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双重最值问题的求解策略
江苏省南通市通州区石港中学 高志军

最值问题贯穿于高中数学的始终，是高中数学的重点和难点问题，也是历年高考的热点问题.最值问题是一种典型的能力考查题，能有效地考查学生的思维品质和学习潜能.近年来，最值试题更加注重于学生思维能力的考查，常常要求先求所给出一组函数或一组变量的最大（小）值，再求所求得的最大（小）值的最小（大）值，我们称这类问题为双重最值问题. 双重最值问题综合性强，知识覆盖率高，解题方法灵活，需用数形结合、转换化归等重要的数学思想和方法.我们学生面对这类问题常常束手无策，本文将根据自己的一点体会，归纳出解决这类问题所必须掌握的基本知识和基本处理方法.
一般地，记表示中中的最大值，表示中中的最小值.
策略一：数形结合.
已知两个函数，求两个函数的最大（小）值，再求所得最大（小）值中的最小（大）值.这种题型，一般先作出两个函数的图象，结合图象，用分段函数的形式写出两个函数的最大（小）值，再结合图象具体求解.
x
y
O
A
B
例1、函数，其中，求最小值.
解：作出函数和，
的图象.由得交点，.
∴=.
结合图象，可知，当时，最小值等于.
评注：对于(或)的最小（大）值问题，可作出有关函数图象，转化为直观图形来解决，这样大大简化了解题过程.
策略二：取等求解.
已知有限个变量，求这些变量中的最大（小）值中的最小（大）值，这类问题可特殊化，令所有变量都相等，在这些变量都相等条件下具体求解.先看两个命题.
命题1：对于两个变量，若有解，则存在最小值，当且仅当是的解时，记，则取最小值为.
命题2：对于两个变量，若有解，则存在最大值，当且仅当是的解时，记，则取最大值为.
命题1证明：∵时，此时，记，不妨设时，；时，.
当时，=，∴最小值为.
当时，=，∴最小值为.
即取最小值为.
同理，可证命题2.命题1和命题2中变量个数可推广到任意有限个.
例2、设实数均不小于1，且，则
的最小值是 .
此题是南通市2013届高三第二次调研测试13题，据统计，平均得分约0.83分，可见，我们学生对这种双重最值问题感到比较陌生，不能快速、正确求解.
解：令，
因为实数均不小于1，则.
因为，所以，则.
因为实数均不小于1，所以，即，
当且仅当时取“=”. 所以的最小值是9.
评注：个变量的双重最值问题，当这个变量都相等且有解时，我们可特殊化，转化为求个变量都相等时的变量所对应的值，即为所求的最值.
策略三：放缩转换.
一般地，若存在最小（大）值，设（），则都小于等于（大于等于），而后通过转换进行解题.
例3、当正数变化时，求的最小值.
解：设，则
∵为正数，∴，则
又（当且仅当时取“=”）.
∴即.所以,的最小值为.
这种解题策略,对于例2同样可进行求解,请看例2解法二：
令， 则，
又因为实数均不小于1，∴，
∴，因为
∴，当且仅当时取“=”.
即的最小值是9.
评注：解决这类双重最值问题，可设，则问题可以转化为
，通过对各个变量放缩转换进行求解,同时要特别注意,放缩后等号成立的条件.这种解题策略是解决双重最值问题最最基本的策略.
策略四：降元化归.
事实上，， ，
.对于求（）个变量中的最大（小）值中的最小（大）值，我们可通过降元，求-1个变量中的最大（小）值中的最小（大）值.
由此，可得到例2解法三：

.当且仅当时取“=”.
所以的最小值是9.
评注：一类双重最值问题，若个变量中的一些元素地位等价时，可以去掉其中一个或一些，进行降元求解.
为了进一步体会双重最值问题求解策略，我们再举一例.
x
y
O

例4、已知为坐标原点，，，，，记、、中的最大值为，当取遍一切实数时，求的最小值.
解：设外接圆半径，当是
的外心时， =，当在其它任何位置时，
＞，所以.
因为是的外心，所以在的中
垂线上，设，则.
由＝得，，
即，化简得.
∵任意实数，∴，即，
∴或.
.
则当时，，的最小值为.
最值问题涉及到高中数学知识的各个方面, 是高中数学的一个重点，双重最值问题更是最值问题中的难点.解决这类问题要灵活合理地运用函数与方程、转换与化归及数形结合等思想方法，要求仔细审题，充分利用好题设中的条件，更要综合运用各种技能, 灵活选择合理的解题途径,从而保证顺利、正确完成解题.双重最值问题的求解策略，只有在多体会多运用的基础上，才能做到真正的理解和掌握.
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