南京数学小.doc

2014届高三模拟考试试卷(二)
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
2014．3
参考公式：
柱体的体积公式：V＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．
圆柱的侧面积公式：S侧＝2πRh，其中R为圆柱的底面半径，h为圆柱的高．
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 函数f(x)＝lnx＋的定义域为____________．

(第3题)
2. 已知复数z1＝－2＋i，z2＝a＋2i(i为虚数单位，a∈R)．若z1z2为实数，则a的值为__________．
3. 某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1 000名学生的成绩，并根据这1 000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图(如图)，则成绩在[300，350)内的学生人数共有__________．　
4. 盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为__________．
5. 已知等差数列{an}的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则的值为____________．
6. 执行如图所示的流程图，则输出的k的值为__________．
(第6题)
　　　　　(第7题)

7. 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象如图所示，则f的值为________．
8. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝4x的准线相交于A、B两点．若△AOB的面积为2，则双曲线的离心率为____________．
9. 表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为____________．
10. 已知||＝1，||＝2，∠AOB＝，＝＋，则与的夹角大小为____________．
11. 在平面直角坐标系xOy中，过点P(5，3)作直线l与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点．若OA⊥OB，则直线l的斜率为__________．
12. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝x2，当x＞1时，f(x＋1)＝f(x)＋f(1)．若直线y＝kx与函数y＝f(x)的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为____________．
13. 在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为__________．
14. 设函数f(x)＝ax＋sinx＋cosx.若函数f(x)的图象上存在不同的两点A、B，使得曲线y＝f(x)在点A、B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为____________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP＝BC，E为PC的中点．求证：
(1) AP∥平面BDE；
(2) BE⊥平面PAC.

16. (本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点A(x1，y1)，α∈.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点B(x2，y2)．
(1) 若x1＝，求x2；
(2) 过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，记△AOC及△BOD的面积分别为S1、S2，且S1＝S2，求tanα的值．

17.(本小题满分14分)
如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB、AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N(异于村庄A)，要求PM＝PN＝MN＝2(单位：km)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．

18. (本小题满分16分)
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2，一条准线方程为x＝2.P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 若点P的坐标为(0，b)，求过P、Q、F2三点的圆的方程；
(3) 若＝λ，且λ∈，求·的最大值．

19. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝ex，a、b∈R，且a＞0.
(1) 若a＝2，b＝1，求函数f(x)的极值；
(2) 设g(x)＝a(x－1)ex－f(x)．
① 当a＝1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)≥1成立，求b的最大值；
② 设g′(x)为g(x)的导函数．若存在x＞1，使g(x)＋g′(x)＝0成立，求的取值范围．

20. (本小题满分16分)
已知数列{an}的各项都为正数，且对任意n∈N*，a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列．
(1) 若a2＝1，a5＝3，求a1的值；
(2) 设a1＜a2，求证：对任意n∈N*，且n≥2，都有＜.

2014届高三模拟考试试卷(二)
数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修41：几何证明选讲)
如图，△ABC为圆的内接三角形，AB＝AC，BD为圆的弦，且BD∥AC.过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F.
(1) 求证：四边形ACBE为平行四边形；
(2) 若AE＝6，BD＝5，求线段CF的长．

B. (选修42：矩阵与变换)
已知矩阵A＝的一个特征值为2，其对应的一个特征向量为α＝.
(1) 求矩阵A；
(2) 若A＝，求x、y的值．

C. (选修44：坐标系与参数方程)
在极坐标系中，求曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方程．
D. (选修45：不等式选讲)
已知x、y∈R，且|x＋y|≤，|x－y|≤，求证：|x＋5y|≤1.

【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 某中学有4位学生申请A、B、C三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．
(1) 求恰有2人申请A大学的概率；
(2) 求被申请大学的个数X的概率分布列与数学期望E(X)．

23.设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：① 任意n∈N*，有f(n)∈Z；② 任意m、n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．
(1) 求f(1)，f(2)，f(3)的值；
(2) 求f(n)的表达式．
2014届高三模拟考试试卷(二)(南京)
数学参考答案及评分标准

1. (0，1]　2. 4　3. 300　4. 　5. 2　6. 4　7. 1　8. 　9. 　10. 60°　11. 1或　12. 2－2　13. 　14. [－1，1]
15. 证明：(1) 设AC∩BD＝O，连结OE.
因为ABCD为矩形，所以O是AC的中点．
因为E是PC中点，所以OE∥AP.(4分)
因为AP平面BDE，OE平面BDE，
所以AP∥平面BDE.(6分)
(2) 因为平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，BC平面ABCD，
所以BC⊥平面PAB.(8分)
因为AP平面PAB，所以BC⊥PA.
因为PB⊥PA，BC∩PB＝B，BC，PB平面PBC，
所以PA⊥平面PBC.(12分)
因为BE平面PBC，所以PA⊥BE.
因为BP＝BC，E为PC中点，
所以BE⊥PC.
因为PA∩PC＝P，PA、PC平面PAC，
所以BE ⊥平面PAC.(14分)
16. 解：(1) 因为x1＝，y1＞0，所以y1＝＝.
所以sinα＝，cosα＝.(2分)
所以x2＝cos＝cosαcos－sinαsin＝－.(6分)
(2) S1＝sinαcosα＝sin2α.
因为α∈，所以α＋∈.
所以S2＝－sincos＝－sin＝－cos2α.(8分)
因为S1＝S2，所以sin2α＝－cos2α，即tan2α＝－.(10分)
所以＝－，解得tanα＝2或tanα＝－.
因为α∈，所以tanα＝2.(14分)
17. 解：解法1：设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝.
因为MN＝2，所以AM＝sin(120°－θ)．(2分)
在△APM中，cos∠AMP＝cos(60°＋θ)．(6分)
AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP
＝sin2(120°－θ)＋4－2×2×sin(120°－θ)cos(θ＋60°)(8分)
＝sin2(θ＋60°)－sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4
＝[1－cos(2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4
＝－[sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋
＝－sin(2θ＋150°)，θ∈(0°，120°)．(12分)
当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2.
答：设计∠AMN为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．(14分)
解法2：设AM＝x，AN＝y，∠AMN＝α.
在△AMN中，因为MN＝2，∠MAN＝60°，
所以MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN·cos∠MAN，
即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4.(2分)
因为＝，即＝，
所以sinα＝y，cosα＝＝＝.(6分)
cos∠AMP＝cos(α＋60°)＝cosα－sinα＝·－·y＝.(8分)
在△AMP中，AP2＝AM2＋PM2－2AM·PM·cos∠AMP，
即AP2＝x2＋4－2×2×x×＝x2＋4－x(x－2y)＝4＋2xy.(12分)
因为x2＋y2－xy＝4，4＋xy＝x2＋y2≥2xy，即xy≤4.
所以AP2≤12，即AP≤2.
当且仅当x＝y＝2时，AP取得最大值2.
答：设计AM＝AN＝2 km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．(14分)
18. (1) 解：由题意得解得c＝1，a2＝2，所以b2＝a2－c2＝1.
所以椭圆的方程为＋y2＝1.(2分)
(2) 因为P(0，1)，F1(－1，0)，所以PF1的方程为x－y＋1＝0.
由解得或所以点Q的坐标为.(4分)
解法1：因为kPF1·kPF2＝－1，所以△PQF2为直角三角形．(6分)
因为QF2的中点为，QF2＝，
所以圆的方程为＋＝.(8分)
解法2：设过P、Q、F2三点的圆为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则解得
所以圆的方程为x2＋y2＋x＋y－＝0.(8分)
(3) 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则＝(x1＋1，y1)，＝(－1－x2，－y2)．
因为＝λ，所以即
所以解得x2＝.(12分)
所以·＝x1x2＋y1y2＝x2(－1－λ－λx2)－λy＝－x－(1＋λ)x2－λ
＝－－(1＋λ)·－λ＝－.(14分)
因为λ∈，所以λ＋≥2＝2，当且仅当λ＝，即λ＝1时，取等号．
所以·≤，即·的最大值为.(16分)
19. 解：(1) 当a＝2，b＝1时，f(x)＝ex，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
所以f′(x)＝ex.(2分)
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝，列表

x
(－∞，－1)
－1
(－1，0)

f′(x)
＋
0
－
－
0
＋
f(x)

极大值


极小值

由表知f(x)的极大值是f(－1)＝e－1，f(x)的极小值是f＝4.(4分)
(2) ① 因为g(x)＝(ax－a)ex－f(x)＝ex，
当a＝1时，g(x)＝ex.
因为g(x)≥1在x∈(0，＋∞)上恒成立，
所以b≤x2－2x－在x∈(0，＋∞)上恒成立．(8分)
记h(x)＝x2－2x－(x＞0)，则h′(x)＝.
当0＜x＜1时，h′(x)＜0，h(x)在(0，1)上是减函数；
当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)在(1，＋∞)上是增函数．
所以h(x)min＝h(1)＝－1－e－1.
所以b的最大值为－1－e－1.(10分)
② 因为g(x)＝ex，所以g′(x)＝ex.
由g(x)＋g′(x)＝0，得ex＋ex＝0，
整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0.
存在x＞1，使g(x)＋g′(x)＝0成立，
等价于存在x＞1，2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立．(12分)
因为a＞0，所以＝.
设u(x)＝(x＞1)，则u′(x)＝.
因为x＞1，u′(x)＞0恒成立，所以u(x)在(1，＋∞)上是增函数，所以u(x)＞u(1)＝－1，
所以＞－1，即的取值范围为(－1，＋∞)．(16分)
20. (1) 解：因为a3，a4，a5成等差数列，设公差为d，则a3＝3－2d，a4＝3－d.
因为a2，a3，a4成等比数列，所以a2＝＝.(3分)
因为a2＝1，所以＝1，解得d＝2或d＝.
因为an＞0，所以d＝.
因为a1，a2，a3成等差数列，所以a1＝2a2－a3＝2－(3－2d)＝.(5分)
(2) 证法1：因为a2n－1，a2n，a2n＋1成等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2成等比数列，
所以2a2n＝a2n－1＋a2n＋1，①　a＝a2na2n＋2.②
所以a＝a2n－2a2n，n≥2.③
所以＋＝2a2n.
因为an＞0，所以＋＝2.(7分)
即数列{}是等差数列．
所以＝＋(n－1)(－)．
由a1，a2及a2n－1，a2n，a2n＋1是等差数列，a2n，a2n＋1，a2n＋2是等比数列，可得a4＝.
所以＝＋(n－1)(－)＝.
所以a2n＝.所以a2n＋2＝.(10分)
从而a2n＋1＝＝.
所以a2n－1＝.
① 当n＝2m，m∈N*时，
－＝－＝－＝－＜0.(14分)
② 当n＝2m－1，m∈N*，m≥2时，
－＝－＝－＝－＜0.
综上，对一切n∈N*，且n≥2，都有＜.(16分)
证法2：① 若n为奇数且n≥3时，则an，an＋1，an＋2成等差数列．
因为－＝＝＝－≤0，
所以≤.(9分)
② 若n为偶数且n≥2时，则an，an＋1，an＋2成等比数列，所以＝.(11分)
由①②可知，对任意n≥2，n∈N*，≤≤…≤.(14分)
因为－＝－＝＝－，
因为a1＜a2，所以－＜0，即＜.
综上，对一切n∈N*，且n≥2，都有＜.(16分)

2014届高三模拟考试试卷(二)(南京)
数学附加题参考答案及评分标准

21. A. (1) 证明：因为AE与圆相切于点A，所以∠BAE＝∠ACB.
因为AB＝AC，所以∠ABC＝∠ACB.
所以∠ABC＝∠BAE.
所以AE∥BC.因为BD∥AC，所以四边形ACBE为平行四边形．(4分)
(2) 解：因为AE与圆相切于点A，所以AE2＝EB·(EB＋BD)，即62＝EB·(EB＋5)，解得BE＝4.
根据(1)有AC＝BE＝4，BC＝AE＝6.
设CF＝x，由BD∥AC，得＝，即＝，解得x＝，即CF＝.(10分)
C. 解法1：以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，
则曲线ρ＝2cosθ的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，且圆心C为(1，0)．(4分)
直线θ＝的直角坐标方程为y＝x，
因为圆心C(1，0)关于y＝x的对称点为(0，1)，
所以圆C关于y＝x的对称曲线为x2＋(y－1)2＝1.(8分)
所以曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(10分)
解法2：设曲线ρ＝2cosθ上任意一点为(ρ′，θ′)，其关于直线θ＝对称点为(ρ，θ)，
则 (6分)
将(ρ′，θ′)代入ρ＝2cosθ，得ρ＝2cos，即ρ＝2sinθ.
所以曲线ρ＝2cosθ关于直线θ＝(ρ∈R)对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(10分)
D. 证明：因为|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|.(5分)
由绝对值不等式性质，得
|x＋5y|＝|3(x＋y)－2(x－y)|≤|3(x＋y)|＋|2(x－y)|
＝3|x＋y|＋2|x－y|≤3×＋2×＝1.
即|x＋5y|≤1.(10分)
22. 解：(1) 记“恰有2人申请A大学”为事件A，
P(A)＝＝＝.
答：恰有2人申请A大学的概率为.(4分)
(2) X的所有可能值为1，2，3.
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝.
X的概率分布列为

X
1
2
3
P

所以X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＝.(10分)
23．解：(1) 因为f(1)f(4)＝f(4)＋f(4)，所以5f(1)＝10，则f(1)＝2.(1分)
因为f(n)是单调增函数，
所以2＝f(1)＜f(2)＜f(3)＜f(4)＝5.
因为f(n)∈Z，所以f(2)＝3，f(3)＝4.(3分)
(2) 由(1)可猜想f(n)＝n＋1.因为f(n)单调递增，所以f(n＋1)＞f(n)．又f(n)∈Z，
所以f(n＋1)≥f(n)＋1.
首先证明：f(n)≥n＋1.
因为f(1)＝2，所以n＝1时，命题成立．
假设n＝k(k≥1)时命题成立，即f(k)≥k＋1.
则f(k＋1)≥f(k)＋1≥k＋2，即n＝k＋1时，命题也成立．
综上，f(n)≥n＋1.(5分)
由已知可得f(2)f(n)＝f(2n)＋f(n＋1)，而f(2)＝3，f(2n)≥2n＋1，
所以3f(n)≥f(n＋1)＋2n＋1，即f(n＋1)≤3f(n)－2n－1.
下面证明：f(n)＝n＋1.
因为f(1)＝2，所以n＝1时，命题成立．
假设n＝k(k≥1)时命题成立，即f(k)＝k＋1，
则f(k＋1)≤3f(k)－2k－1＝3(k＋1)－2k－1＝k＋2，即n＝k＋1时，命题也成立．
所以f(n)＝n＋1.(10分)