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乌鲁木齐市第一中学2010—2011学年度第一学期高三第三次月考数学试题（理科）
第Ⅰ卷（选择题共60 分）
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分,请将选项填在答卷相应的表格中）
1．若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c= （ ）
A．3a+b B．3a-b C．-a+3b D．a+3b
2．“”是“函数在区间上为增函数”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．“sin=”是“”的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．设复数z满足z（2-3i）=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为 （ ）
A． B．2 C． D．
5．函数的图象关于（ ）对称； （ ）
A．直线 y=x B．x轴 C．y轴 D．原点
6．若将逐项展开得，则出现的频率为，出现的频率为，如此将逐项展开后，出现的频率是（ ）
7．从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有（ ）
A．120种 B．96种 C．60种 D．48种
8．已知双曲线（b＞0）的焦点，则b= （ ）
9．若正四棱柱的底面边长为1，与底面ABCD成60°角，则到底面ABCD的距离为 （ ）
A． B．1 C． D．
10．已知数列的通项公式，设的前项的和为，则使成立的自然数 （ ）
A．有最大值63 B．有最小值63 C．有最大值31 D．有最小值31
11．如果执行右面的框图，输入N=5，则输出的数等于
A． B． C． D．
12．若等边的边长为，平面内一点M
满足,则（ ）
A． B．-2
C．3 D．-
第Ⅱ卷（非选择题 共90 分）
本试卷包括必考题和选择题两部分，第13题---第21 题为必考题，每个考生都必须作答。第22题---第24题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填写在答卷相应的横线上．）
13．已知且满足不等式组，则的最大值是
14．若圆与圆的公共弦长为，则a=_______
15．设函数， 则使得≥1的自变量的取值范围是
16已知动点在椭圆上，若点坐标为且，则的最小值是 ．
三、解答题：（本大题共6题，共70分,将解答写在答卷相应位置上，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分12分）已知数列是等差数列，其前n项和为
（I）求数列的通项公式；
（II）设p、q是正整数，且p≠q．证明：．
18．（本题满分12分）
在△ABC中，三个内角是A、B、C的对边分别是a、b、c，其中c=10，且
（I）求证：△ABC是直角三角形；
（II）设圆O过A、B、C三点，点P位于劣弧AC上，∠PAB=60°．求四边形ABCP的面积．
19．（本题满分12分）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°．BC=CC1=a，AC=2a．
（I）求证：AB1⊥BC1；
（II）求二面角B—AB1—C的大小；
（III）求点A1到平面AB1C的距离．
20．（本题满分12分）已知O（0，0）、A（，0）为平面内两定点，动点P满足|PO|+|PA|=2．
（I）求动点P的轨迹方程；
（II）设直线与（I）中点P的轨迹交于B、C两点．求△ABC的最大面积及此时
21．（本小题满分12分）已知函数
（1）求f（x）在[0，1]上的极值；
（2）若对任意成立，求实数a的取值范围；
（3）若关于x的方程在[0，2]上恰有两个不同的实根,求实数b的取值范围．
22．（本小题满分10分）设a、b是非负实数，求证：。
23．（本小题满分10分）已知圆方程为。
（1）求圆心轨迹的参数方程C；
（2）点是（1）中曲线C上的动点，求的取值范围。
24．（本小题满分10分）
AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。
参考答案
一、选择题：
1．B 2．A 3．A 4．B 5．D 6．A 7．C 8．C 9．D 10．B
11．B 12． B
二．填空题
13．74 14．a=1 15． 16．
17．（本题满分13分）
（1）解：设等差数列的公差是d，依题意得，
解得………………5分
∴数列的通项公式为…………7分
（2）证明：∵，∴…………9分
∵，
∵ ∴……13分
18．（本题满分14分）
（1）证明：根据正弦定理得，…………2分
整理为，sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B．
∵sin2A－sin2B=0， ∴2cos（A+B）·sin（A－B）=0．
∵A+B=π－C， ∴cosC·sin（A－B）=0．…………5分
∴…………7分
∴舍去A= B． ∴．
故△ABC是直角三角形．………………8分
（2）解：由（1）可得：a=6，b=8．
在Rt△ACB中，
∴
=
=…………11分
连结PB，在Rt△APB中，AP=AB·cos∠PAB=5，
∴四边形ABCP的面积
=24+
=18+．………………14分
19．（本题满分14分）
（1）证明：∵ABC—A1B1C1是直三棱柱，
∴CC1⊥平面ABC， ∴AC⊥CC1．
∵AC⊥BC， ∴AC⊥平面B1BCC1．
∴B1C是AB1在平面B1BCC1上的射影．
∵BC=CC1， ∴四边形B1BCC1是正方形，
∴BC1⊥B1C． 根据三垂线定理得，
AB1⊥BC1．………………5分
（2）解：设BC1∩B1C=O，作OP⊥AB1于点P，
连结BP．∵BO⊥AC，且BO⊥B1 C，
∴BO⊥平面AB1C．
∴OP是BP在平面AB1C上的射影．
根据三垂线定理得，AB1⊥BP．
∴∠OPB是二面角B—AB1—C的平面角．…………8分
∵△OPB1~△ACB1， ∴ ∴
在Rt△POB中，，
∴二面角B—AB1—C的大小为…………10分
（3）解：[解法1] ∵A1C1//AC，A1C1平面AB1C，
∴A1C1//平面AB1C．
∴点A1到平面AB1C的距离与点C1到平面AB1C．的距离相等．
∵BC1⊥平面AB1C，
∴线段C1O的长度为点A1到平面AB1C的距离．
∴点A1到平面AB1C的距离为…………14分
[解法2]连结A1C，有，设点A1到平面AB1C的距离为h．
∵B1C1⊥平面ACC1A1， ∴，
又，
∴ ∴点A1到平面AB1C的距离为…………14分
20．（本题满分13分）
（1）解：∵|PO|+|PA|=2，且|OA|=<2．
∴点P的轨迹是以O（0，0）、A（）为焦点，
长轴长2a=2的椭圆．…………3分
∴a=1， 设P（x，y），
∴点P的轨迹方程为…………5分
（2）解：将y=kx代入，
消去x，整理为…………7分
设，
则…………8分
=…………11分
当且仅当，解得时，△ABC的最大面积为
此时直线l的方程是…………13分
21．（12分）
解：（I），
令（舍去）
单调递增；
当单调递减．……………………………………3分
上的极大值 ……………………………4分
（II）由得
， …………① ……………………5分
设，，
依题意知上恒成立，
，
，………………………………6分
上单增，要使不等式①成立，
当且仅当 ………………………8分
（III）由
令，
当上递增；
当上递减 ……………………10分
而，
恰有两个不同实根等价于
22．（方法一）证明：
因为实数a、b≥0，
所以上式≥0。即有。
（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得
当时，，从而，得；
当时，，从而，得；
所以。
23．23．将圆的方程整理得：（x-4cos）2+（y-3sin）2=1
设圆心坐标为P（x,y）
则
（2）2x+y=8cos+3sin
=
∴ -≤2x+y≤
24．（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC，
又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，
∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，
所以∠DCO=300，∠DOC=600，
所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。
（方法二）证明：连结OD、BD。
因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB。
因为DC 是圆O的切线，所以∠CDO=900。
又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，
于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。
即2OB=OB+BC，得OB=BC。
故AB=2BC。
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