栟茶中学2015届高三数学周练四.doc

江苏省栟茶高级中学 高三数学备课组
栟茶中学2015届高三数学周练四
班级 姓名 学号
一、填空题
1．已知集合若则锐角 ▲ ．
2．已知= ▲ ．
3．已知角的顶点在坐标原点,始边与轴正半轴重合,终边在直线上,则 ▲ ．
4．设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则= ▲ ．
5．若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，
则的最小正值是 ▲ ．
6．若锐角α、β满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，则α＋β＝_____▲_____．
7．的值是 ．
8．“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一）充分必要
9．给出下列四个命题：
①命题的否定是；
②若0<a<1，则函数只有一个零点；
③命题“若，则”的否命题是“若，则”；
④在锐角△中，角，，所对的边分别为，，，若，则的范围是．
其中真命题的序号是 ▲ （把所有真命题的序号都填上）．①
10．若函数f(x)＝cos 2x＋asin x在区间是减函数，则a的取值范围是___▲_____．
(－∞，2]　
11．已知2tanα·sinα＝3，－＜α＜0，则cos(α－)＝_____▲_____．0
12．已知函数f(x)＝若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为 ▲ ．(0,1)
13．设为实常数，是定义在R上的奇函数，当时，．若“，”是假命题，则的取值范围为　　　▲　 ．
14．已知函数与轴相切若直线与分别交的图象于四点且四边形的面积为25则正实数的值为 ▲
【答案】4
二、解答题
15．（本题满分14分）已知函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x－，△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(B)＝1.
(1)求角B的大小；
(2)若a＝，b＝1，求c的值．
解　(1)因为f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
所以f(B)＝sin＝1，又2B＋∈，
所以2B＋＝，所以B＝.
(2)法一　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得c2－3c＋2＝0，所以c＝1或c＝2.
法二　由正弦定理＝，得sin A＝，所以A＝或A＝，
当A＝时，C＝，所以c＝2；
当A＝时，C＝，所以c＝1.
所以c＝1或c＝2.
16．（本小题满分14分）
已知函数 ．
（1）求的表达式；
（2）若，求的值．
解：（1）可得，
所以（3分）（5分）
（7分）
（2）由，可得化简得．
（11分）
=（14分）
17．（本小题满分14分）设a＝，b＝(4sinx，cosx－sinx)，f(x)＝a·b．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)已知常数ω＞0，若y＝f(ωx)在区间上是增函数，求ω的取值范围；
(3)设集合A＝，B＝{x||f(x)－m|＜2}，若A⊆B，求实数m的取值范围．
解析：(1)f(x)＝sin2·4sinx＋(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)
＝4sinx·＋cos2x＝2sinx(1＋sinx)＋1－2sin2x＝2sinx＋1，
∴f(x)＝2sinx＋1． ………………………4分
(2)∵f(ωx)＝2sinωx＋1，ω＞0．[]
由2kπ－≤ωx≤2kπ＋，得f(ωx)的增区间是，k∈Z．
∵f(ωx)在上是增函数，
∴⊆．
∴－≥－且≤，∴ω∈． ……………9分
(3)由|f(x)－m|＜2，得－2＜f(x)－m＜2，
即f(x)－2＜m＜f(x)＋2．
∵A⊆B，∴当≤x≤π时，不等式f(x)－2＜m＜f(x)＋2恒成立．
∴f(x)max－2＜m＜f(x)min＋2，
∵f(x)max＝f＝3，f(x)min＝f＝2，
∴m∈(1,4)．……………………………14分
18． （本小题满分16分）因客流量临时增大, 某鞋店拟用一个高为50㎝（即=50㎝）的平面镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜． 根据经验,一般顾客的眼睛到地面的距离在区间内． 设支架高为㎝, ㎝, 顾客可视的镜像范围为(如图所示), 记的长度为（）．
（Ⅰ） 当㎝时, 试求关于的函数关系式和的最大值；
第18题
A
B
C
D
E
F
G
A1
·
（Ⅱ） 当顾客的鞋在镜中的像满足不等关系（不计鞋长）时, 称顾客可在镜中看到自己的鞋． 若使一般顾客都能在镜中看到自己的鞋, 试求的取值范围．
解： (1) 因为,,所以由,即,解得,
同理,由,即, 解得……………………2分
所以
……… 5分
因为, 所以在上单调递减,
故当㎝时, 取得最大值为140㎝…………………………………8分
另法: 可得, 因为在上单调递增,
所以在上单调递减, 故当㎝时,取得最大值为140㎝…………………………8分
(2)由,得,由,得,所以由题意知,即对恒成立……………………12分
从而对恒成立, …14分
解得,故的取值范围是 ………16分
(注: 讲评时可说明, 第(2)题中h的范围与AG的长度无关, 即去掉题中AG=100㎝的条件也可求解)
19． （本小题满分16分）已知函数在[1，＋∞）上为增函数，且θ∈（0，π），，m∈R．
（1）求θ的值；
（2）若在[1，＋∞）上为单调函数，求m的取值范围；
（3）设，若在[1，e]上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．
解：（1）由题意，≥0在上恒成立，即．
∵θ∈（0，π），∴．故在上恒成立，只须，即，只有．结合θ∈（0，π），得 …………4分
（2）由（1），得．．
∵在其定义域内为单调函数，
∴或者在[1，＋∞）恒成立． ………………6分
等价于，即，
而 ，（）max=1，∴．
等价于，即在[1，＋∞）恒成立，
而∈（0，1]，．综上，m的取值范围是……………… 10分
（3）构造，．
当时，，，，所以在[1，e]上不存在一个，使得成立． ……………………………………………………………．．12分
当时，．因为，所以，，所以在恒成立．
故在上单调递增， F(x) min =F(1)= -2e＜0, ，只要，解得．
故的取值范围是． ………………………．． 16分
20．（本小题满分16分）已知函数,．
（1）当时,求函数在区间上的最大值；
（2）对任意,总存在惟一的,使得成立, 求的取值范围
解：（1）当,时,,
所以在 递增,所以……………4分
（2）①当时,在单调递增,由,
得……………………6分
②当时，在先减后增,由,
得,设,,
y
a

x
所以单调递增且，所以恒成立得……………9分
③当时,在递增，在递减，
在递增,所以由,
得,
设,
则,所以递增，且,
所以恒成立，无解．……………………12分
④当时，在递增，在递减，在递增,
所以由得无解．……………15分
综上,所求的取值范围是．…………………16分

数学加试（理科）
班级 姓名 学号
21．（本题满分10分）已知命题：“，使等式成立”是真命题，
（1）求实数m的取值集合M；
（2）设不等式的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，
求a的取值范围．
答案:(1) ；(2) 或
22．已知函数．
（1）若函数在定义域内为减函数，求实数的取值范围；
（2）若函数在定义域内存在极值点，求实数的取值范围．

（2）由=0得，∴，
当时，，不符合；…………7分
当时，，……………9分
经检验，不符合；综上所述，．………………10分
23．已知A、B分别是直线y＝x和y＝－x上的两个动点，线段AB的长为2，P是AB的中点，求动点P的轨迹C的方程．
解：设P(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵P是线段AB的中点，∴（2分）
．∵A、B分别是直线y＝x和y＝－x上的点，∴y1＝x1，y2＝－x2．
∴（5分）
．又|AB|＝2，∴(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝12，∴12y2＋x2＝12，
∴动点P的轨迹C的方程为＋y2＝1．（10分）
24．已知函数，
．
证明：（Ⅰ）存在唯一，使；
(Ⅱ)存在唯一，使，且对（1）中的．

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