二维三次非线性薛定谔方程组的极小质量爆破解.pdf

第4 7卷/第4期/2 0 2 3年7月河北师范大学学报/自然科学版/J O U R N A LO FH E B E IN O R M A LU N I V E R S I T Y(N a t u r a lS c i e n c e)V o l.4 7N o.4J u l.2 0 2 3文章编号:1 0 0 0-5 8 5 4(2 0 2 3)0 4-0 3 3 2-0 5收稿日期:2 0 2 2-1 0-0 1;修回日期:2 0 2 2-1 2-2 0基金项目:中央高校研究基金(B 2 1 0 2 0 2 1 4 7)作者简介:吴清迪(1 9 9 9),女,山东临沂人,硕士研究生,研究方向为偏微分方程.二维三次非线性薛定谔方程组的极小质量爆破解吴清迪(河海大学 理学院,江苏 南京 2 1 0 0 9 8)摘要:讨论了二维三次非线性薛定谔方程组的极小质量爆破解.在研究分析过程中,通过轮 廓分 解和S t r i c h a r z估计,证明如果临界质量是有限的,则方程组的解在时间上向前向后爆破.关键词:非线性薛定谔方程组;爆破;轮廓分解;散射中图分类号:O1 7 5.2 9 文献标志码:A d o i:1 0.1 3 7 6 3/j.c n k i.j h e b n u.n s e.2 0 2 3 0 1 0 1 1M i n i m a l-m a s sB l o wu pS o l u t i o no fT w oD i m e n s i o n a lC u b i cN o n l i n e a rS c h r d i n g e rS y s t e mWU Q i n g d i(C o l l e g eo fS c i e n c e,H o h a iU n i v e r s i t y,J i a n g s uN a n j i n g 2 1 0 0 9 8,C h i n a)A b s t r a c t:I n t h i sp a p e r,w em a i n l yd i s c u s s t h em i n i m a l-m a s sb l o wu ps o l u t i o no f t w o-d i m e n s i o n a l c u b i cn o n l i n e a rS c h r d i n g e rs y s t e m.I nt h ep r o c e s so fr e s e a r c ha n da n a l y s i s,t h r o u g hp r o f i l ed e c o m p o s i t i o na n dS t r i c h a r ze s t i m a t e,w es h o wt h a t i f t h ec r i t i c a lm a s s i s f i n i t e,t h es o l u t i o no f s y s t e mb l o w su pf o r w a r d sa n db a c k w a r d s i nt i m e.K e yw o r d s:n o n l i n e a rS c h r d i n g e rs y s t e m;b l o wu p;p r o f i l ed e c o m p o s i t i o n;s c a t t e r i n g0 引 言非线性薛定谔方程和方程组是物理中的重要模型,它在量子力学、量子场论、非线性光学以及等离子体物理等学科中有着丰富的应用1.对于三次非线性薛定谔方程,其一维情形是完全可积的;对于二维非线性薛定谔方程,T a o等2首先在一般情况下将散射归为极小质量爆破解的存在;而K i l l i p等3则证明在径向情况下爆破解不存在,从而建立解的整体适定性和散射,D o d s o n4证明了非径向情况下爆破解也不存在.由于目前还没有对二维非线性薛定谔方程组的研究,所以笔者在上述基础上建立L2x(RR2)中的整体存在性和散射,研究二维三次非线性薛定方程组的极小质量爆破解的性质.考虑如下的二维三次非线性薛定谔方程组:i tu1+u1=u12u1+u22u1,i tu2+u2=u22u2+u12u2.(1)等价地,可以将(1)写为向量形式 i tuu+uu=FF(uu),(2)其中uu=(u1,u2)且FF(uu)=u12u1+u22u1u22u2+u12u2.相比于薛定谔方程,方程组中2个分量的相互作用和影响使得方程组的求解和证明更加困难,因此在证明过程中考虑分量的估计和带来的不同结果显得至关重要.为解决该问题,笔者利用向量表示方法简便解的表达.因此,在下文中将会根据叙述过程中的不同情况分别使用方程组形式或向量形式来表示.定理1 当临界质量m0有限时,存在一组质量为m0的极大存在时间解uu=(u1,u2),并且解uu向前和向后都爆破.同样地,质量为m0的向前和向后都爆破的极大存在时间解,在模去变换群G后是几乎周期的.1 预备知识为了得到本文的主要结果,给出如下定义和定理.如果时间区间IRR上的函数uu=(u1,u2)属于C0t,l o cL2x(IRR2)L4t,l o cL4x(IRR2),则uu是方程组(1)的解,并且对所有t0,t1I,uu满足D u h a m e l公式 uu(t1)=ei(t1-t0)uu(t0)-it1t0ei(t1-t)F(uF(u(t)dt.同时,定义质量M(uu):=uu2L2x(RR2),uu满足质量守恒并且质量M(uu(t)和时间t无关.若时间区间I不能再延伸到更大的区间,则称I是方程组的解的极大存在时间区间.如果有s u pI=+,并且存在uu+L2x(RR2)使得l i mtM(uu(t)-eit uu+)=0,则称uu向前散射到eit uu+.对于向后散射也有类似的结论.定义1 如果对任意的tI,有uuL4t,x(t,+)RR2)=+,则称uu向前爆破.同样地,如果对所有tI,有uL4t,x(-,tRR2)=+,则称uu向后爆破.其中,uuL4t,x=(IRR2uu(t,x)4dxdt)14.定理25 设uu0=(u01,u02),则 对 于t0I和 初 值uu(t0)=uu0,方 程 组(1)有 极 大 存 在 时间解uu=(u1,u2).此外:i)如果uu=(u1,u2)不向前爆破,则有s u pI=+.对于uu+=(u+1,u+2)L2x(RR2),有uu向前散射到eit uu+.相反地,如果uu+=(u+1,u+2)L2x(RR2),则存在唯一的一组极大存在时间解uu向前散射到eit uu+.类似可以得到向后散射的结论.i i)若存在常数C0,使得M(uu)C-1,则有uuL4t,xCM(uu)2,从而得到解整体存在并且散射.接下来讨论uu的质量和L4t,x范数之间的关系.首先对于任意的m0,定义:A(m):=s u p uuL4t,x:M(uu)m.(3)根据定理2之i i)可得,对于mC-1有 A(m)C m2.(4)另一方面,根据方程组的解关于初值的连续依赖性,得到A是左连续的.所以,一定存在唯一的临界质量0m0+,使得当mm0时,A(m)是无界的.通过以上结论可以得到,对任意的解uu,有uuL4t,xA(M(uu).特别地,如果uu向前散射到eit uu+或向后散射到eit uu-,则有uuL4t,xA(M(uu).因此,当方程组(1)的解uu的质量严格小于临界质量m0时,uu在L2x(RR2)中具有整体适定性和散射.将定理1归结为研究一类特解,即这些解是相位旋转、调制、空间平移和伸缩等对称性的几乎周期解,所以接下来介绍对称性的相关性质.定义2 对于任意的相位 RR/2 ZZ,位置x0 RR2,频率0 RR2和伸缩参数0,定义酉变换g,0,x0,:L2x(RR2)L2x(RR2):g,0,x0,f(x):=1eieix,0f(x-x0),令G为满足上式变换的集合,则G是由相位旋转、频率调制、平移和伸缩产生的群.令GL2x(RR2)是G-轨道G f:=g f:gG 的模空间,其具有商拓扑的性质,可以通过以下公式定义Tg,0,x0,:2IRR2CC,其中2I:=2t:tI,(Tg,0,r0,uu)(t,x):=1eieix0e-it02u(t2,x-x0-20t).注1 方程组(1)在相位旋转、伽利略变换和空间平移下是不变的,因此G的群作用gTg将解映射到解.如果gG,并且uu是(1)的解,则由酉群的定义可以得到M(Tguu)=M(uu)和TguuL4t,x=333uuL4t,x,因此群作用保持了uu的质量和L4t,x范数的不变.注2 同样地,对于时间t0,定义酉变换g,0,x0,t0:L2x(RR2)L2x(RR2):g,0,x0,t0f(x):=1eieix0eit0f(x-x0),Tg,0,x0,t0uu(t,x):=1eieix0e-it02(eit0uu)(t2,x-x0-20t).记G 是此类变换的集合,则G 也是由相位旋转、频率调制、平移和伸缩产生的群.给定G 中的任意2个序列gn,gn,如果(gn)-1gn在G 中发散到无穷大,则称gn和gn是渐近正交的.对于j=1,2,l,如果g(j)n是成对的渐近正交序列并且v(1),v(2),v(l)L4t,x(RRRR2),则有 l i mnlj=1Tg(j)nv(j)L4t,x=(lj=1v(j)4L4t,x)14.(5)2 主要结论的证明在证明定理1之前,首先给出命题1及其证明,然后利用命题1证明本文的主要结论.命题1 当m0有限时,令uun:InRR2CC,n=1,2,是由方程组(1)的解组成的序列,tnIn是时间序列,满足l i ms u pnM(un)=m0和 l i mnuunL4t,x(tn,+)RR2)=l i mnuunL4t,x(-,tnRR2)=+,(6)则序列G uun(tn)有一个子序列,该子序列在GL2x(RR2)拓扑中收敛.为证明命题1,在接下来的2小节中分别回顾稳定性引理和线性轮廓分解.2.1 稳定性引理首先,对于t0I,uu0L2x(RR2)和FFL43t,x(IRR2),uu=(u1,u2)是方程组(1)的解,并且有uu(t0)=uu0,那么可以得到S t r i c h a r z估计:uuC0tL2x(IRR2)+uuL4t,x(IRR2)C(uu0L2x(RR2)+FFL43t,x(IRR2),(7)其中,常数0C 0和0,存在0满足以下性质:对于t0I和vv0=(v01,v02)L2x(RR2),如果uu=(u1,u2)满足uuL4t,xA,并且uu在 i tuu+uu-FF(uu)L43t,x,(8)和ei(t-t0)(uu(t0)-vv0)L4t,x(IRR2)4意义下是方程组(1)的近似解,则方程组(1)存在一组解vv=(v1,v2):IRR2CC满足uu-vvL4t,x,其中vv(t0)=vv0.2.2 线性轮廓分解定理37 对于n=1,2,令uun是L2x(RR2)的一个有界序列,存在函数族(j)和群元素g(j)nG,其中j=1,2,使得对所有的l=1,2,有 uun=lj=1g(j)n(j)+ww(l)n,(9)其中,ww(l)nL2x(RR2)并且满足 l i mll i ms u pneit ww(l)nL4t,x=0.(1 0)此外,对任意的l1,有质量分离:l i mnM(uun)-lj=1M(j)-M(ww(l)n)=0.(1 1)2.3 命题1的证明根据uun的时间平移不变性,可以选取tn=0,从而有 l i mnuunL4t,x(0,+)RR2)=l i mnuunL4t,x(-,0RR2)=+,(1 2)然后,根据定理3,以及将g(j)n分解为g(j)n=h(j)neit(j)n,其中h(j)nG,t(j)n RR,可以得到线性轮廓分解:uun(0)=lj=1g(j)n(j)+ww(l)n=lj=1h(j)neit(j)n(j)+ww(l)n.(1 3)利用标准对角化方法,对每个j提取子列,并假设序列t(j)n收敛到时间区间-,+中的某个时433间.如果t(j)n收敛到有限时间t(j)(-,+),则可以通过线性传播子eit(j)的作用使其收敛到0.所以只需考虑t(j)n收敛到-,0或+的情况.当t(j)n收敛到0时,可以将eit(j)n(j)-(j)放到误差项ww(l)n中,此时由(1 1)可得 j=1M(j)l i mns u pM(uun(0)m0.(1 4)假设存在0满足 s u pjM(j)m0-.(1 5)下面将证明(1 5)与(1 2)矛盾.因为A是单调递增,并且在区间0,m0-上是有限的,所以结合上述性质,可以得到边界条件:对所有的0mm0-以及常数0B0并且其取值和B m0有关,当l和n充分大时,由(1 8)可以得到 uu(l)nL4t,x2B m0.由(2 0)和(2 1)可得 M(uu(l)n(0)-uun(0)和(i t+)uu(l)n-FF(uu(l)n)L43t,x(RR RR2).再根据引理2,得到uun整体存在并且有uunL4t,x3B m0,但是该结论与(1 2)矛盾,所以假设(1 5)不成立.因此(1 5)对于每一个0都不成立,即 s u pjM(j)=m0.将上式与(1 3)比较,可知至多有一个(j)非0,所以轮廓分解简化为533 uun(0)=hneitn+wwn.(2 2)取wwn和质量为m0的,其中wwn满足l i mnM(wwn)0,通过作用Th-1n可以取hn为恒等式,所以由(2 2)可得 l i mnM(uun(0)-eitn)=0,所以tn收敛到0时,uun(0)在L2x(RR2)中收敛到,故G uun(0)在GL2x(RR2)中收敛.命题1得证.当tn收敛到+时,由(7)得eit L4t,x .因此,由时间平移不变性和单调收敛性得 l i mneit eitnL4t,x(0,+)RR2)=0.因为变换群保持解的不变性,并且Thn保持L4t,x范数不变,所以有 l i mneit hneitnL4t,x(0,+)RR2)=0.因为当n 时,eit wwnL4t,x0,所以由(2 1)得l i mneit uun(0)L4t,x(0,+)RR2)=0,再由引理1得 l i mnuunL4t,x(0,+)RR2)=0,但这与(1 2)矛盾.同样地,tn趋于-时情况类似.综上所述,当tn收敛到0时命题1成立.2.4 定理1的证明首先通 过m0的 定 义 找 到 解 序 列uun,假 定uun是 极 大 存 在 时 间 解,其 中uun满 足M(uun)m0和l i mnuunL4t,x=+.选择tnIn作为uun的L4t,x范数的中值时间,得出(6)成立,然后根据时间平移不变性,不妨取tn=0.由命题1可知,G uun(0)在GL2x(RR2)拓扑中收敛到G uu0.因此,存在群元素gnG,使得gnuun(0)在L2x(RR2)中收敛到uu0.又因为当Tgn作用到解序列uun时,可以取gn为恒等式,所以uun(0)在L2x(RR2)中收敛到uu0,并且可以得到M(uu0)m0.令uu=(u1,u2)为定理1给定的极大存在时间解,且有初值u1(0)=u01和u2(0)=u02.首先证明uu=(u1,u2)在时间上向前和向后爆破.假设uu不向前爆破,那么由定理2之i)可知 0,+)I和uuL4t,x(0,+)RR2).然而对于足够大的n,该结论与(6)矛盾,因此uu向前爆破;同样地,可以得到uu向后爆破.由m0的定义知,此时有M(uu0)m0,又因为M(uu0)m0,所以M(uu0)恰好等于m0.接下来 证 明 向 前 向 后 爆 破 的 解uu=(u1,u2),在 模 去 变 换 群G后 是 几 乎 周 期 的.分 别 考 虑G u1(t):tI 和G u2(t):tI 中的任意序列G u1(t n)和G u2(t n),因为uu向前和向后都爆破并且位于L4t,x中,所以有 u1L4t,x(t n,+)RR2)+u2L4t,x(t n,+)RR2)=u1L4t,x(-,t nRR2)+u2L4t,x(-,t nRR2)=.根据命题1,G u1(tn)和G u2(tn)在GL2x(RR2)中分别有一个收敛序列,因此G u1(t):tI 和G u2(t):tI 在GL2x(RR2)中是列紧的,即解uu=(u1,u2)在模去变换群G后是几乎周期的.参考文献:1 Q I NY H,Z HAOLC,L I N GL M.N o n-d e g e n e r a t eB o u n dS t a t eS o l i t o n si n M u l t i c o m p o n e n tB o s e-E i n s t e i nC o n d e n s a t e sJ.P h y sR e vE,2 0 1 9,1 0 0(2):0 2 2 2 1 2.d o i:1 0.1 1 0 3/P h y s R e v E.1 0 0.0 2 2 2 1 22 T AOT,V I S AN M,Z HAN GX.M i n i m a l-m a s sB l o wu pS o l u t i o n so ft h eM a s s c r i t i c a lN L SJ.F o r u m M a t h,2 0 0 8(2 0):8 8 1-9 1 9.d o i:1 0.1 5 1 5/f o r u m.2 0 0 8.0 4 23 K I L L I PR,T AOT,V I S AN M.T h eC u b i cN o n l i n e a rS c h r d i n g e rE q u a t i o n i nT w oD i m e n s i o n sw i t hR a d i a lD a t aJ.JE u rM a t hS o c,2 0 0 9,1 1(6):1 2 0 3-1 2 5 8.d o i:1 0.4 1 7 1/J EM S/1 8 04 D O D S ONB.G l o b a lW e l l-p o s e d n e s sa n dS c a t t e r i n gf o rt h eD e f o c u s i n g,L2-c r i t i c a l,N o n l i n e a rS c h r d i n g e rE q u a t i o nWh e nd=2J.D u k eM a t hJ,2 0 1 6,1 6 5(1 8):3 4 3 5-3 5 1 6.d o i:1 0.1 2 1 5/0 0 1 2 7 0 9 4-3 6 7 3 8 8 85 C A Z E NAV ET.S e m i l i n e a rS c h r d i n g e rE q u a t i o n sM.N e wY o r k:AM S,2 0 0 3.6 T AO T,V I S AN M,Z HANG X.G l o b a l W e l l-p o s e d n e s sa n dS c a t t e r i n gf o rt h e M a s s c r i t i c a lN o n l i n e a rS c h r d i n g e rE q u a t i o nf o rR a d i a lD a t a i nH i g hD i m e n s i o n sJ.D u k eM a t hJ,2 0 0 6,1 4 0(1):1-1 1.d o i:1 0.5 8 0 2/j e d p.7 67 B GOUTP,VA R G A SA.M a s sC o n c e n t r a t i o nP h e n o m e n af o rt h eL2-c r i t i c a lN o n l i n e a rS c h r d i n g e rE q u a t i o nJ.T r a n sAm e rM a t hS o c,2 0 0 7,3 5 9:5 2 5 7-5 2 8 2.d o i:1 0.1 0 9 0/S 0 0 0-9 9 4 7-0 7-0 4 2 5 0-X(责任编辑 白占立)633