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习题八
1. 判断下列平面点集哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点集和边界：
(1) {(x, y)|x≠0};
(2) {(x, y)|1≤x2+y2<4};
(3) {(x, y)|y<x2};
(4) {(x, y)|(x-1)2+y2≤1}∪{(x, y)|(x+1)2+y2≤1}.
解：(1)开集、无界集，聚点集：R2，边界：{(x, y)|x=0}.
(2)既非开集又非闭集，有界集,
聚点集：{(x, y)|1≤x2+y2≤4}，
边界：{(x, y)|x2+y2=1}∪{(x, y)| x2+y2=4}.
(3)开集、区域、无界集，
聚点集：{(x, y)|y≤x2}，
边界：{(x, y)| y=x2}.
(4)闭集、有界集，聚点集即是其本身，
边界：{(x, y)|(x-1)2+y2=1}∪{(x, y)|(x+1)2+y2=1}.
2. 已知f(x, y)=x2+y2-xytan,试求.
解：
3. 已知,试求
解：f( x + y, x-y, x y) =( x + y)xy+(x y)x+y+x-y =(x + y)xy+(x y)2x.
4. 求下列各函数的定义域：
解：
5. 求下列各极限：
解：(1)原式=
(2)原式=+∞.
(3)原式=
(4)原式=
(5)原式=
(6)原式=
6. 判断下列函数在原点O(0，0)处是否连续：
(3)
解：(1)由于
又，且,
故.
故函数在O(0,0)处连续.
(2)
故O(0,0)是z的间断点.
(3)若P(x,y) 沿直线y=x趋于(0，0)点，则
,
若点P(x,y) 沿直线y=-x趋于(0，0)点，则
故不存在.故函数z在O(0，0)处不连续.
7. 指出下列函数在向外间断：
(1) f (x,y)=; (2) f (x,y)=;
(3) f (x,y)=ln(1－x2－y2); (4)f (x,y)=
解：(1)因为当y=-x时，函数无定义，所以函数在直线y=-x上的所有点处间断，而在其余点处均连续.
(2)因为当y2=2x时，函数无定义，所以函数在抛物线y2=2x上的所有点处间断.而在其余各点处均连续.
(3)因为当x2+y2=1时，函数无定义，所以函数在圆周x2+y2=1上所有点处间断.而在其余各点处均连续.
(4)因为点P(x,y)沿直线y=x趋于O(0,0)时.
.
故(0，0)是函数的间断点，而在其余各点处均连续.
8. 求下列函数的偏导数：
(1)z = x2y+; (2)s =;
(3)z = xln; (4)z = lntan;
(5)z = (1+xy)y; (6)u = zxy;
(7)u = arctan(x-y)z; (8).
解：(1)
(2)
(3)
(4)
(5)两边取对数得
故
(6)
(7)
(8)
9.已知，求证：.
证明： .
由对称性知 .
于是 .
10.设，求证：.
证明： ,
由z关于x,y的对称性得
故
11.设f (x,y) = x+(y-1)arcsin，求fx(x,1) .
解：
则.
12.求曲线在点（2，4，5）处的切线与正向x轴所成的倾角.
解：
设切线与正向x轴的倾角为α,
则tanα=1. 故α=.
13.求下列函数的二阶偏导数：
(1)z = x4+ y4-4x2y2; (2)z = arctan;
(3)z = yx; (4)z = .
解：(1)
由x,y的对称性知
(2)，
(3)
(4)
14.设f (x, y, z) = xy2+yz2+zx2,求
解：
193
15.设z = x ln ( x y)，求及.
解：
16.求下列函数的全微分：
(1); (2);
(3); (4).
解：(1)∵
∴
(2)∵
∴
(3)∵
∴
(4)∵
∴
17. 求下列函数在给定点和自变量增量的条件下的全增量和全微分：
(1)
(2)
解：(1)
(2)
18.利用全微分代替全增量，近似计算：
(1) (1.02)3·(0.97)2; (2);
(3)(1.97)1.05.
解：(1)设f(x,y)=x3·y2，则
故df(x,y)=3x2y2dx+2x3ydy=xy(3xydx+2x2dy)
取x=1,y=1,dx=0.02,dy=-0.03，则
(1.02)3·(0.97)2=f(1.02,0.97)≈f(1,1)+df(1,1)
=13×12+1×1[3×1×1×0.02+2×12×(-0.03)]=1.
(2)设f(x,y)=,则
故
取,则
(3)设f(x,y)=xy,则df(x,y)=yxy-1dx+xylnxdy，
取x=2,y=1,dx=-0.03,dy=0.05,则
19.矩型一边长a=10cm，另一边长b=24cm, 当a边增加4mm，而b边缩小1mm时，求对角线长的变化.
解：设矩形对角线长为l，则
当x=10,y=24,dx=0.4,dy=-0.1时，
(cm)
故矩形的对角线长约增加0.062cm.
20.解：因为圆锥体的体积为
而
时，
21.解：设水池的长宽深分别为
则有:
精确值为：
近似值为:
22. 求下列复合函数的偏导数或全导数：
(1)求,；
(2)z＝, x＝u＋v,y＝u－v, 求,；
(3), y＝x3, 求;
(4) u＝x2＋y2＋z2, x＝, y＝, z＝, 求.
解：（1）
(2)
(3)
(4)
.
23. 设f具有一阶连续偏导数，试求下列函数的一阶偏导数：
(1) (2)
(3)
解：(1)
(2)
(3)
24.设为可导函数，证明：
证明:
故
25. 设，其中f(u)为可导函数，验证：
.
证明：∵ ,
,
∴
26. ,其中f具有二阶导数，求
解：
由对称性知，
27. 设f具有二阶偏导函数，求下列函数的二阶偏导数：
(1) (2)
(3)
解：(1)
,
(2)
(3)
28. 试证：利用变量替换,可将方程
化简为 .
证明：设
故
29. 求下列隐函数的导数或偏导数：
(1)，求;
(2)，求；
(3)，求;
(4)，求.
解：(1)[解法1] 用隐函数求导公式，设F(x,y)=siny+ex-xy2,
则
故 .
[解法2] 方程两边对x求导，得
故
(2)设
∵
∴
(3)方程两边求全微分，得
则
故
(4)设,
则
30. 设F(x, y, z)=0可以确定函数x = x(y, z), y = y(x, z), z = z(x, y),证明：.
证明：∵
∴
31. 设确定了函数z = z(x,y),其中F可微，求.
解：
32. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数：
(1) 求：
(2) 求：
(3) 其中f,g具有连续偏导数函数，求
(4) 求
解：(1)原方程组变为
方程两边对x求导，得
当
(2)设
故
(3)设
则
故
(4)是已知函数的反函数，方程组两边对x求导，得
整理得
解得
方程组两边对y求导得
整理得
解得
33. 设，试求
解：由方程组
可确定反函数，方程组两边对x求导，得
解得
所以
方程组两边对y求导，得
解得
所以 .
*34. 求函数在(2，-1)点的泰勒公式.
解：
故
*35. 将函数在(1,1)点展到泰勒公式的二次项.
解：
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