高三数学解题方法谈：例谈函数值域的求法.doc

例谈函数值域的求法
1．配方法
主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题．
例1．设，求函数的值域．
解：，
，．
当时，函数取得最小值；当时，函数取得最大值，
函数的值域为．
评注：配方法往往需结合函数图象求值域．
2．单调性法
单调性法是求函数值域的常用方法，就是利用我们所学的基本初等函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域．
例2．函数，的值域是 ．
解析：函数和在上都是减函数，所以，所以函数的值域为．
3．数形结合法
对于一些函数（如二次函数、分段函数等）的求值域问题，我们可以借助形象直观的函数图象来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域，用数形结合法，使运算过程大大简化．

例3．求函数的值域．
分析：求分段函数的值域可作出它的图象，则其函数值的整体变化情况就一目了然了，从而可以快速地求出其值域．
解：作图象如图所示．
，，，，
函数的最大值、最小值分别为和，即函数的值域为．
4．判别式法
对于形如（，不同时为）的函数常采用此法，就是把函数转化成关于的一元二次方程（二次项系数不为时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域．
例4．求函数的值域．
解：原函数化为关于的一元二次方程．
（1）当时，，，解得；
（2）当时，，而．
故函数的值域为．
评注：①在解此类题的过程中要注意讨论二次项系数是否为零；②使用此法须在或仅有个别值（个别值是指使分母为的值，处理方法为将它们代入方程求出相应的值，若在求出的值域中则应除去此值）不能取的情况下，否则不能使用，如求函数，的值域，则不能使用此方法．　
5．换元法
有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．
例5．求的值域．
解：令，则，
，
所以函数值域为．
评注：利用引入的新变量，使原函数消去了根号，转化成了关于的一元二次函数，使问题得以解决．用换元法求函数值域时，必须确定新变量的取值范围，它是新函数的定义域．
6．反解法
就是用来表示，利用其变形形式求得原函数的值域．
例6．求函数的值域．
解：函数可化为，可得，
所以原函数的值域为．
7．分离常数法
对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，因为分子分母都有变量，利用函数单调性确定其值域较困难，因此，我们可以采用凑配分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，而此时的分式，只有分母上含有变量，进而可利用函数性质确定其值域．
例7．求函数的值域．
解：．
，，，，
．
函数的值域为．
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