非球面测量时存在的位置 误差,并叠加 一个布朗误 差(如图4 b)来模仿非球面镜片由于加工等因素产生的轮廓度误差,其中布朗误差的赫斯特指数取0.92 1,最终生成包含各项误差的面型如图4 c所示,再利用各算法进行校正,求解结果如表4所示,图4 d为本文算法求解后的残余误差。1862计算机集成制造系统第2 9卷表4 叠加误差后的各算法的求解结果求解参数理论值最小二乘法熵函数法本文算法/()32.9 9 99 9 98 6 98 5 42.9 9 99 9 99 9 36 2 33.0 0 00 0 00 0 33 8 0/()32.9 9 99 9 99 0 19 3 92.9 9 99 9 99 9 43 6 92.9 9 99 9 99 9 80 2 9tx/mm0.50.5 0 00 0 00 2 82 0 20.5 0 00 0 00 0 17 1 70.5 0 00 0 00 0 04 8 2ty/mm0.50.5 0 00 0 00 3 72 4 00.5 0 00 0 00 0 19 3 60.4 9 99 9 99 9 89 9 2tz/mm0.50.4 9 99 8 99 9 26 3 80.5 0 00 0 01 1 99 1 70.5 0 00 0 00 2 25 4 8轮廓度误差/mm1.7 5 3 3 3 5 4 7 8 e-0 31.7 7 3 0 0 7 4 4 9 e-0 31.7 5 3 5 0 0 0 1 5 e-0 31.7 5 3 2 9 1 1 8 5 e-0 3 由表4可知,当叠加了位置误差和轮廓度误差后,熵函数法和本文算法的精度有所下降,但仍能达到纳米级精度。这种误差产生的原因可能是由于算法在优化时,存在更优的解,导致算法提前收敛。而最小二乘法在叠加轮廓度误差后精度下降严重,收敛精度只能达到1 0-5mm,这在高精度的镜片误差评定时,可能会导致镜片被误判剔除。3.2 实测镜片验证本文最终选取3枚非球面镜片进行测量验证,系数如表5所示。这些非球面镜片的最大斜率分别为5.5 6,3 0.1 4,1.4 5 ,曲率半径在的变化在1 44 4mm之间。使用松下生产的超高精度三坐标测量机UA 3 P-4 0 0 T进行测量(如图5),其测量的分辨率为0.3n m,测量的精度取决于测量物体的斜率,一般为5 08 0n m。表5 三枚非球面镜片系数非球面系数J 1J 2J 3R3 2.8 4 28 61 4.6 5 89 4-4 3.5 3 37 2K1 2.5 3 96 62.8 1 57 9 44 0.6 2 53e4-0.0 0 01 4 53 3 89-7.4 3 3 5 6 0 6 e-5 0.0 0 01 4 54 2 99 6e6-3.3 0 0 4 6 3 3 e-7-2.2 2 6 0 9 9 8 e-61.6 2 5 2 1 8 2 e-6e8-2.5 1 9 7 9 1 8 e-89.3 7 6 6 8 3 5 e-8-6.5 0 3 9 5 5 6 e-8e1 04.5 4 9 8 5 8 9 e-1 0-4.2 7 2 8 9 7 7 e-96.3 2 9 6 2 2 7 e-9e1 2-2.8 9 4 2 7 7 7 e-1 2 7.8 1 5 1 1 2 5 e-1 1-2.0 1 5 7 7 4 8 e-1 0e1 4-1.6 9 9 4 4 7 e-1 4-6.3 0 4 3 5 1 4 e-1 3 2.6 1 1 9 9 3 9 e-1 2使用本文的算法、文献2 1 的最小二乘法和文献2 2 的熵函数法进行计算,迭代的过程和结果如表6和图6所示。对于高精度的非球面镜片来说,几十纳米的误差通常都是不可接受的,与采用最小二乘法求解的结果相比,本算法的求解结果明显小于最小二乘法,精度提高了约1 2.0 2%2 7.7 3%,其中J 3镜片的求解结果误差达到2 6 6.5 1n m,远超出了高精度镜片的允许公差。其原因是最小二乘法采用二范数最小优化求解参数,与轮廓度误差的定义并不一致,因此会高估求得的轮廓度误差。表6 不同算法的拟合结果对比镜片型号最小二乘法熵函数法本文算法轮廓度误差/n mJ 17 8 3.9 96 8 9.8 06 8 9.6 9J 22 7 1.8 82 2 1.0 82 2 1.0 6J 39 6 0.8 56 9 4.4 36 9 4.3 4运行时间/sJ 10 00.4 70 04.3 00 00.3 3J 20.4 86.7 20.7 2J 30.4 64.2 80.5 8与同是基于最小区域准则的熵函数法相比,在获得 差 不 多 的 精 度 下,本 文 的 计 算 时 间 只 有 其7.6 7%1 3.5 5%,这是因为采用熵函数法时,需要确定合适的初值,不断迭代求解所使用的凝聚函数,并更新复杂的求解梯度,以至于在求解大规模数据时,通常都需要大量的时间。由此可见,采用本文所提出的改进序列二次规划算法,能够实现非球面的位姿匹配和轮廓度误差快速精准计算。2862第8期卓少木 等:改进序列二次规划算法用于轴对称非球面轮廓度误差评定4 结束语本文根据非球面的特点,结合非线性方程组牛顿迭代法和改进序列二次规划算法,提出针对任意位姿满足最小条件的轮廓度误差评定方法。该方法直接计算投影距离和利用二次规划求解各个子问题,实现测量数据和理论模型的精确配准。实验结果显示:本文所提出的算法精度相较于最小二乘法提高了1 2.0 2%2 7.7 3%,跟同样基于最小区域准则的熵函数法相比,执行时间只有其7.6 7%1 3.5 5%,表明本文的算法在保证精度的前提下,计算速度相较于其他算法具有明显的优势。理论上本文的算法也可以扩展到其他复杂曲面中,因此,可以为以后的高精度制造在线检测和三坐标测量机的数据处理分析提供理论基础。后续将在本文提出的非球面轮廓度误差评定算法的基础上,深入分析自由曲面的投影距离求解模型,进一步把本文的算法拓展到自由曲面的轮廓度误差评定中,为以后的高精度制造在线检测和三坐标测量机的数据处理分析提供理论基础。参考文献:1 F AN GFZ,Z HAN GXD,WE C K E NMANNA,e t a l.M a n u f a c-t u r i n ga n dm e a s u r e m e n to ff r e e f o r mo p t i c sJ.C I R P A n n a l s-M a n u f a c t u r i n gT e c h n o l o g y,2 0 1 3,6 2(2):8 2 3-8 4 6.2 A D AM SD,AME N T S.U n d e r s t a n d i n ga s p h e r i cl e n s e s:K e ys p e c i f i c a t i o n sa n dt h e i ri m p a c to np e r f o r m a n c eJ.O p t i k&P h o t o n i k,2 0 1 8,1 3(4):6 0-6 3.3 T ANG,Z HAN GL,L I US,e ta l.Af a s ta n dd i f f e r e n t i a t e dl o-c a l i z a t i o nm e t h o df o rc o m p l e xs u r f a c e s i n s p e c t i o nJ.I n t e r n a-t i o n a lJ o u r n a lo fP r e c i s i o n E n g i n e e r i n ga n d M a n u f a c t u r i n g,2 0 1 5,1 6(1 3):2 6 3 1-2 6 3 9.4 T ANG a o s h a n,Z HANGL i y a n,L I US h e n g l a n.M i n i m u mz o n ee n v e l o p i n gr e g i s t r a t i o nm e t h o d f o r e r r o r e s t i m a t i o no f c o m p l e xs u r f a c e sJ.C o m p u t e rI n t e g r a t e d M a n u f a c t u r i n g S y s t e m s,2 0 2 0,2 6(2):4 4 9-4 5 4(i nC h i n e s e).谭高山,张丽艳,刘胜兰.复杂曲面误差评估的最小区域包容配准算法J.计算机集成制造系统,2 0 2 0,2 6(0 2):4 4 9-4 5 4.5 WE NX i u l a n,Z HAOY i b i n g,WANGD o n g x i a,e t a l.E v a l u a t i n gf r e e f o r mc u r v ep r o f i l ee r r o rb a s e do ni m p r o v e dg e n e t i ca l g o-r i t h ma n dq u a s i r a n d o ms e q u e n c eJ.O p t i c sa n dP r e c i s i o nE n-g i n e e r i n g,2 0 1 2,2 0(4):8 3 5-8 4 2(i nC h i n e s e).温秀 兰,赵艺兵,王东霞,等.改进遗传算法与拟随机序列结合评定自由曲线轮廓度误差J.光学精密工程,2 0 1 2,2 0(4):8 3 5-8 4 2.6 J I N GS h i k a i,C HE N G Y u n y o n g,Z HAN G D i n g h u a,e ta l.T o l-e r a n c ez o n ec o n s t r a i n e da l i g n m e n tm e t h o df o rt u r b i n eb l a d em o d eJ.C o m p u t e rI n t e g