梯形与重心专题.doc

梯形与重心
知识点一：梯形
　　要点诠释：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形。
知识点二：等腰梯形
　　要点诠释：两腰相等的梯形叫等腰梯形。
知识点三：直角梯形
　　要点诠释：有一个角是直角的梯形叫直角梯形。
知识点四：等腰梯形的性质
　　要点诠释：1.等腰梯形同一个底上的两个角相等。
　　　　　　　 2.等腰梯形的对角线相等。
知识点五：等腰梯形的判定
　　要点诠释：1.梯形的定义。
　　 　　　　　2.同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
知识点六：四边形的分类
　　要点诠释：

知识点七：线段、三角形、平行四边形的重心
　　要点诠释：
　　1、线段的中点是线段的重心；三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心；平行四边形
　 　　对角线的交点是平行四边形的重心。
　　2、三角形重心的性质：三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。
三、规律方法指导
　　知识点回顾：
　　1、几种特殊梯形的定义、性质、判定方法和面积公式：
类别
定义
性质
判定
面积公式
梯形
一组对边平行而另一组对边不平行的四边形
中位线平行于两底且等于两底和的一半
根据定义判定
两底之和与高的乘积的一半或中位线与高的乘积
等腰梯形
两腰相等的梯形
1. 两腰相等；
2. 同一底上的两角
　 相等；
3. 两条对角线相等
4. 等腰梯形是轴对
　 称图形
1. 根据定义判定；
2. 同底两角相等的梯形。
直角梯形
一腰垂直于底的梯形
具有梯形的一切性质
根据定义判定

　　2．梯形问题常常是通过作辅助线转化为特殊的平行四边形及三角形问题加以研究，一些常用的辅助线做法是：

方法
作法
图形
目的
平
移
平移一腰
过一顶点作一腰的平行线

分解成一个平行四边形和一个三角形
过一腰中点作另一腰的平行线

构造出一个平行四边形和一对全等的三角形
平移对角线
过一顶点作一条对角线的平行线

构造出平行四边形和一个面积与梯形相等的三角形
作高
过一底边的端点作另一底边的垂线

构造出一个矩形和两个直角三角形；特别对于等腰梯形，两个直角三角形全等
延
长
延长两腰
延长梯形的两腰使其交于一点

构成两个形状相同的三角形
延长顶点和一腰中点的连线
连接一顶点和一腰的中点并延长与底边相交

构造一对全等的三角形，将梯形作等积变换
类型一：梯形中的辅助线
　　1、（平移一腰）已知等腰梯形的锐角等于，它的两底分别是和，求它的腰长
　　思路点拨：已知：如图，在梯形ABCD中，，，.
　　　　　　　 求：AB的长.
　　解析：过点A作交BC于E，
　　　　　∵四边形ABCD是等腰梯形，
　　　　　∴AD∥BC
　　　　　又∵，
　　　　　∴四边形AECD是平行四边形.
　　　　　∴
　　　　　∵
　　　　　∴
　　　　　∵
　　　　　∴是等边三角形.
　　　　　又∵，
　　　　　∴
　　　　　∴
　　举一反三：
　　【变式1】（平移对角线）已知梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为_____________
　　【答案】梯形ABCD中，AD∥BC，BD⊥BC．设AD=x，BC=y，DB=z，
　　　　　　 由题得：x+y+z=16，
　　　　　　 ，（熟记梯形面积公式）
　　　　　　 解得x+y=8，z=8，
　　　　　　 过D作DE∥AC交BC的延长线于E．
　　　　　　 ∴四边形ADEC是平行四边形，（注意这种辅助线的作法很常用）
　　　　　　 ∴DE=AC，AD=CE．（将“上底+下底”转化到一条线段上）
　　　　　　 在Rt△DBE中，∠DBE=90°，BE=BC+CE=x+y=8，BD=8，
　　　　　　 根据勾股定理得，
　　　　　　 ∵AC=DE，
　　　　　　 ．
　　【变式2】（过顶点作高）已知AB=BC，AB∥CD，∠D=90°，AE⊥BC．求证：CD=CE．
　　【答案】分析：这是一个直角梯形，通过作CF⊥AB，可以将梯形分成矩形和直角三角形，结合直角梯形的性质，利用两次全等，达到证明CD=CE的目的．
　　证明：如图，连结AC，过C作CF⊥AB于F．
　　　　　在△CFB和△AEB中，　　（这是直角梯形中常见的辅助线）

　　　　　∴△CFB≌△AEB（AAS）
　　　　　∴CF=AE．
　　　　　∵∠D=90°，CF⊥AB且AB∥CD，
　　　　　∴AFCD是矩形
　　　　　∴AD=CF，
　　　　　∴AD=AE．
　　　　　在Rt△ADC和Rt△AEC中，

　　　　　∴Rt△ADC≌Rt△AEC（HL）
　　　　　∴CD=CE．
　　【变式3】（延长两腰）如图，在梯形中，，，、为、的中点。

　　求证：
　　【答案】如图，延长，相交于点，连结，.
　　　　　　 ∵
　　　　　　 ∵、为、的中点，∴，
　　　　　　 ∴，
　　　　　　 ∵ ∴ ∴
　　　　　　 ∴、、三点共线
　　　　　　 ∴
　　【变式4】（过一腰中点作底边平行线——构造中位线）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC的平分线过CD的中点E．

　　求证：AD＋BC=AB．
　　【答案】证明：过E作EF∥BC交AB于F，则EF∥BC∥AD，
　　　　　　　　　∵E是CD的中点
　　　　　　　　　∴EF为梯形ABCD的中位线,∠2=∠3
　　　　　　　　　∴AD＋BC=2EF，AF=FB
　　　　　　　　　∵∠1=∠2，
　　　　　　　　　∴∠1=∠3，则BF=EF．
　　　　　　　　　∴BF=EF=AF
　　　　　　　　　∴2EF=BF+AF=AB
　　　　　　　　　∵AD＋BC=2EF
　　　　　　　　　∴AD＋BC=AB．

　　【变式5】如图，E是梯形ABCD中腰DC上的中点，

　　【答案】证明：过E作MN∥AB交BC于N，交 AD的延长线于M，则四边形ABNM是平行四边形．
　　　　　　　　　∵△ABE与□ABNM同底同高，

　　　　　　　　　∵∠1=∠C，∠M=∠2，DE=CE，
　　　　　　　　　∴△EMD≌△ENC．
　　　　　　　　　∴S□ABNM=S梯形ABCD

类型二：不添加辅助线（多数与全等、面积、梯形中位线有关系）
　　1、已知：如图，四边形ABCD为矩形，四边形ABDE为等腰梯形，。
　　求证：

　　解析：∵四边形ABCD为矩形，
　　　　　∴
　　　　　∵四边形ABDE为等腰梯形，且为其对角线，
　　　　　∴
　　　　　在和中，，
　　　　　又，∴
　　举一反三：
　　【变式1】如图，已知：在梯形ABCD中，，AC、BD相交于点O.
　　　　　 　求证：.

　　【答案】∵，
　　　　　 　∴A、D两点到BC的距离相等.
　　　　　 　即中BC边上的高与中BC边上的高相等.
　　　　　 　∴ （等底等高）.
　　　　　 　∴
　　　　　 　∴
　　说明 本题中，我们也可以用和的面积相等，推出和的面积相等，等底等高的性质在证明三角形及四边形的面积问题时，起关键作用.

　　【变式2】如图，把边长为2cm的正方形剪成四个全等的直角三角形．请用这四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠且不留空隙），并把你的拼法画出来：
　　（1）不是正方形的菱形一个；（2）不是正方形的矩形一个；（3）梯形两个；（4）不是矩形、菱形的平行四边形一个；（5）不是梯形和平行四边形的凸四边形一个。

　　【答案】

　　【变式3】如图，已知：AD是的平分线，，，.
　　（1）求证：四边形ADCE是等腰梯形.
　　（2）若的周长为，求四边形ADCE的周长.

　　【答案】
　　证明：（1）∵（已知），
　　　　　　　 ∴ （两直线平行，内错角相等）
　　　　　　　 又∵（角平分线定义），
　　　　　　　 ∴
　　　　　　　 ∴（等角对等边）
　　　　　　　 ∵（已知）
　　　　　　　 ∴
　　　　　　　 即
　　　　　　　 ∴（等边对等角）
　　　　　　　 又∵（对顶角相等）
　　　　　　　 ∴
　　　　　　　 ∴（内错角相等，两直线平行）
　　　　　　　 而
　　　　　　　 ∴ 四边形ADCE是梯形
　　　　　　　 又∵
　　　　　　　 ∴
　　　　　　　 ∴ （全等三角形的对应边相等）.
　　　　　　　 ∴ 四边形ADCE是等腰梯形
　　解答：（2）∵四边形ADCE是等腰梯形
　　　　　　　 ∴
　　　　　　　 ∴ 梯形ADCE的周长
　　　　　　　 而的周长
　　　　　　　 ∴
　　　　　　　 ∵
　　　　　　　 ∴
　　　　　　　 即
　　　　　　　 ∴ 梯形ADCE的周长
　　说明：等腰梯形的判定，一般是先判定一个四边形是梯形，然后再由“两腰相等”或“同一底上的两个角相等”来判定它是等腰梯形，要判定一个四边形是梯形时，判定一组对边不平行常常有困难，所以可用判定平行的两边不相等的方法来解决．
一、 填空题
1．等腰梯形的上底、下底和腰长分别为4cm、10cm、6cm，则等腰梯形的下底角为________度．

　2．如图，在梯形ABCD中，∠DCB=90°，AB∥CD，AB=25，BC=24．将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，
　 　　BE为折痕，那么AD的长度为________．

　　　　　　　　　　　　　 (第2题) 　　　　　　　　　　　(第3题)

　3．如图所示，图（1）中梯形符合_________条件时，可以经过旋转和翻折形成图（2）．

　4．如图所示，梯形纸片ABCD，∠B=60°，AD∥BC，AB=AD=2，BC=6，将纸片折叠，使点B与点D重合，折
　 　　痕为AE，则CE=________．

　　 　　　　　　　　(第4题)　　　　　　　　　　　　 (第5题)　　　　　 (第7题)

　5．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB≠AD，对角线AC，BD相交于点O，如下四个结论：
　 　①梯形ABCD是轴对称图形；②∠DAC=∠DCA；③△AOB≌△DOC；④∠OAD=∠ODA．
　 　请把其中正确结论的序号填在横线上：________．

二、选择题
　　6．若等腰梯形两底之差等于一腰的长，那么这个梯形一内角是（ ）
　　A．90° 　　　B．60° 　　　C．45°　　　 D．30°

　　7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，CA平分∠BCD，CD=5，则AD的长是（ ）
　　A．6 　　　B．5　　　 C．4 　　　D．3

　　8．如图，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AC⊥BC，点E是AB的中点，EC∥AD，则∠ABC等于（ ）
　　A．75° 　　　B．70°　　　 C．60°　　　 D．30°

　　 　　　　　　　　　　　　　　(第8题)　　　　　　　 (第9题)

　　9．如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，AD=2，BC=8，则此等腰梯形的周长为（ ）
　　A．19 　　　B．20 　　　C．21 　　　D．22

三.判断下列命题是否正确．
　　①一组对边平行的四边形是梯形；( )
　　②一组对边平行且相等的四边形是梯形；( )
　　③一组对边平行且不相等的四边形是梯形．( )

　　答案与解析：
　　1．60° （经上底顶点向下底边作垂线）
　　2．30 （过D作DF垂直AB于F）
　　3．底角为60°且腰长等于上底长
　　4．4 （四边形ABED为菱形）
　　5．①，③，④ （由等腰梯形的性质和梯形面积求出结论）
　　6．B （过上底一个顶点做一腰的平行线）
　　7．B （可证AD=CD）
　　8．C （直角三角形斜边中线等于斜边的一半）
　　9．D （做双高图）

　　三、① × “有且仅有一组对边平行”的四边形，才能称为梯形；
　　　　② ×
　　　　③ √

能力提升：
一、选择题.
　　1.下面命题中错误的命题是( )。
　　（A）等腰梯形同一底上的两个底角相等　　　（B）等腰梯形的对角线相等
　　（C）有两个底角相等的梯形是等腰梯形　　　（D）对角线相等的梯形是等腰梯形

　　2.等腰梯形的上底与高相等，下底是上底的3倍，则下底角的度数为( )。
　　（A）30°　　　 （B）45° 　　　（C）60° 　　　（D）不能确定

　　3.直角梯形的中位线长为a，一腰长为b，这腰和底所成的角为30°，则它的面积是( )。
　　（A）ab 　　　（B）ab 　　　（C）ab 　　　（D）ab

　　4.顺次连结等腰梯形两底的中点和两条对角线的中点所组成的四边形一定是( )。
　　（A）菱形 　　　（B）矩形 　　　（C）正方形 　　　（D）任意四边形

　　5.一个梯形中位线的长是高的2倍，面积是18cm2，则这梯形的高是( )。
　　（A）6cm 　　　（B）6cm 　　　（C）3cm 　　　（D）3cm

　　6.直角梯形的一条对角线把梯形分成两个三角形，其中有一个是边长为8的等边三角形，梯形中位线长
　　　是( )
　　（A）4 　　　（B）4 　　　（C）6 　　　（D）8

　　7. 一个梯形的四边长分别为12，6，6，6，则这个梯形的面积是( )。
　　（A）54 　　　（B）27 　　　（C）54 　　　（D）27

二、解答题
　　1．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，E是底边BC的中点，连接AE、DE．求证：△ADE是等腰三角形．

　　2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠ADC=120°．
　　　 求证：（1）BD⊥DC；（2）若AB=4，求梯形ABCD的面积．

　　答案与解析：
一、选择题
　　1．C （应该是：同一底上的两个角）
　　2. B （做双高图）
　　3. B （作高线）
　　4. A （使用：等腰梯形的对角线相等和三角形中位线的性质）
　　5. D （用：梯形的面积等于中位线乘以高）
　　6. C （作高线）
　　7. D （过上底的一个顶点做一腰的平行线）

二、解答题
　　1．△ABE≌△DCE（SAS），
　　　 ∴∠AEB=∠DEC，而∠DAE=∠AEB．∠ADE=∠DEC．
　　　 ∴∠DAE=∠ADE，∴△ADE是等腰三角形
　　2．（1）由∠ADC=120°，可得∠C=∠ABC=60°，
　　　 　　 从而得到∠ADB=30°，∴BD⊥DC．
　　　 （2）12