资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)
1．如图，正六边形ABCDEF的半径OA＝OD＝2，则点B关于原点O的对称点坐标为（ ）
A．（1，﹣） B．（﹣1，） C．（﹣，1） D．（，﹣1）
2．如图，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P、Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，△ABC中，DE∥BC，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，图1是由5个完全相同的正方体堆成的几何体，现将标有E的正方体平移至如图2所示的位置，下列说法中正确的是( )
A．左、右两个几何体的主视图相同
B．左、右两个几何体的左视图相同
C．左、右两个几何体的俯视图不相同
D．左、右两个几何体的三视图不相同
5．下列事件是必然事件的是( )
A．地球绕着太阳转 B．抛一枚硬币，正面朝上
C．明天会下雨 D．打开电视，正在播放新闻
6．如图，PA与 PB 分别与圆O相切与A、B 两点，∠P=80o ，则∠C =（ ）
A．45° B．50° C．55° D．60°
7．如图中几何体的主视图是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，正方形的边长是3，，连接、交于点，并分别与边、交于点、，连接，下列结论：①；②；③；④当时，．正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，双曲线经过斜边上的中点，且与交于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．是关于的一元一次方程的解，则（ ）
A． B． C．4 D．
二、填空题(每小题3分,共24分)
11．如图，在⊙O中，半径OC与弦AN垂直于点D，且AB＝16，OC＝10，则CD的长是_____．
12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=1，tanC=，以点A为圆心，AB长为半径作弧交AC于D，分别以B、D为圆心，以大于BD长为半径作弧，两弧交于点E，射线AE与BC于F，过点F作FG⊥AC于G，则FG的长为______．
13．如图，在矩形中，是边的中点，连接交对角线于点，若，，则的长为________．
14．若关于的一元二次方程没有实数根．化简：=____________．
15．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6=0有一个根为﹣3，则方程的另一个根为_____．
16．如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、∠β如图所示，则sin（α+β）＝_____________．
17．如图，一辆汽车沿着坡度为的斜坡向下行驶50米，则它距离地面的垂直高度下降了 米.
18．已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=_____.
三、解答题(共66分)
19．（10分）如图，双曲线（）与直线交于点和，连接和．
（1）求双曲线和直线的函数关系式．
（2）观察图像直接写出：当时，的取值范围．
（3）求的面积．
20．（6分）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，其对称轴为，为抛物线上第二象限的一个动点．
（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；
（2）当点在运动过程中，求四边形面积最大时的值及此时点的坐标．
21．（6分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件.
（1）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天的盈利是1050元？
（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最大？最大盈利是多少？
22．（8分）用适当方法解下列方程．
(1) (2)
23．（8分）已知关于的方程
（1）判断方程根的情况
（2）若两根异号，且正根的绝对值较大，求整数的值．
24．（8分）如图，是我市某大楼的高，在地面上点处测得楼顶的仰角为，沿方向前进米到达点，测得．现打算从大楼顶端点悬挂一幅庆祝建国周年的大型标语，若标语底端距地面，请你计算标语的长度应为多少？
25．（10分）如图，四边形中，平分.
（1）求证：；
（2）求证：点是的中点；
（3）若，求的长.
26．（10分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，求两辆车经过这个十字路口时，下列事件的概率：
（1）两辆车中恰有一辆车向左转；
（2）两辆车行驶方向相同．
参考答案
一、选择题(每小题3分,共30分)
1、D
【分析】根据正六边形的性质，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：连接OB，
∵正六边形ABCDEF的半径OA＝OD＝2，
∴OB＝OA＝AB＝6，∠ABO＝∠60°，
∴∠OBH＝60°，
∴BH＝OB＝1，OH＝OB＝，
∴B（﹣，1），
∴点B关于原点O的对称点坐标为（，﹣1）．
故选：D．
【点睛】
本题考查了正六边形的性质和解直角三角形的相关知识，解决本题的关键是熟练掌握正六边形的性质，能够得到相应角的度数.
2、C
【解析】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，求出OP1，如图当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2最大值＝5+3＝8，由此不难解决问题．
【详解】如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1，交⊙O于Q1，此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1．
∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴AB2＝AC2+BC2，∴∠C＝20°．
∵∠OP1B＝20°，∴OP1∥AC．
∵AO＝OB，∴P1C＝P1B，∴OP1AC＝4，∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1＝1，如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，P2Q2最大值＝5+3＝8，∴PQ长的最大值与最小值的和是2．
故选C．
【点睛】
本题考查了切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点PQ取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．
3、B
【分析】根据两直线平行，对应线段成比例即可解答．
【详解】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，＝，
∴，
∴选项A，C，D成立，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例的知识，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理．
4、B
【分析】直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案．
【详解】A、左、右两个几何体的主视图为：
，
故此选项错误；
B、左、右两个几何体的左视图为：
，
故此选项正确；
C、左、右两个几何体的俯视图为：
，
故此选项错误；
D、由以上可得，此选项错误；
故选B．
【点睛】
此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察的角度是解题关键．
5、A
【解析】试题分析：根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可区别各类事件．
解：A、地球绕着太阳转是必然事件，故A符合题意；
B、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件，故B不符合题意；
C、明天会下雨是随机事件，故C不符合题意；
D、打开电视，正在播放新闻是随机事件，故D不符合题意；
故选A．
点评：本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6、B
【分析】连接AO，BO，根据题意可得∠PAO=∠PBO=90°，根据∠P=80°得出∠AOB=100°，利用圆周角定理即可求出∠C．
【详解】解：连接AO，BO，
∵PA与 PB 分别与圆O相切与A、B 两点，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠P=80°，
∴∠AOB=360°-90°-90°-80°=100°，
∴∠C=，
故选：B．
【点睛】
本题考查了切线的性质以及圆周角定理，解题的关键是熟知切线的性质以及圆周角定理的内容．
7、D
【解析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【详解】解：从正面看应得到第一层有3个正方形，第二层从左面数第1个正方形上面有1个正方形，
故选D．
【点睛】
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
8、D
【分析】由四边形ABCD是正方形，得到AD=BC=AB，∠DAB=∠ABC=90°，即可证明△DAP≌△ABQ，根据全等三角形的性质得到∠P=∠Q，根据余角的性质得到AQ⊥DP；故①正确；根据相似三角形的性质得到AO2=OD•OP，故②正确；根据△CQF≌△BPE，得到S△CQF=S△BPE，根据△DAP≌△ABQ，得到S△DAP=S△ABQ，即可得到S△AOD=S四边形OECF；故③正确；根据相似三角形的性质得到BE的长，进而求得QE的长，证明△QOE∽△POA，根据相似三角形对应边成比例即可判断④正确，即可得到结论．
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=AB，∠DAB=∠ABC=90°．
∵BP=CQ，
∴AP=BQ．
在△DAP与△ABQ中，∵，
∴△DAP≌△ABQ，
∴∠P=∠Q．
∵∠Q+∠QAB=90°，
∴∠P+∠QAB=90°，
∴∠AOP=90°，
∴AQ⊥DP；
故①正确；
∵∠DOA=∠AOP=90°，∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠P，
∴△DAO∽△APO，
∴，
∴AO2=OD•OP．故②正确；
在△CQF与△BPE中，∵，
∴△CQF≌△BPE，
∴S△CQF=S△BPE．
∵△DAP≌△ABQ，
∴S△DAP=S△ABQ，
∴S△AOD=S四边形OECF；故③正确；
∵BP=1，AB=3，
∴AP=1．
∵∠P=∠P，∠EBP=∠DAP=90°，
∴△PBE∽△PAD，
∴，
∴BE，
∴QE，
∵∠Q=∠P，∠QOE=∠POA=90°，
∴△QOE∽△POA，
∴，
∴，故④正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．
9、B
【分析】设，根据A是OB的中点，可得，再根据，点D在双曲线上，可得，根据三角形面积公式列式求出k的值即可．
【详解】设
∵A是OB的中点
∴
∵，点D在双曲线上
∴
∴
∵
∴
故答案为：B．
【点睛】
本题考查了反比例函数的几何问题，掌握反比例函数的性质、中点的性质、三角形面积公式是解题的关键．
10、A
【分析】先把x=1代入方程得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值
【详解】将x＝1代入方程x2+ax+2b＝0，
得a+2b＝－1，2a+4b＝2（a+2b）＝2×（－1）＝－2.
故选A.
【点睛】
此题考查一元二次方程的解，整式运算，掌握运算法则是解题关键
二、填空题(每小题3分,共24分)
11、4
【解析】根据垂径定理以及勾股定理即可求答案．
【详解】连接OA，
设CD＝x，
∵OA＝OC＝10，
∴OD＝10﹣x，
∵OC⊥AB，
∴由垂径定理可知：AB＝16，
由勾股定理可知：102＝82+（10﹣x）2
∴x＝4，
∴CD＝4，
故答案为：4
【点睛】
本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于基础题型．
12、．
【分析】过点F作FH⊥AB于点H，证四边形AGFH是正方形，设AG=x，表示出CG，再证△CFG∽△CBA，根据相似比求出x即可.
【详解】如图过点F作FH⊥AB于点H，
由作图知AD=AB=1，AE平分∠BAC，
∴FG=FH，
又∵∠BAC=∠AGF=90°，
∴四边形AGFH是正方形，
设AG=x，则AH=FH=GF=x，
∵tan∠C=，
∴AC==，
则CG=-x，
∵∠CGF=∠CAB=90°，
∴FG∥BA，
∴△CFG∽△CBA，
∴，即，
解得x=，
∴FG=，
故答案为：．
【点睛】
本题是对几何知识的综合考查，熟练掌握三角函数及相似知识是解决本题的关键.
13、
【解析】分析：根据勾股定理求出，根据∥，得到，即可求出的长.
详解：∵四边形是矩形，∴，∥，，
在中，，∴，
∵是中点，∴，
∵∥，∴，∴．
故答案为.
点睛：考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键.
14、
【分析】首先根据关于x的一元二次方程没有实数根求出a的取值范围，然后利用二次根式的基本性质化简即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根，
∴，
解得，
当时，
原式
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式及二次根式的基本性质，解题的关键是根据根的判别式确定未知数的取值范围．
15、1
【分析】设方程的另一个根为a，根据根与系数的关系得出a+（﹣3）=﹣k，﹣3a=﹣6，求出即可．
【详解】设方程的另一个根为a，
则根据根与系数的关系得：a+（﹣3）=﹣k，﹣3a=﹣6，
解得：a=1，
故答案为1．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．
16、
【分析】连接DE，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得出∠α=30°，同理可得出：∠CDE=∠CED=30°=∠α，由∠AEC=60°结合∠AED=∠AEC+∠CED可得出∠AED=90°，设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=a，利用勾股定理可得出AD的长，由三角函数定义即可得出答案．
【详解】解：连接DE，如图所示：
在△ABC中，∠ABC=120°，BA=BC，
∴∠α=30°，
同理得：∠CDE=∠CED=30°=∠α．
又∵∠AEC=60°，
∴∠AED=∠AEC+∠CED=90°．
设等边三角形的边长为a，则AE=2a，DE=2×sin60°•a=a，
∴AD=a，
∴sin（α+β）= =．
故答案为：．
【点睛】
此题考查解直角三角形、等边三角形的性质以及图形的变化规律，构造出含一个锐角等于∠α+∠β的直角三角形是解题的关键．
17、25
【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．
【详解】解：设垂直高度下降了x米，则水平前进了x米．
根据勾股定理可得：x2+（x）2=1．
解得x=25，
即它距离地面的垂直高度下降了25米．
【点睛】
此题考查三角函数的应用.关键是熟悉且会灵活应用公式：tanα（坡度）=垂直高度÷水平宽度，综合利用了勾股定理．
18、7.1
【解析】根据平行线分线段成比例定理得到比例式，求出DF，根据BF=BD+DF，计算即可得答案．
【详解】∵a∥b∥c，
∴=，即=，
解得DF=4.1，
∴BF=BD+DF=3+4.1=7.1，
故答案为：7.1．
【点睛】
本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
三、解答题(共66分)
19、（1），；（2）或；（3）
【分析】（1）把点A坐标代入可求出双曲线的关系式，进而可得点B坐标，再利用待定系数法即可求出直线的解析式；
（2）找出图象上双曲线比直线高的部分对应的x的取值范围即可；
（3）过点作轴平行线交轴于点，过点作轴平行线交轴于点，所作两直线相交于，如图，利用代入数据计算即可．
【详解】解（1）∵点在双曲线上上，
∴，
∴，
∵点也在双曲线，
∴，
∵点和点在直线上，
∴，解得：，
∴直线关系式为；
（2）当时，的取值范围是：或；
（3）过点作轴平行线，交轴于点，过点作轴平行线，交轴于点，所作
两直线相交于，如图，则点E（4，4），
∴．
【点睛】
本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式、函数图象上点的坐标特征和三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握一次函数与反比例函数的基本知识是解题的关键．
20、（1），(－1，4)；（2），P(，)
【解析】（1）根据题意将已知点的坐标代入已知的抛物线的解析式，利用待定系数法确定抛物线的解析式并写出其顶点坐标即可；
（2）根据题意设P点的坐标为（t，）(－3＜t＜0)，并用分割法将四边形的面积S四边形BCPA= S△OBC＋S△OAP＋S△OPC，得到二次函数运用配方法求得最值即可．
【详解】解：（1）∵该抛物线过点C(0，3)，
∴可设该抛物线的解析式为，
∵与x轴交于点A和点B（1，0），其对称轴l为x=－1，
∴
∴
∴此抛物线的解析式为，
其顶点坐标为（－1，4）；
（2）如图：
可知A（－3，0），
∴OA＝3，OB＝1，OC＝3
设P点的坐标为（t，）(－3＜t＜0)
∴S四边形BCPA＝S△OBC＋S△OAP＋S△OPC
＝×OB×OC＋×OA×yP＋×xC×OC
＝×1×3＋×3×()＋×|t|×3
＝
＝
＝
∴当t＝时，四边形PABC的面积有最大值
∴P（，）.
【点睛】
本题考查二次函数综合题．用待定系数法求函数的解析式时要灵活地根据已知条件选择配方法和公式法，注意求抛物线的最值的方法是配方法．
21、（1）每件衬衫降价5元或25元时，商场平均每天的盈利是1050元.（2）每件衬衫降价15元时，商场平均每天的盈利最大，最大盈利是1250元.
【分析】（1）设每件衬衫应降价x元，则每天多销售2x件，根据盈利=每件的利润×数量建立方程求出其解即可；
（2）根据盈利=每件的利润×数量表示出y与x的关系式，由二次函数的性质及顶点坐标求出结论．
【详解】解：（1）设每件衬衫降价元
根据题意，得
整理，得
解得
答：每件衬衫降价5元或25元时，商场平均每天的盈利是1050元.
（2）设商场每天的盈利为元.
根据题意，得
∵
∴当时，有最大值，最大值为1250.
答:每件衬衫降价15元时，商场平均每天的盈利最大，最大盈利是1250元.
【点睛】
本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，销售问题的数量关系的运用，二次函数的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
22、（1），；（2），
【解析】(1) ,
,
△=16-4×3×(-1)=28,
∴ ,
∴，；
(2) ,
,
,
∴或，
∴，
23、（1）证明见解析；（2）m=-1
【分析】（1）通过计算判别式的值得到△≥0，从而根据判别式的意义得到方程根的情况；
（2）利用根与系数的关系得到x1+x2=m+2，x1x2=2m，则，解不等式组，进而得到整数m的值．
【详解】解：（1）∵，
∴方程有两个实数根；
（2）设方程的两根为x1，x2，
则x1+x2=m+2，x1x2=2m，
根据题意得，解得：－2<m<0，
因为m是整数，
所以m=－1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，根据题意得出不等式组是解（2）的关键．
24、标语的长度应为米．
【解析】首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形，即△ABC和△ADC．根据已知角的正切函数，可求得BC与AC、CD与AC之间的关系式，利用公共边列方程求AC后，AE即可解答．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，
∴Rt△ABC是等腰直角三角形，AC=BC．
在Rt△ADC中，
∠ACD=90°，tan∠ADC=＝，
∴DC=AC，
∵BC-DC=BD，即AC-AC=18，
∴AC=45，
则AE=AC-EC=45-15=1．
答：标语AE的长度应为1米．
【点睛】
本题要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
25、（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】（1）通过证明△ABD∽△BCD，可得，可得结论；
（2）通过和相似得出∠MBD=∠MDB，在利用同角的余角相等得出∠A=∠ABM，由等腰三角形的性质可得结论；
（3）由平行线的性质可证∠MBD=∠BDC，即可证AM=MD=MB=4，由BD2=AD•CD和勾股定理可求MC的长，通过证明△MNB∽△CND，可得.
【详解】解：（1）证明：∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB，且∠ABD=∠BCD=90°，
∴△ABD∽△BCD，
∴，
∴BD2=AD•CD
（2）证明：∵，
∴∠MBD=∠BDC，∠MBC=90°，
∵∠MDB=∠CDB，
∴∠MBD=∠MDB，
∴MB=MD，
∵∠MBD+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠CBD，
∵∠CBD=∠A，
∴∠A=∠ABM，
∴MA=MB，
∴MA=MD，
即M为AD中点；
（3）∵BM∥CD
∴∠MBD=∠BDC
∴∠ADB=∠MBD，且∠ABD=90°
∴BM=MD，∠MAB=∠MBA
∴BM=MD=AM=4
∵BD2=AD•CD，且CD=6，AD=8，
∴BD2=48，
∴BC2=BD2-CD2=12
∴MC2=MB2+BC2=28
∴MC=，
∵BM∥CD
∴△MNB∽△CND
∴，且MC=，
∴.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求MC的长度是本题的关键．
26、（1）；（2）
【分析】此题可以采用列表法求解．可以得到一共有9种情况，两辆车中恰有一辆车向左转的有4种情况，两辆车行驶方向相同有3种情况，根据概率公式求解即可．
【详解】解：列表得：
左
直
右
左
左左
左直
左右
直
左直
直直
直右
右
左右
直右
右右
共有9种等可能结果，其中，两辆车中恰有一辆车向左转的有4种情况；两辆车行驶方向相同有3种情况
（1）P（两辆车中恰有一辆车向左转）=；
（2）P（两辆车行驶方向相同）=．
【点睛】
列表法可以不重不漏的列举出所有可能发生的情况，列举法适合于两步完成的事件，树状图法适合于两步或两步以上完成的事件．解题时注意看清题目的要求，要按要求解题．概率=所求情况数与总情况数之比．
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